Quotient de Hadamard de séries rationnelles

Groupe de travail
d’analyse ultramétrique
K HYRA G ÉRARDIN
Quotient de Hadamard de séries rationnelles
Groupe de travail d’analyse ultramétrique, tome 9, no 2 (1981-1982), exp. no 20, p. 1-23.
<http://www.numdam.org/item?id=GAU_1981-1982__9_2_A3_0>
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20-01
Groupe drétude d’ Analyse ultramétrique
(Y.
9e
ROBBA)
Po
G.
CHRIISTOL,
année, 1981/82, n° 20,
22
23 p.
mars
1982
QUOTIENT DE HADAMARD DE SERIES RATIONNELLES
Khyra GÉRARDIN
quotient de Hadamard de 2 séries rationquelles conditions ce quotient est une série rationnelle.
Le but de cet article est d’étudier le
et de voir dans
nelles,
Il est
coefficients
série rationnelle
La même
tement
propriété
dans le
à
ce
le théorème de Malher
variable forment
n’est plus valable
Soit
X
de
X
qui
est
Si
X’
un
sont
en
A
variables
quelques propriétés
de
Rappel
en
ensemble
appelés des
fait l’ image
[4]
non
f
et
A
possède
b
possède
un
poles.
de module stric-
pole
dans l’étude des
cas
plusieurs variables
répartition
non
séries ration-
parait exclue
cas
commutatives
car
la
zéros d’une série rationnelle.
des
démontre que les zéros d’une série rationnelle
dans N ;
commutatives,
x~~ ~
est l’anneau des entiers
à coefficients dans
premier
or ce
théorème
non
seulement
mai s est indécidable.
le monolde libre
mots. A tout mot
du mot
b
et notations.
et
fini,
la série
une
poles [1].
ensemble rationnel
un
est
commutatives. L’étude du second
non
utilise la
cas
b
a
que le module des autres
la série
lorsque
des séries rationnelles à
ca:J
effet,
une
variables
plusieurs
démonstration de
En
reste vraie
contenterons d’examiner le
nous
nelles à
plus grand
algébriques lorsque
variable à
une
par
de Hadamard de
quotient
que le nodule des autres
plus petit
Nous
que le
l’anneau des entiers
sur
de module strictement
pole
un
sont deux séries rationnelles à
lorsque a et b
entiers algébriques
connu
f
de
qu’il engendre.
on
par l’ homomorphisme
associe
sa
Les éléments
longueur ) f)
qui envoie X
N.
dans
désigne l’algèbre large sur
algébriques,
des séries
Arat ((X)) la sous-algèbre de
rationnelles.
Rappelons
la caractérisation des séries rationnelles et
Une série
de
présentation
X
a
est rationnelle
dans
9MN(A) ,
une
si,
quelques résultats
et seulement
matrice
R de
si,
MN(A)
il existe
(*)
f~
Texte
Khyra
on
ait :
le 24 mai 1982.
12 rue Beccaria, 75012 PARIS.
une re-
telle que, pour
’
tout mot
obtenus.
20-02
Soient
a
Soient
algébriques
deux séries rationnelles à coefficients entiers
et
b
une
représentation de X
MN(A),
dans
et
R
une
matrice de
telle que l’on ait :
représentation commutative, ou si l’ algèbre, engendrée sur C par
la représentation ~ et la matrice R , est une algèbre triangulisable et si toute
matrice ~f admet une valeur propre de module strictement supérieur au module des
autres valeurs propres, alors la série de terme général (c , f)
(a , f)/(b , f)
est rationnelle dès que (c , f) est un entier algébrique pour tout mot f [2J.
Si
est
p
une
=
Toutefois la démonstration de
n’est pas
l’algèbre triangulisable,
résultat
ce
sera
fait
résultat,
ce
assez
en
rigoureuse.
[2J
pour la
partie concernant
La démonstration effective de
faite dans cet article.
représentation .1, associée à la série b , est une représentaalors la série de terme général
tion du monoïde libre X dans
(0. , f) (a , f)/(b , f) est rationnelle dès que (c , f) est un entier algébri-
môme,
De
si la
=
que pour tout mot
Nous
avons
[3].
f
les deux théorèmes suivants.
