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LES NOMBRES COMPLEXES
RAPPELS
Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique
sous la forme algébrique :
z  a  ib
a est appelé partie réelle de z , et noté Re  z 
b est appelé partie imaginaire de z , et noté Im  z 
si b  0, z est un réel.
On le note z  R
si a  0, z est un imaginaire pur.
On le note z  iR
Dans la suite du dossier, on pose z  a  ib
avec a et b réels
z  a  ib affixe du point M : noté M  z 
OM z 
z  a  ib affixe du vecteur OM : noté OM  z 
Si
le point A a pour affixe z A
et le point B a pour affixe z B
alors le vecteur AB a pour affixe : z  z B  z A
Demo :
AB  AO  OB  OA  OB
donc z AB   z A  z B
Soit z  a  ib un complexe.
On appelle conjugué de z,
le complexe : z  a  ib
z  z  2a
z  z  2ib
On en déduit :
zz
donc Re  z   a 
2
zz
donc Im  z   b 
2i
z
 zz
z i
 z  z
Propriétés
zz 
 a  ib  a  ib  
z z
z1  z2  z1  z2
z1 z2  z1  z2
 z1  z1
si z2  0,   
 z2  z2
a 2  b2
Soit z  a  ib un complexe.
On appelle module de z,
le réel positif : z  zz
z  zz  a 2  b 2
z z
z  z
z1
z1

z2
z2
z1z2  z1  z2
si z2  0,
z 0  z 0
z
1
si z  0,
 2
z
z
DEMO
définition z  zz
donc z1z2  z1z2  z1z2
z1z2  z1  z2  z1  z2
z1z2  z1  z1  z2  z2
z1z2  z1  z2
inégalité triangulaire :
z1  z2  z1  z2
Demo après le poly
 Dans un triangle, la
longueur d’un côté est
inférieure ou égale à la
somme des longueurs
des deux autres côtés
Soit z  a  ib un complexe non nul.


On appelle argument de z , une mesure  de l’angle e1 , OM ,
définie à 2 près, et notée   arg  z  2 
Tout nombre complexe non nul z s’écrit
sous forme trigonométrique :
z    cos  i sin  
avec   z
et   arg  z   2 
Propriétés
pour tous complexes non nuls z , z1 , z2
z
z i


 arg  z   0
 arg  z  
arg  z   arg  z 
 

 
2
 2 
arg   z   arg  z   
2 
arg  z1z2   arg  z1   arg  z2 
arg  z1 / z2   arg  z1   arg  z2 
2 
2 
DEMO
on pose z1  1ei1 et z2  2ei2
alors z1z2  12ei1 ei2
z1z2  12e  1
i  2 
  ei
on a 1 2  0
donc z1z2  12  z1  z2
et arg  z1z2   1  2  arg  z1   arg  z2 
2 
  R , on note
ei = cos  i sin 
ei 0  1
e
i
3
2
 i
ei  1
i

e2  i
Tout nombre complexe non nul z s’écrit
sous forme exponentielle:
z   ei
avec   z
et   arg  z   2 
Propriétés
pour tout réel  :
i
signe de e : inexistant
ei  1
justification graphique : M  ei  est sur le cercle trigo
i
justification calculatoire : e  cos   sin   1  1
i
e e
 i
1
 i
e

i
e
2
2
i
e e
i   
Propriétés
pour tous réels  et  :
ei  ei  ei  
ei
i   
e

i
e
e
i (  )
i
i
 e  e  e
e  1    0 2 
i
i

e
i (  )
2
i
i

 e  e  ie
2
i
e  e      2 
i
i
je
i
2
3
 
 e 
j2  e
j3
i 2
3
2
i 2
3
3
e
1
j 4  j3  j  j
j 1
3k
j  j2
j
3 k 1
 j j j
3k
1 j  j2  0
j
3k  2
 j j  j
3k
2
i 4
3
2
ie
i

2
i 2  1
i 3  i
i 1
4
i5  i 4  i  i
i 4k  1
i 4 k 1  i
i 4 k 2  1
i 4 k 3  i