LES FONCTIONS x ↦ x . (1

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée
1
LES FONCTIONS
x a x . (1-x)
1
ET x a x +
x
Groupe IREM Mathématiques et Sciences Physiques au Lycée
Monique Mandleur, Monique Sosset, Michèle Fauré,
Gabriel Birague, Pierre López
Introduction.
Pour nous, l’interdisciplinarité entre mathématiques et sciences physiques ne consiste pas à
rechercher des situations à contexte physique (qui sont le plus souvent pseudo concrètes) qui
peuvent illustrer certaines notions mathématiques. Notre approche consiste à interroger la
pratique des professeurs de sciences physiques dans leurs classes et à étudier l’usage explicite
ou implicite qu’ils font d’outils mathématiques.
Cet article en est un exemple.
Dans une première partie on trouvera exposées par un physicien (rédacteur : Gabriel Birague)
deux séances d’électronique et d’électrotechnique (classes de Terminale STI et TS Génie
Electrotechnique).
La seconde partie essaie d’expliquer et de justifier cette pratique d’un point de vue
mathématique et donne les conséquences que l’on peut en tirer pour la mise en pratique des
programmes de mathématiques (rédacteur : Pierre López).
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2
1. Utilisation en électronique de puissance et en
électrotechnique.
L'électronique de puissance étudie les montages électriques parcourus par des courants
importants (> 1A) dans lesquels les composants électroniques fonctionnent comme des
interrupteurs (ouvert : courant nul, fermé : tension aux bornes nulle). La fréquence de
commutation des interrupteurs est élevée (50 Hz, typiquement supérieur à quelques kHz). La
puissance dissipée dans les interrupteurs est faible. Le rendement est excellent.
Les montages typiques concernent la conversion de l'énergie électrique. En particulier, on
réalise :
• des sources continues variables ou non : par exemple, alimentation de moteurs à
courant continu (variation de vitesse), alimentation de circuits électroniques
(ordinateur),
• des sources alternatives variables en fréquence et en valeur efficace (alimentation de
moteurs à courant alternatif (par exemple, moteurs des locomotives du TGV),
alimentation de secours pour le réseau EDF (onduleurs).
On peut trouver deux exemples des fonctions mathématiques qui nous intéressent dans les
deux montages suivants :
La fonction x a x . (1 – x) se retrouve dans l'expression de l'ondulation du
1.
courant de sortie d'un hacheur série,
1
k
2.
La fonction x a x + (ou plus généralement les fonctions x a x + )
x
x
intervient dans l'expression du moment du couple d'un moteur asynchrone.
1°) Alimentation d’un moteur à courant continu par un hacheur
série : expression de l’ondulation dans le moteur.
A partir d'une source de tension continue fixe, ce montage fournit une tension périodique
découpée (hachée). Le moteur réagit à la valeur moyenne de la tension car la période de
hachage (<0,1ms) est beaucoup plus petite que le temps de réponse du moteur (>0,1 s).
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3
La valeur moyenne est réglable entre 0 et E par un paramètre, r, rapport cyclique. Cette
grandeur de commande est directement liée à la durée pendant laquelle on applique la tension
d'entrée au moteur.
L
i
ui
T
u
E
+
E
i
u
DR
Mcc
=
0
0
rT
T
T+rT
t
Le transistor de puissance, TP, est commandé périodiquement (passant de t=0 à t=rT, bloqué
de t=rT à t=T.
La bobine L impose la continuité du courant. Le blocage du transistor entraîne la mise en
conduction de la diode DRL, appelée diode de roue libre. Réciproquement, la mise en
conduction de TP entraîne le blocage de DRL.
Le courant i est croissant lorsque TP est passant et décroissant lorsque la diode DRL conduit.
Le moteur peut être modélisé par une source de tension continue proportionnelle à la vitesse
Em = KxΩ
Ici, on peut considérer que le moteur est modélisé par une source de tension continue fixe Em.
Pour t ∈ [0, rT] , u = E, TP conduit.
Pour t ∈ [rT, T], u = 0, DRL conduit.
La valeur moyenne de cette tension vaut <U> = r*E .
Elle est proportionnelle au rapport cyclique de la commande : r =
La loi des branches côté moteur permet d'écrire u= L*
tON
T
di
+ Em. (1)
dt
On remarque qu'en régime permanent, le courant est périodique (i(0) = i(T).
Ecrivons la relation (1) en valeur moyenne
di
<u>= <L* > + <Em> .
dt
di
Pour des raisons physiques liées à la périodicité du courant, on impose que < > = 0, soit
dt
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4
<U> = Em = r*T
L'ondulation de courant ∆I est définie comme la différence Imax-Imin
∆ I = I max − I min
Pendant la phase de croissance du courant la relation (1) devient :
u= L*
soit
di
∆I
∆I E-Em
+ Em. (1) soit
=
=
,
dt
r*T
L