THEOREME 1. - Soit
algébriques,
tiers
1.B
inversible de
est
un
entier
théorème
Le
;
2 est
b
(Tr
= L.
généralisation
une
série rationnelle à coefficients
une
série rationnelle à coefficients entiers
une
s’écrit
b
f
X"~’: dans M~(N~) ~ si pour
algébrique, alors la série
R
tout mot
c
=~
f , ~ ~ est
f , (c , f)
une
=
(c , f)
f
est
en-
algé-
représentation
(u , f)/’!’r
une
R
série rationnelLe.
du théorème 1.
,
THEOREME 2. - Si
s’écrivant
dans
b
et soit
briques. Si la série
(u , f)
I
=
brique~
(Tr
b
M.,(N~) ~
b
est
R
si pour tout
alors la série
La démonstration de
c
=
ces
2
série rationnelle à coefficients entiers
f , où
mot f ,
Z~
(c , f)
théorèmes
est
p
une
(c , f)
f
est
se
fera
=
représentation inversible de X{~
(u , f)/Tr R .f est un entier algésérie rationnelle.
une
en
algébriques
4
parties.
premières parties, sera démontré le théorème 1, en étudiant explil’algèbre engendréepar la représentation . Dans la quatrième partie, on
Dans les trois
citement
une
démontrera le théorème 2.
20-03
Première partie
Soit
f,
S’i) ’)
f (resp,
(resp. S’i(f)).
S(f)i
S(f)i
soit
du monoïde libre
représentation
une
u,
(resp.
f-1).
général
On notera
Pour tout mot
GL (c) .
dans
symétrioue
la fonction
près de la matrice
X’
i
des valeurs pro-
S’i)
la série de terme
d’ordre
Si (resp).
n ~ la série
S~
est rationnelle.
Démonstration.- La démonstration consiste à calculer
S.
en
PROPOSITION 1. - Pour tout
où
Sn-j, S’n-j,
Soit
i
Soit
0
0 ~ i ~
i~
j
f l’image
f
du mot
Si,
1 .
n -
n, la proposition 1 est triviale. Calculons
=
fonction de
par la
S
.
et soient
représentation ,
c~ ~ . ~. ~
les valeurs propres de la matrice
i
03B11,
... ,
03B1n
étant celles de la matrice
~
03A f [Tr( f)-1]
f
t
Où
Il est facile de voir que la série
le déterminant de la matrice
Soit
est rationnelle. En
est la
transPosée
effet,
pour tout mot
f,
~,~"2 .
de la matrice
étant le produit de
L’application, qui au mot f , fait correspondre
deux anti-homomorphism est un homomorphisme, donc
qui
est le
produit de Hadamard de séries rationnelles, est
symétrie.
Plus
aussi
une
généralement, ayant démontré
nous avons
une
série rationnelle.
série rationnelle.
la rationalité des séries
Si,
démontrons la rationalité de la série
Faisons tous les
produits
de Hadamard des séries rationnelles suivantes :
Les coefficients obtenus sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers
positifs
des coefficients du binôme. Il est immédiat que les
0 ~ j i,
sont linéairement
pour coefficients les
entiers n’a
On
peut
qu’un
indépendantes, car
coefficients du binôme5 et
où
le déterminant des
un
polynôme
partir
de
S 0’
où
0
a
non
nul à coefficients
j
i .
nombre fini de zéros.
donc calculer
coefficients,
20-04
COROLLAIRE. - Pour tout entier
m
eZ,
a
la série
est
f
ra-
tionnelle.
,f vérifiant
Démonstration. - Toute matrice
a
suffit de démontrer la rationalité des séries
il
polynôme caractéristique,
son
pour
m ~
n -
1 , lorsque
m> 0 .
Si
m ~ 0 ,
Si
m=
on
fera les calculs
sur
la matrice
°
2,
nous avons
.
a(2)
Ceci montre que la série
Si
m =
3,
nous
est rationnelle.
pouvons écrire :1
or
comparant (2) et
marne façon en faisant
En
et des
a"~
où
i
(2’ ) ,
généralement,
R
série
y~ (Tr
nous
est rationnelle. De la
produits
démontrons que la série
R
pour toute matrice
f
a
voyons que la série
des combinaisons linéaires de
j ,
Plus
nous
de
Î4~,(C)
de Hadamard de
S(i)
est rationnelle.
et pour tout entier
m , la
est rationnelle.
Deuxième partie
est
1.
Supposons
que la
représentation
et que, pour tout mot
qu’il n’existe
se
mettre
A
et
sous
D
f
pas de matrice de
3.
représentation de X dans
matrice
f soit irréductible, cf
est
la
de
de degré
une
transposition
P
telle que la matrice
est-à-dire
puisse
la forme :
étant les matrices carrées.
