Powerpoint

Rappel...
• Diagonalisation.
• Transformations linéaires.
Aujourd’hui
• Systèmes dynamiques:
– discrets;
– continus.
(valeurs propres complexes)
12. Systèmes dynamiques
• L’approche moderne en théorie de la
commande utilise la représentation d’états.
• Cette méthode fait beaucoup appel à
l’algèbre linéaire.
• On y étudie, entre autres, la réponse en
régime permanent.
Régime permanent
Le régime permanent est analogue au
comportement à long terme d’un système
xk+1 = Axk
que nous avons déjà étudié pour le cas où x0
est un vecteur propre de A.
Note: systèmes discrets et continus.
Systèmes discrets 2  2
Équations aux différences
xk+1 = Axk
avec x0 = c1v1 + c2v2
où v1 et v2 sont les vecteurs propres de A avec les
valeurs propres 1 et 2.
Systèmes discrets 2  2 (suite)
x1 = Ax0 = A(c1v1 + c2v2 ) = c11v1 + c2 2v2
x2 = Ax1 = A(c11v1 + c2 2v2)
= c1 ( 1)2v1 + c2 ( 2)2v2
En général:
xk = c1 ( 1)kv1 + c2 ( 2)kv2
Systèmes discrets n  n
On peut généraliser le cas 2  2.
x0 = c1v1 + c2v2 +… + cnvn
xk = c1 ( 1)kv1 +c2 ( 2)kv2 +… + cn ( n)kvn
Note: on suppose que Span{v1, …, vn} = Rn,
i.e. v1, …, vn sont linéairement indépendants.
Description graphique des
solutions
• Systèmes 2  2.
xk+1 = Axk
• On cherche à savoir ce qui arrive lorsque
k  .
Changement de variables
• Jusqu’ici on a traité du cas (facile) d’une
matrice diagonale. Qu’arrive-t-il si A n’est
pas une matrice diagonale?
Changement de variables
(suite)
• Soit xk+1 = Axk
• On définit une autre séquence: yk = P-1xk,
i.e. xk = Pyk.
où A = PDP-1 (diagonalisation de A).
• Donc, Pyk+1 = APyk = (PDP-1)Pyk = PDyk.
•  P-1  yk+1 = Dyk
Valeurs propres complexes
• A n’est pas diagonalisable dans Rn.
• On peut quand même illustrer le
comportement du système.
Systèmes continus
• Équations différentielles.
• Soit le système d’équations suivant:
x1’ = a11x1 + … + a1nxn
x2’ = a21x1 + … + a2nxn
….
xn’ = an1x1 + … + annxn
x’ = Ax
Systèmes continus - solutions
• Une solution de ce système est une fonction
satisfaisant x’ = Ax pour t  0, par exemple.
• x’ = Ax est une équation linéaire, car la
dérivée et les opérations matricielles sont
linéaires.
Linéarité
• Donc, si u et v sont des solutions de x’ = Ax,
alors cu + dv est aussi une solution:
(cu + dv)’ = cu’ + dv’
= cAu + dAv
= A(cu + dv)
• Superposition des solutions.
• 0 est aussi une solution.
Linéarité (suite)
• On peut dire que l’ensemble des solutions
est un sous-espace de l’ensemble de toutes
les fonctions continues dans Rn.
• On peut trouver un ensemble de solutions
fondamentales.
• Si A est n  n, on a n fonctions linéairement
indépendantes dans cet ensemble base.
Conditions initiales
• Si on spécifie x0 (conditions initiales), alors
le problème se ramène à calculer la fonction
unique:
x’ = Ax et x(0) = x0
Prochain cours...
• Orthogonalité.
– Produit scalaire, module;
– Ensembles orthogonaux.