∆t
∆I =
E*T
r (1-r) (= Imax-Imin)
L *
Ordre de grandeur :
E = 200V (220V alternatif redressé), T= 0.1ms (f= 10kHz), L = 20 mH, soit ∆Imax=0.5A
La figure ci-dessous montre l'évolution de ∆I en fonction du rapport cyclique ( r ∈ [0, 1] ).
La valeur maximale de ∆I est un paramètre important lors du choix des constituants du
hacheur : choix de la tension d'alimentation, inductance de la bobine de lissage, fréquence de
hachage.
La symétrie de la parabole montre que le maximum a lieu pour r=0,5
ondulation de courant en fonction du rapport
cyclique
DI, ondulation de courant
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
r, rapport cyclique
0,7
0,8
0,9
1
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5
2°) Puissance transmise au rotor d’un moteur asynch rone triphasé.
Un moteur asynchrone triphasé est constitué de trois bobinages placés au stator (partie fixe) et
d'une partie tournante (rotor) pouvant entraîner une charge en rotation. Les trois bobinages
statoriques alimentés en triphasé créent un champ magnétique tournant, analogue à celui
produit par un aimant droit tournant autour de son axe. Le rotor, soumis à ce champ variable,
est le siège de courants induits, qui tendent à l'entraîner à la vitesse de ce champ, notée Ns et
appelée vitesse de synchronisme. Ns est liée à la fréquence des courants d'alimentation et au
F
nombre de paires de pôles du stator. Ns= . Le rotor tourne à la vitesse N, inférieure à Ns. La
p
différence relative appelée glissement est un paramètre caractéristique du fonctionnement du
Ns-N
moteur. g=
. Sa valeur et son signe indiquent le sens de transfert de l'énergie et la
Ns
valeur de la puissance transmise.
Schéma du montage :
V1
N
A
V2
C
V3
Prise de terre,
piquet de terre
EDF
MAS
3~
B
N
Le système de tensions triphasées a l'allure suivante :
tensions simples triphasées Vmax = 325V, Veff= 230V
1,5
tensions /Vmax
V1
V3
V2
1
0,5
V1
0
V2
0
50
100
150
200
-0,5
-1
-1,5
phase
250
300
350
400
V3
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6
Schéma équivalent monophasé:
3.
La symétrie de l'alimentation et de la réalisation du moteur permettent de
considérer uniquement le schéma équivalent monophasé ci-dessous.
i
R/g
V
Lm
v
l
Lm : inductance magnétisante, l inductance de fuites, R est la résistance de l'enroulement
rotorique vue du stator. La branche de droite représente électriquement le rotor.
Calcul de la puissance transmise et du moment du couple sur l'arbre :
La puissance transmise au rotor correspond à la puissance fournie à la résistance R/g.
R
Soit, ici Pt= 3* *I2
g
V
Le courant a pour expression I =
(R/g)2+(l*ω)2
1
Pt = 3*V2*R/g*
2
(R/g) +(l*ω)2
Le moment du couple d'entraînement de la charge est lié à la puissance transmise par la
relation :
Pt= T*Ωs
avec Ωs = 2π Ns = p*ω
L'expression du couple est :
3 V2
1
T= * * (R/g) *
Ωs
(R/g)2+(l*ω)2
qui peut s’écrire :
3 V2
T= * *
Ωs
1
(l ω)2
(R/g)+ *
(R/g)
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7
En raisonnant à partir de la fonction “ inverse ” et de la fonction x h x +
on
peut
Tmax =
affirmer
que
cette
expression
est
maximale
k
avec k = (l * ω)2,
x
pour gm =
R
lω
et
vaut
3*V2 1
*
Ωs 2lω
Le graphe ci-dessous est tracé pour Tmax =1 et gm =0.1
couple T=f(g)
1,50
1,00
0,50
T
0,00
-1,00
-0,60
-0,20
0,20
0,60
1,00
1,40
1,80
-0,50
-1,00
-1,50
g
Ordre de grandeur (moteur asynchrone 3 kW 1500t/mn) :
V=230V, ω =100π rad.s-1, lω = 40Ω, R= 3Ω, p =2 (2 paires de pôles)
Note : Les axes des abscisses, g et N sont de sens opposé. Le point g= 1 correspond à la
vitesse nulle (arrêt), le point g=0 à la vitesse de synchronisme Ns, vitesse légèrement
supérieure à celle du fonctionnement à vide, N0.
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8
2. Etude mathématique.
1°) La fonction
x a x . ( 1 − x ).
a) Introduction.
Le nouveau programme de seconde ne donne pas comme l'ancien des exemples de fonctions
qui peuvent être étudiées avec les élèves. Certains pointillés (exemple : B.O. n°6 page 32,
colonne Capacités attendues, paragraphes Fonctions et formules algébriques, 3° alinéa)
laissent songeur sur le champ d'investigation, ce qui rend intéressant une relecture des anciens
programmes.
Dans l'ancien programme de la classe de seconde, dans le chapitre III. Fonctions, au
paragraphe 2. Fonctions usuelles, travaux pratiques, on trouvait comme exemple de
fonctions à étudier la fonction
x a x . (1 − x ) 1 à côté de fonctions telles que
2
entre autres.
x a 2 x 2 + 1, x a
x +1
Les représentations graphiques des deux dernières fonctions s'obtiennent directement à partir
de changements de repères voire des translations et des homothéties2. Pour la première, a
priori, il faut passer par un changement d'écriture qui donne :
2