Il est facile de voir dans
positive réelle
ce
cas
que la matrice
de module strictement
supérieur
valeur propre
J-f
admet
aux
modules des autres valeurs
une
.
20-05
Sf
propres
Supposons
que toute matrice
M3(B) .
est inversible dans
pi
tement la démonstration du théorème dans le
cas
où toute matrice
leur propre double. Ce
Où
det
~f
~f
admet
deux autres
et le
où il existe
cas
sent. Ce dernier
qui diffère
Ce
sont le
qui
cas
cas
où
cas
une
cas
matrice
matrice admettant 2
étant le
cas
en
une
est aussi le
valeurs
effet ces 2 derniers
cas
du
admet
opposées
va-
f. Les
complexe
s’en dédui-
det
tel que
f
une
valeur propre
une
propres
où il existe des mots
cas
,f
pour tout mot
0
>
complè-
Nous ferons
~f
0 .
premier c’est uniquement la démons-
tration des lemmes 1 et 2. ,
Le
général
cas
sera
la démonstration du
(3e partie)
représentation ~
traité à part
où la
cas
LEMME 1. - Si toute matrice
série 03A3f (03B1f)
LEMME 2. -
f
est
R
Si
car
c’est lui qui permet d’aborder
est de
degré quelconque.
admet 2 valeurs propres de même
pi
module~
alors la
rationnelle.
est
une
matrice de
M 3 (A) ,
alors
TrR~f s’écrit :
.
et
où
If (af 03B1f)
(A
sont les 2 valeurs propres de même module
~~
f
est rationnelle
l’
sur
anneau
A
étant rappelons-le l’anneau des entiers
Dém~onstr ation du lemme 1 dans le
cas
algébriques).
pf
l’ algèbre, engendrée
facile de voir, dans
cas
est
triangulisable
il est
et,
par la même remarque, que le lemme 2 est trivial dans
C,
sur
car
La démonstration
de
consiste, par
séries rationnelles, à isoler
Dans la
autres valeurs propres
En faisant le
nous
produit
ce
ce
pi ,
cas, que
cas.
produits de Hadamard
le terme
nous
f . Posons
j3
de Hadamard des 2 séries rationnelles s
voyons que la série de terme
est rationnelle.
par les matrices
des combinaisons linéaires de
n’indiquerons pas l’indice
étant toutes deux égales à
démonstration,
admet 2 valeurs pro-
où toute .matrice
pres confondues. - Eliminons le
où
Alors la série
..
général
= ~ ~ les
.
20-06
manière,
De la
démontre que la
la série de terme
série,
dont le terme
général
s’écrit
général
2
~2
est rationnelle.
Le
produit
démontre,
en
de Hadamard des séries de termes
tenant
compte
de la relation
(2),
généraux, respectivement égaux
que la série de terme
à
général
est rationnelle.
En combinant cette dernière relation
nous
voyons que la série de terme
avec
la série de terme
général
Tr
.f-l ,
général
est rationnelle.
De la même
façon,
nous
avonss
est rationnelle.
En tenant
compte
de la
relation (3) ,
nous
démontrons la rationalité de la série
’
de terme
général
Les relations
est
une
(2)
et
(5)
montrent que la série de terme
série rationnelle.
En intervertissant les matrices
nous
obtenons les relations
~f
et
et
en
faisant les mômes
opérations,
(1 ’ ) - (6’).
En combinant toutes les relations
lemme 1.
général
(1) - (6)
et
(1’ ) - (6’ )
nous
démontrons le
20-07
Le lemme 1 est valable pour toute
gré
au
à 4 telle que toute matrice
égal
mins
représentation
pf vérifie
est irréductible et
LEMME 1 t. - Si toute
de module
supérieur
a une une
autres valeurs propres sont
rationnelle sur R.
calquée
la matrice
Soit
=
confondues~
m ~
~f vérifie
(a,~
-
+
If
tionnelle et par suite
l
al
+
(Tr
e
positive,
alors la série
f
est
R,
le série
If
(Tr
R
p9)
f
Z .
son
polynôme caractéristique qui s’écrit
.trI) ,
y~fÙ~)
R
réelle
celle du lemme 1.
sur
est rationnelle pour tout entier
effet,
la condition suivante :
valeur propre
Démonstration du lemme 2. - Pour toute matrice
En
de de-
dans
modules des autres valeurs propres, et si les
aux
(n- 1 )
La démonstration est
XO;’
valeurs proprea confcndues.
matrice ..Lf
strictement
de
f
d’où
est
une
If
(Tr
R
f
est
une
série
ra-
série rationnelle pour tout entier
m .
