TD 13 : Probabilités sur un univers fini

ECE 1
TD 13 : Probabilités sur un univers fini
Exercice 1. Soit n ∈ N∗ . On lance n fois une pièce. Pour chaque i ∈ [[1 ; n]], on note Pi l’événement :
« on obtient pile au ième tirage ». Exprimer en fonction des Pi (i ∈ [[1 ; n]]), les événements suivants :
1. « On obtient pile au 3ème lancer »
2. « On obtient face au 2ème lancer »
3. « On obtient pile aux trois premiers lancers et face au 4ème lancer »
4. « On obtient pile au n lancers »
5. « On obtient le premier face au 7ème lancer »
6. « On obtient au moins un face dans les n lancers »
Exercice 2. On compose au hasard un numéro de téléphone de 10 chiffres.
Quelle est la probabilité que tous les chiffres soient distincts ? Que le nombre obtenu soit divisible par 2 ?
Exercice 3. Le problème des anniversaires.
On considère un groupe de n personnes (n ∈ N∗ avec n ≤ 365).
Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour ?
Exercice 4. Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires.
1. On tire au hasard successivement et avec remise 2 boules de l’urne.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche et une boule noire dans cet ordre ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche et une boule noire dans un ordre quelconque ?
2. Mêmes questions dans le cas de tirages sans remise.
3. On tire simultanément 5 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 boules blanches et 3
boules noires ?
Exercice 5. On tire trois cartes simultanément d’un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un As ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir 3 cartes de la même hauteur ?
3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux couleurs différentes ?
4. Quelle est la probabilité d’avoir un roi et deux dames ?
5. Refaire les questions précédentes dans le cas où l’on tire les cartes successivement et sans remise.
Exercice 6.
1. On tire, l’une après l’autre, avec remise et au hasard 3 boules d’une urne qui contient 4 boules
rouges, 5 blanches et 7 jaunes. Donner la probabilité des évènements suivants :
(a) A « obtenir un tirage unicolore »
(b) B « obtenir un tirage tricolore »
(c) C « obtenir un tirage bicolore »
2. On tire, l’une après l’autre, avec remise et au hasard n boules de cette urne (n ≥ 3). Quelle est la
probabilité d’obtenir au moins une boule rouge ? 2 boules rouges exactement ?
Lycée Jean Calvin, Noyon
2016/2017
Probabilités sur un univers fini
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Exercice 7. On jette deux fois de suite un dé truqué fonctionnant de la manière suivante :
• Le chiffre 6 a deux fois plus de chances d’apparaitre que le chiffre 1.
• Le chiffre 1 a deux fois plus de chances d’apparaitre que tous les autres chiffres (sauf 6).
Déterminer la probabilité d’obtenir un double 6.
Exercice 8. Soit n ∈ N∗ . On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer successivement n fois
un dé (équilibré) et à noter les n résultats obtenus (dans l’ordre).
1. Décrire l’univers Ω associé à cette expérience aléatoire. Déterminer le cardinal de Ω.
2. (a) Calculer la probabilité de l’évènement A « on obtient uniquement le nombre 1 »
(b) Calculer la probabilité de l’évènement B « on obtient n fois le même nombre »
3. (a) Calculer la probabilité de l’évènement C « on obtient au moins un 6 ».
(b) Montrer que cette probabilité est supérieure ou égale à 0.9 si et seulement si
n≥
ln(10)
ln(6) − ln(5)
Exercice 9. On considère une expérience aléatoire E et Ω son univers des possibles. On note E, F deux
évènements de cette expérience.
1. Montrer que P (E ∪ F ) ≤ P (E) + P (F ).
2. Soit G un évènement. Montrer que P (E ∪ F ∪ G) ≤ P (E) + P (F ) + P (G).
3. Écrire cette inégalité pour E, F et G et en déduire que si E, F et G sont équiprobables de probabilité
2
p et si P (E ∩ F ∩ G) = 0 alors p ≤ ·
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