1
1
x . (1 − x ) = − x − x = −  x −  − 
2
4 

pour pouvoir ensuite appliquer une procédure comparable à celle mise en œuvre pour les
autres fonctions.
Bien sûr, en classe de seconde, les élèves ne sont pas redevables de l'initiative de cette
transformation d'écriture3, aussi dans les exercices on demande aux élèves de vérifier l'égalité
qui est donnée, ce qui est techniquement à leur portée. Cependant, en l'absence du cadre
général de la forme canonique, tout ceci apparaît aux élèves comme "magique".
(
2
)
Pour l'étude des variations, la démarche en vogue est basée sur la composition de fonctions
dont on connaît les variations.
1
On laisse au lecteur le soin de trouver où se cache cette fonction dans les nouveaux programmes.
2
Voir l'article concernant les changements d'unités pour les représentations graphiques des fonctions x x k x
k
et x x x .
3
Dans le nouveau de programme de seconde, on se demande !
2
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9
Dans le cas où f est définie par x a
2
, cela donne :
x +1
- 1 < x < x' entraîne 0 < x + 1 < x' + 1
qui entraîne, vu les variations de la fonction "inverse" :
1
1
2
2
>
donc
>
x + 1 x' + 1
x + 1 x' + 1
d'où la conclusion4.
Ceci est éminemment difficile. Tout d'abord parce que les élèves confondent
("naturellement") la fonction f et l'image f(x) . De plus la valeur -1 de départ est en fait
trouvée par un raisonnement "rétrograde". C'est l'application de la fonction "inverse" à x + 1
et à x' + 1 qui amène à considérer par ricochet la valeur - 1 5.
Si on regarde l'exploitation qui est faite de l'étude des variations6, on se rend compte que l'on
débouche souvent sur un problème d'extremum. Or les variations ne sont pas l'unique moyen
de répondre à un tel problème ! Nous allons voir que l'étude directe des extrémums est
souvent possible, voire plus facile. De plus, si on veut étudier les variations, elle peut
permettre de justifier intuitivement a priori le choix des intervalles de monotonie.
b) Une première démarche.
Reprenons la question de l'étude de la fonction x a x . (1 − x ) sous l'angle de l'étude des
extremums directement.
Une première démarche qui me paraît fondamentale en classe de seconde est celle qui repose
sur une conjecture à partir, par exemple, d'un travail avec calculatrice (après des essais
"naïfs", tracé d'un graphique, constitution d'un tableau de valeurs, ...). En prenant l'exemple
des fonctions du second degré, par exemple la fonction
f : x a − 3 x2 + 3 x + 1
on arrive à la conjecture que le maximum de f(x) est atteint en x = 0,5, puis on démontre ce
résultat comme suit :
2
7
1
1