Dans la
suite,
Plaçons-nous
les éléments de la matrice
dans la
(Rappelons
que
Dans cette
base,
où la matrice
base,
considérons le
nous
R
la matrice
cas
seront
p,f s’ écrit
désignés
sous sa
sans
l’indice
f.
forme de Jordan :
où les deux valeurs propres sont
confondues) .
s’écrit :1
’
d’où
(7)
Ecrivons les relations
pour
m=l~2~-1~-2~
et combinons les
tions obtenues entre elles. Nous démontrons ainsi que la série de terme
est rationnelle.
Abordons à
tenu du lemme
Compte
présent
1,
rela-
général a f
ceci démontre le lemme 2.
la démonstration du théorème 1 dans le
cas
où les deux valeurs
propres sont confondues.
Soit
u
(u , f)
f
une
série rationnelle à coefficients entiers
algébriques,
20-08
et soit
nnt
La
b ~
i~
(b , f)
1
série
une
rationnelle,
où
(b , 1)
Tr T
=
pour tout
y~i
f .
représentation
étant
1-1
telle que toute matrice
une
représentation
est inversible dans
f
du rronoide libre
1>13(,9) ,
X*
dans
R
la matrice
étant dans
MJ .~) .
Supposons
tout zot
Tr R
que toute matrice
f
admette 2 valeurs propres de même module. Pour
pf
X*,
de
~f s’écrit
aussi
est la valeur propre réelle de module strictement
où
f3 f’ P.p
plus grand
que celui de
étant l’autre valeur propre.
Nous allons démontrer la rationalité de la série de terme
puis la rationalité
de la série de terme
rationalité de la série
général
général
(c , f)
qui démontrera la
ce
c.
Première étape.
Pour toute matrice
det
f
>
f-TE
nous
avons
det
~f
=
d’où
dans
un
premier
cas
det
1
=
pour tout mot
f E
le
cas
traité par la suite.
-~
Si
f
.
0 .
Supposons
sera
où
et
g
sont 2 mots de
Si l’on établit
A
B
si
une
XX ,
nous
relation d’ordre
A.. B..
-LJ -LJ
II est facile de voir que
sur
pour tout
avons
les matrices de
couple
(i~ j) ~
M~(N )
par:
1 ~ i , j ~ 3 .
général
20-09
d i ù
det
or
f ~g
=
det
pf
1 , d’où
det
or
En écrivant la relation
(9)
pour le mot
fg ,
nous
obtenons
or
d’où
Si le mot
pouvons
nous
à
f
A
f =
l’ expression (10) s’écrit aussi :
h1 h2
continuer le processus de
partir d’une
gueur du mot
s’écrit
certaine
longueur n..
décomposition
des
rots,
car
des mots
bfg
f9
est
un
ceci démontre que
polynôme
en
la lon-
fg.
partir de cette longueur
nO’
nous
pouvons donc
écrire
Donc les déterminants de Hankel de la série de terme
...
.
général
(u y î) .~ nr0~
Vn
20-10
tendent
0
vers
ils sont nuls
algébriques,
f)
If [ (c ,
La série
entiers
longueur des mots f croît, comme ce sont des
à partir d’une certaine longueur des mots f.
la
lorsque
est donc rationnelle
f
sur
l’anneau des entiers al-
gébriques.
Démonstrons à présent la rationalité de la série de terme général
nous avons vu que la série de terme
était rationnelle.
général 03B1-1f
Il suffit de remarquer que, pour tout
couple d’entiers
tout
l’égalité
terme général
et donc
de
qui démontre
la
des
inverses ;
et pour
suite, les déterminants de Hankel de la série
partir d’une certaine longueur des mots f , ce
sont
de la
dans le cas où la
XX*
l’égalité
avons
nous
de
puisque
par
nuls à
a;l
série
rationalité
(aj" .
général
de terme
l’égalité (12)
pour démontrer
adoptée
La méthode
p , p’ ) 1 ,
(f y g)
de mots
couple
a;l
est celle
qui
été utilisée
a
était de degré 2. Elle est essentiellement cal-
représentation
culatoire.
En
effet,
Nous
nous
si
et
f
plaçons
En
les
ce
polynôme,
remplaçant 03B2
ce
p
qui
obtenons j3
et 03B1
nous en
général.
,
ce
y
a
avons :
est écrite
de la matrice
qui permet
par leurs valeurs
en
sa
sous
forme de
et la déri-
pg
de calculer Ci
.
gf
03B1pf
fonction de
et
03B2pf
dans
unicité de l’écriture des coefficients
déduisons que
termine la démonstration du
cas
gfp
remarquant qu’il
rationnelle,
Etudions le
pf
polynôme caractéristique
nous
égalités (13) gfpet
d’une série
nous
dans la base où la matrice
Jordan. En calculant le
vée de
sont deux mots de
g
théorème dans
Si pour tout
couple
de
ce
cas
particulier.
mots (f, g)
de
nous
avons
comme
det
f
g = det
B.1f
det
il est immédiat que l’
inégalité
suivante
a
lieu
20-11
Connaissant la majoration des coefficients d’un
déterminant [2].
ce
tendent
Ceci montre que la série
algébriques,
ce
nous
Z..
qui démontre
(c , f)
le
général
augmente.
est rationnelle sur l’anneau des entiers
f
théorème
f
du imt
Inajnrer
pouvons
Donc les déterminants de Hankel de la série de terme
très vite lorsque la longueur
0
vers
déterminante
1.
*
Etudions l’autre cas, qui est le
cas
où il existe des mots
f,
g
de
XX
tel
que
Démontrons que
Etant dpmmée
ses
03B1fg
une
et
matrice
03B1f
03B1g
sont deux
quantités très
quelconque
de
M/.9)
voisines.
il est facile de voir que
valeurs propres sont dans les cercles suivants:
Dans le
cas
qui
nous
intéresse les valeurs propres sont
réelles, l’ inégalité (15)
s’écrit donc
d’où
Cette dernière
i
=
inégalité,
écrite pour les matrices
pi
et
tu,g
et l’indice
1 , permet d’écrire :
d’où
En effectuant le
figure
dans
développement du
l’expression d’un terme
membre de
de
pf
drnite, nous
g ,
voyons que
chaque
terme
20-12
(cette majoration
pour
un
est
assez
certain entier
k,
Considérons la matrice
(k , k)
~
une
fonction
qui
a
où
1
et
affinée),
peut être
~ k ~ 3.
dont le seul élément
A.-~
si
non
nul est le coefficient
(f
égala
remarquant
en
grossière
que la fonction
qui à
toute matrice associe
croissante, la relation d’ordre
été définie précédemment. D’où
son
rayon
spectral
est
l’ ensemble des matrices étant celle
sur
si
Sinon,
et
peut
on
voir que
maxi,j
( f g).
et
a
,
ig
sont
équivalents.
"
Pour cela il suffit de munir l’ ensemble des matrices de
remarquant
en
est
une
matrice
idempotente qui n’est
Remarquons qu’il
B.1g)..
existe
une
et
pas la matrice unitéo
03B1fg
sont
équivalents.
autre méthode pour voir
et
que 03B1fg g
équivalents.
Utilisons les
qui
ont lieu
constante
cients
non
topologie
que
Ceci montre que
sont
d’une
HJ (!!")
inégalités
chaque
[5].
t
suivantes :
fois que la
sonne
des
lignes
de la matrice
En calculant les valeurs propres de la matrice
nuls sont si
g)K, K
pi pg
B
n’est pas
dont les coeffi-
20-13
et
diagonaux égaux à
les coefficients
1
et les autres coefficients
nuls~
nous
voyons
que
( f g)
si le maximum des
min( f g)
et
..
..
sont
sur
la même
B’
qui
a
colonne. Sinon il suffit de considérer la matrice
aux
coefficients qui
correspondent
au
maximum et
au
des
ligne nu la même
1 partout sauf
minimum :
et
alors
En examinant tous les
cas nous
14
voyons que la borne
g
est
03B1fg
une
borne
acceptable. D’où
D’où l inégalité suivante1
dès que f
grande. Donc les déterminants de Hankel de la série
/Y4
or
tendent
est
vers
0
très vite
est rationnelle
o
2. Etude du
Soient
avons
p
dans
cas
une
algèbre
sur
sur
ce cas
1
que
l’anneau
A~
l’anneau des entiers
où une matrice
et ~
3. - L’
plus petit
f
et sont
est
en
un
mot de
nodule
longueur
assez
1 . Donc la série
algébriques.
admet une valeur p
les valeurs propres de la matrice
ropre
complexe.