f(x) - f(0,5) = − 3 x + 3 x + 1 −
= − 3 x2 − x +  = − 3 x −  .
4
4
2


2
4
Je passe rapidement sur la conclusion car ce n'est pas l'objet de cet article. Cependant les nouveaux programmes
(B.O. n°6 page 31colonne commentaires paragraphe Etude qualitative des fonctions dernier alinéa : "une
définition formelle est ici attendue") en font un moment didactique fondamental de la classe de seconde
(démonstration d'un énoncé quantifié avec implication).
5
6
L'obtention de la représentation graphique en premier par des moyens géométriques évite cet inconvénient.
Il est évident que le plus important est de faire comprendre aux élèves que l'étude des variations d'une fonction
permet de savoir comment on transforme des inégalités quand on applique une fonction, ce qui peut justifier la
démarche choisie ci-dessus pour démontrer les variations. Cependant il est plus pertinent de poser la question de
savoir ce qu'on peut dire de f(x) pour f : x x ( x - 2 )2 lorsqu'on prend 1,4 comme valeur approchée
de x à 0,5 . 10-1 près, une fois les variations connues.
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10
On notera que cette démonstration est basée sur une technique, elle-même basée sur une
technologie7 qui pourrait s'énoncer de la manière suivante :
" Si f est une fonction du second degré admet un extremum en a alors
f(x) - f(a) peut se factoriser sous la forme k (x - a) 2 ."
La technique correspondante est :
"on factorise par le coefficient de x2 l'expression f(x) - f(a),
puis on reconnaît dans la parenthèse le développement de (x - a) 2 ."
Une fois l'extremum trouvé et démontré, on peut, si on veut, rentrer dans la problématique des
variations, les intervalles d'étude étant cette fois justifiables a priori. En effet, on peut mettre
en évidence à nouveau, une technologie et une technique8.
La technologie est :
"Si f est une fonction du second degré admettant un extremum en a , alors
f est monotone sur ] - ∞ ; a ] et sur [a ; + ∞ [ ."9
La technique est :
"On considère f(x) - f(x') ,
on met en facteur (x - x') après avoir fait apparaître (x2 - x' 2) ,
puis on étudie le signe de chaque facteur à partir de la comparaison de x et x' ,
et de leur appartenance à ] - ∞ ; a ] ou à [a ; + ∞ [ ."
Ceci donnerait dans le cas cité :
f(x) - f(x') = - 3 x 2 + 3 x + 1 - ( - 3 x' 2 + 3 x' + 1 )
= - 3 (x2 - x' 2) + 3 (x - x')
= - 3 (x - x' ) (x + x' - 1).
A partir de là, on considère, par exemple x < x' , appartenant à ] - ∞ ; 0,5] ; on en déduit que
(x - x' ) < 0 et (x + x' - 1) < 0 donc f(x) - f(x') < 0 ; ce qui permet de conclure10.
Pour revenir à la fonction qui nous occupait au début, on remarque qu'elle est "soluble" dans
cette démarche. De plus le contexte géométrique dans lequel elle peut apparaître (recherche
des dimensions d'un rectangle d'aire maximum dont le périmètre est égal à 1), facilite la
conjecture sur l'extremum. Cependant, toutes les fonctions du second degré ne permettent pas
une conjecture "expérimentale" fiable. Et tant mieux, car certains errements peuvent motiver
une étude plus "théorique". Par exemple pour la fonction f (elle intervient dans l'étude du
minimum de la distance PQ , où P et Q sont respectivement les projetés orthogonaux d'un
point M appartenant à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit
mesurent respectivement 6 et 4) définie par
7
8
Ce vocabulaire est emprunté à Y. Chevallard. Je ne suis pas sûr de l'employer à bon escient !
Mêmes réserves sur l'utilisation de ce vocabulaire que précédemment !
9
J'ai proposé cette année l'exercice suivant : "Donnez une fonction qui admet un minimum en 0 et qui n'est pas
décroissante avant 0 et croissante après 0" (avec cette formulation exacte).
10
Voir la note 3.
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11
13 2 16
x −
x + 16
9
3
il est peu probable a priori (et ma pratique le confirme a posteriori) que les élèves conjecturent
le bon extremum. On peut mettre alors en place une démarche "historique".
f (x) =
c) Une démarche "historique".
L'idée repose sur le résultat (ou technologie) suivant :
"Si une fonction f est telle que pour tout nombre h , f(a + h) - f(a) a un signe constant,
alors f admet un extremum11 en a ."
Avant d'expliciter la technique, mettons-la en œuvre dans le dernier cas cité :
f(a + h) - f(a) =
=
13
(a + h )2 − 16 (a + h ) + 16 −  13 a 2 − 16 a + 16 
3
9
3
9