Supposons
j3
-j; i3 .
Nous
le lemme suivant1
algèbre
réductible
d
sur
engendrée
C.
par la
représentation
et la matrice
R
est
20-14
Démonstration du lemme 3.. - La matrice
S
distinctes est
pf~
la matrice
et
propres p
diagonalisable.
dans la base où cette matrice
Plaçons-nous
n
admettant deux valeurs
pi
~f
est
diagonale.
Pour tout entier
s’écrit
~
Soient
cette
un
g
base~
mot de
la matrice
les coefficients
Nous
En
et
avons
séparant
s, 9
~,g
g
son
image
par la
représentation
p, . Dans
s’écrit s
e ~ j
étant dans
c.
donc :
parties réelles
les
et
imaginaires
dans la
relation (17),
nous
avons,
si
d’où
et
la
Si
relation (18)
s’écrit aussi :
d’où
d’où
d’où
Or
k
pour tout entier
v = 0.
nous
avons
donc
n,
ce
qui
est
inpossible puisque
>
1,
20-15
d
n
Or
(f - k) ==
nous avons
0 .
supposé dn
n
0
n =
pour
1 . Ceci montre que
nous avons
la
tion
(2°)
f- k = 0 .
Les conditions
(19)
(20)
et
Pour toute matrice
e = j
montrent que
ainsi que pour la
pour toute matrice
.matrice R ,
nous arvons
g.
les 2 relations
suivantes1
Nous
et
explicitons
~h’ ~
où
h
et
les 2 relations
h’
Si les matrices
(21)
et
(22)
pour le
produit
de 2
matrices h
sont deux mots de
et
1
s écrivent respectivement :
BJ.h
Les 2 conditions
(21)
et
(22) permettent
Les 2 conditions
(23)
et
(24)
démontrent que
(26’)
explicitons
A l’aide de la relation
En faisant les calculs
nous
d’écrire les conditions suivantes :
démontrons que
la relation
(26).
20-16
Soit
CL
au
par la matrice R
l’algèbre engendrée
et les matrices
sur
C . Si
triangulisable, auquel cas elle est bien entendu réductible, il
un mot
hO de XX" pour lequel les 4 coefficients d, f, g, e
~hO ne sont pas tous nuls~ et soient
n’est pas
existe
moins
de la
matrice
et
Pour tout
et pour la matrice
de
tions (23)~ (24)~ ( 25 ) , ( 26) , ( 27) ,
[La
ph (resp. 5 )
matrice
jugués
de
ceux
Soit
Fi
une
En convenant
de la matrice
matrice de
nous
avons,
d’après
la relation suivante :
les rela,
étant la matrice dont tous les coefficients sont
con-
~,h (resp. R )’]
l’ algébre
sur
(.e ) 0’
M
partie imaginaire,
et-
d’appeler R 1
R,
0 j n2 -1.
la base
S’ écrit donc
d’où
En calculant la
(26), (27),
nous
où
!.12 ~ f.1]
et
A1
~~’ algèbre
Il existe donc
compte
des relations
(24) , (25) ,
voyons que
Or les matrices
triviale.
tenant
en
une
t~,
B
ne
est donc
base dans
sont des
sont pas
une
nulles,
algèbre
laquelle
donc la relation
réductible
les matrices de
représentations,
f.11
sur
(29)
n’est pas
C .
1~ algèbre Ë s’écrivent
étant une représentation de
degré
1.
20-17
Si
bre
deux de degré 1 ~ alors 14 algèbre
~2 et B1J sont toutes
triangulisable. Par un raisonnement élémentaire sur les modules
qui démontre
c e
en
ce
des valeurs
même t emp s le s lemmes 1 et 2.
Sinon, si 1J.2 est une représentation irréductible
la représentation nulle.
Dans
algè-
une
démontre que
on
propres,
est
cas, par
raisonnement
un
sur
de
degré 2,
est
alors 3
le module des valeurs propres
on
démontre
que
alors
Il suffit de raisonner
les
sur
mots fp g n
ou
p ,
,~
Si
f
1
[3f
=
pour
Un
f
certain rot
de
n E
lI ;* .