13 2
16 
 26
h +h
a − ,
3
9
 9
16 
 26
ce qui permet de dire que f(a + h) - f(a) aura un signe constant si 12 
a −  = 0 , d'où
3
 9
24 13
un minimum pour f en
.
13
On notera qu'ainsi on n'est pas loin du résultat général sur l'extremum d'une fonction du
second degré.
La technique utilisée peut s'énoncer ainsi :
" On part de f(a + h) - f(a) dont on réduit l'écriture,
puis on met à part le terme en h 2 , on factorise h dans ce qui reste,
et enfin on choisit a de telle sorte que le facteur de h s'annule."
"Tant qu'on y est", on peut étudier maintenant les variations de la fonction f avec la
démarche mise en place précédemment. Sans tout détailler, cela donnerait :
f(x) - f(x')
11
=
13 2 16
16
 13

x ' + 16 
x −
x + 16 −  x ' 2 −
9
3
3
9

Je ne considère a priori que des extremums globaux, mais cela peut s'adapter aux extremums locaux.
12
Il y a bien sûr réciproque (comme on peut le montrer facilement en factorisant). Cependant, ce serait perdre de
vue un aspect fondamental de la formation en analyse qui consiste à amener les élèves à raisonner par condition
suffisante.
13
En fait, dans l'exemple cité on peut trouver le minimum par un raisonnement géométrique basé sur la notion
de plus courte distance d'un point à une droite, mais ceci est une autre histoire ...
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12
=
13
9
(x
=
13
9
(x−
2
)
− x'2 −
16
3
(x−
x ')
48 

x ')  x + x ' −  .
13 

Mais tout cela nous éloigne de notre sujet principal qui est, je vous le rappelle, l'étude
de la fonction x a x . (1 − x ) . En fait, vu les fonctions citées dans le programme à côté de
celle-ci, ce qui précède explique mal sa présence dans la mesure où ce qui précède s'applique
à n'importe quelle fonction du second degré. Ceci nous amène à une troisième démarche que
Y. Chevallard a proposée dans le cadre de la formation qu'il dispense à l'IUFM de Marseille.
d) Maximum du produit de deux nombres dont la somme est constante.
Le résultat technologique que nous allons utiliser est le suivant :
Si x + y = c , constante, alors x . y est maximum lorsque x = y =
c 14
.
2
La démonstration de ce résultat peut se faire de la manière suivante :
1
1
2
2
2
x . y = (x + y ) − (x − y ) ≤ (x + y ) ,
4
4
avec égalité si et seulement si x = y ; d'où la conclusion.
[
]
On voit alors que dans le cas de la fonction qui nous occupe, on obtient l'extremum
immédiatement en posant y = 1 – x . Mais ce qui s'avère particulièrement intéressant, c'est
que Y. Chevallard a montré que toutes les fonctions du second degré relève de cette
technologie moyennant une technique que l'on va détailler. Je vais en proposer une version
légèrement modifiée.
Pour cela, reprenons l'exemple de la fonction f définie par f ( x ) =
On peut dire que f(x) sera extremum lorsque
x2 −
14
15
13 2 16
x −
x + 16 .
9
3
13 2 16
x −
x le sera, soit aussi lorsque
9
3
48
x le sera15.
13
Ce résultat admet une généralisation au produit de plus de deux nombres dans le cas où ceux-ci sont positifs.
Cette simplification par le coefficient "dominant" m'éloigne un peu de la démarche proposée par Y.
Chevallard qui consiste à multiplier à un moment par le coefficient "dominant".
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13
48 