,
alors de la même manière
XX,
nous
avons:
En raisonnant
simplement
le module des valeurs propres,
sur
voyons dans
nous
ce
cas
Ceci démontre à la fois le lemme 1 et le lemme 2.
particulier,
La démonstration du théorème
se
fait exactement
dans le
comme
cas
où les 2 valeurs
propres sont confondues et
3. Etude du cas où
Toute matrice
quons que
phabet,
qui
sera
et
i-Lg
conserve
si,
pour tout
à
série Z..
pi
admet 2 valeurs
admet 2 valeurs propres
eg
prolongée
Donc la
matrice
une
X’
(ef)
~g
montrons que la
donc la série
cas
eg
j3g ~ où
eg
= :’:
rationalités En effet, si X = (x , ... ,
r
i , nous définissons l’ application ’ par
la
par
f
multiplication,
alors pour tout mot
f
1 . Remar-
3~)
est l’al-
nous
avons
est rationnelle.
La démonstration du lemme 1 est immédiate dans
méthodes que dans le
et
propre réelles opposées.
où la matrice
série ~ ~ ~ 1
f
+
pi
f
a
ce cas.
2 valeurs
est
est rationnelle.
appliquant les mêmes
propres confondues, nous déEn
rationnelle,
or
20-18
La
(ef)
série 03A3f
étant
f
rationnelle,
la série de terme
Z
Pour démontrer le lemme
En
remarquant
terme
et le lemme 1 est démontré dans
rationnelle,
est
que la
2,
nous nous ramenons
(Tr
série 03A3f
R
qui ressemble
un cas
rationnelle,
et
en
au
1 er
cas.
développant
’
’
20141
03B1-1f
’
rationnelle. Ceci termine la démonstration du lemme 2.
Le théorème
démontre ensuite exactement
se
Troisième
4. Etude du
Le
cas
cas
général lorsque
admette 3 valeurs
Soit,
en
notant
Pour tout mot
Le terme
Or
det
f
f
pg
de
XX ,
aG
det
~f
dans
det
c
dans le 1 er cas.
artie.
mot
g..
de
XX
tel que la matrice
de modules différents.
la valeur propre de module
nous avons
de la série
~f étant
=
par
comme
3 .
=
un
propres 03B101 03B201 03B20
toujours
général
Les matrices
N
est celui où il existe
général
son
que dans le 1er cas, nous obtenons la rationao
est
énéral.
Or la série de terme général
en
’
ce cas.
s’écrit
général qui
’
à
est
f
appliquant les mees techniques
lité de la série de terme général
et
est rationnelle. Donc la série
f
est rationnelle. Donc la
général
maximum,
donc la relation
s’écrivant :1
M~(~ )
ce
pour tout
couple
qui s’ écrit aussi
de mots
f~
g
e
20-19
Si,
l’avons
connue nous
vu
dans le
k, d’où
que la
est
x
longueur des mots
Il existe donc
où les valeurs propres sont
cas
une
fg
certaine
croït,
confondues,
quantité très petite lors-
une
il s’en suit que
longueur
(30)
des mots telle que la relation
n0
peut s’écrire :
où
Les déterminants de Hankel de la série de terme
des entiers
que la
algébriques,
longueur
longueur
des mots
vers
augmente. Ils sont
f
l’anneau des entiers
sur
(c, f)
qui sont
très vite et leur nodule est
0
f . Donc la série de terme
des rots
est rationnelle
tendent
général
donc nuls à
1
lors-
partir d’une certaine
général
algébriques.
Or
d’où
Donc la série de terme
est rationnelle
l’
sur
général :
anneau
des entiers
Ceci démontre que, pour tout entier
est rationnelle
Pour terwiner la
R
démonstration,
n ~ 1 , la série de terme général
algébriques.
il suffit d’examiner les différents
cas
selon la
R .
matrice
Si
n ~
l’anneau des entiers
sur
algébriques.
=
où
À
# 0~
cas, que la série de terme
donc
a., ~ À
pour tout mot
général ( c , f) af
f . Il est
immédiate
dans
est. rationnelle. Donc pour tout
ce
20-20
n ~ la série de terme
entier
général
est rationnelle.
étant
de la matrice
tique
pf , vérifie
valeur propre de la matrice
une
polynôme caractéris-
le
soit
d’où
et
a
a2,
étant des fonctions
proposition (30)
Or entiers
Ce
donc la série
des valeurs propres, sont
des termes
Z..
(c, f)
d’après
la
de séries rationnelles.
généraux
f
est rationnelle
OL
engendrée
sur
l’anneau des
algébriques.
R
Cas où
et R
prendere partie
de la
det
=
symétriques
appartient
au
centre de
l’algèbre
par les matrices
f,
03BBI.
cas
est aussi le
cas
où
l’algèbre
6L
est
algèbre triangulisable
une
sur
C,
d’où
af
.
V
Donc,
=
|f|xi = ! ë)|xi
a
h, h’
e
Pour tout xi ~ X
(x1,..., xn).
=
X*,
d’où
Les déterminants de Hankel de la série de terme
série de terme général
est donc
rationnelle,.
dent. La série
c
=
a" 1
a;l
général
général (c , f) QI f
identique au cas précé-
est rationnelle. La série de terme
et la suite de la démonstration est
I (c ,
sont tous nuls. La
f)
f
est donc rationnelle
l’anneau des entiers al-
sur
gébriques.
général. - Soit ~f l’image
f est triangulisable, nous avons
n ~1 ~
Cas
’
P
d’un mot
f
XX" .
de
Dans la base où la matrice
’
étant la matrice de passage.
La relation
(35)
s’écrit aussi ;
iF
pour tout mot
g
de
X
et pour tout entier
20-21
L’idée de la démonstration est de prouver que
et d’utiliser la continuité de la fonction déterminante
Or si
D* autre
au
voisinage du point
0 .
n -+ co
part,
d’où
D ’ autre
En
p art,
comparant les relations
Remarquons
à
nous avons
que
partir d’ une
(p
pg
certaine
(37)~ ( 38) , (39),
p-1)11 f. 0 .
longueur
En
effet,
dès mots
f
nous en
si
concluons que
(p pi
=
11
0,
et d’un indice
n,
on
sens, d’où si
(P
R g p)11
on
aurait
aurait
d’où
or
Pour tout indice
n ,
l’expression (40)
a un
0,
20-22
ail
Donc la série de terme
qui
ce
ques,
c
f)
(c , f)
respectivement à
Donc la série
est rationnelle. Les séries de termes
f)
=
f
a
et
est rationnelle
termine la démonstration dans le
(c,f)03B13f,
l’anneau
sur
cas ou
généraux, égaux
sont rationnelles.
des entiers
algébri-
N = 3 .
Quatrième partie
(cas
5. Démonstration du théorème 2.
THÉORÈME
algébriques.
est
entier
un
MN(*) ,
(u , f)
2. - Soit
Si pour tout mot
c
f
=
représentation
est de
degré quelconque) .
série rationnelle à coefficients entiers
une
f,
étant une
algébrique,
alors la série
où la
1
(c , f)
représentation
est rationnelle
f
X*
inversible de
dans
1’ anneau des entiers
sur
algébriques.
Démonstration. - Elle est exactement identique à celle faite dans le
Tr Ë f s’ écrit:
et où N = 3 . En effet si, pour tout mot f ,
étant la valeur propre réelle de module maximum, il existe
un
cas
entier
général
no
tel
que, si
alors1 ufl
1
Par les
dès
que|f| 3- nO .
techniques
de
ma joration,
on
démontre que la série de terme
général
’
est rationnelle.
Puis,
que pour tout entier
1 , la série
n
de terme
général
est rationnelle.
Si la
représentation
V f ,
La série de terme
est rationnelle
Si
sur
engendre
p,
tel que
0.;1
l’anneau
général
l’algèbre engendrée
une
=
|g| xi
pour tout
alors
x. :L E X-=
est donc rationnelle. Donc la série
des entiers
par la
algèbre triangulisable sur C
algébriques.
représentation
n’est pas triangulisable, il
f
20-23
suffit de remarquer que, pour tout
entier
couple
de nnts
f,
g
de
XX
n i
( P
étant la matrice de passage qui permet d’écrire la matrice
triangulaire sup érieure) , d’où
me
et pour tout
~f
sous sa
for-
d’ou
Si
alors
Donc la série
est
toute matrice
rationnelle,
f vérifiant
son
polynôme caractéristique, qui
s’écrit :
En tenant
coiapte
est rationnelle
Ce
cas
des relations
sur
(42’)
l’anneau des entiers
général démontre
(44),
et
nous
voyons que la série
algébriques.
aussi de manière
plus rigoureuse
le résultat énoncé
en
[2].
BIBLIOGRAPHIE
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CANTOR
On arithmetic properties of the Taylor series of rational
Pac. J. of Math., t. 41, 1972, p. 329-345.
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Prentice
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