Lui-même peut s'écrire x  x −  qui sera extremum lorsque son opposé, c'est à dire
13 

 48

x
− x  , le sera.
 13

48
− x sont deux nombres à somme constante donc leur produit est maximum
Or x et
13
48
24
− x soit x =
.
pour x =
13
13
24
Il suffit alors de "remonter" pour conclure que f a un minimum en
.
13
Je laisse au lecteur le soin d'énoncer la technique sous-jacente. Par ailleurs, je n'envisage pas
le problème des variations qui peut se traiter comme précédemment.
Je ne sais pas si cette technologie et cette technique ont leur place en classe de seconde.
Cependant, comme on l'a vu dans la première partie, un élève peut rencontrer dans sa pratique
en classe de physique ce type de raisonnement (dans le cas cité, sous forme implicite), ne
serait-ce que sous sa forme la plus élémentaire.
Pour revenir sur la pratique du physicien de la fin du 2° de la première partie, on notera qu'il
existe une autre démarche pour trouver l'extremum d'une fonction du second degré qui est
basée sur le résultat technologique suivant :
"Soit f une fonction du second degré.
Si f(x) = f(x') alors l'extremum est "au milieu" de x et x'."
Il s'avère qu'en pratique cette démarche est spontanée chez les élèves dans des exercices à
support géométrique16. De plus, ce résultat est un bon réinvestissement de l'axe de symétrie
d'une parabole. Enfin une technique sous-jacente (applicable à n'importe quelle fonction du
second degré via une technique intermédiaire qui consiste à laisser tomber la constante) est :
"On cherche x et x' tels que f(x) = f(x') = 0 ."
Dans le cas de la fonction qui nous occupe cela donne : x ( 1 - x ) s'annule pour 0 et 1
donc l'extremum est en 0,5 .
16
Comme dans le cas de l'exercice "classique" consistant à étudier l'aire d'un rectangle dont deux côtés sont sur
les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle et le quatrième sommet sur l'hypoténuse.
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2°) La fonction x a x +
14
1
.
x
a) Introduction :
Comme le physicien peut avoir besoin de connaître le maximum du produit de deux nombres
à somme constante, il peut avoir besoin de l'extremum de la somme de deux nombres à
produit constant.
1
D'où l'idée d'adapter le travail de Y. Chevallard17 à l'étude de la fonction x a x + .
x
b) Technologie et technique :
Le résultat technologique que nous allons utilisé est le suivant :
Soit x et y deux nombres positifs.
Si x . y = c , constante, alors x + y est minimum lorsque x = y =
c 18.
La démonstration se fait de la manière suivante :
( x + y )2 = 4 x y + ( x - y )2 ú 4 x y
avec égalité si et seulement si x = y , d'où la conclusion en tenant compte du fait que x et y
sont positifs.
On voit alors que dans le cas de la fonction qui nous occupe maintenant, on obtient
1
l'extremum sur ] 0 ; + ∞ [ immédiatement en posant y =
avec c = 1 .
x
Sur ]- ∞ ; 0 [ on utilise l'imparité de la fonction.
On peut généraliser à toute fonction de la forme x a x +
b
x
avec b > 0 .
Mais le plus surprenant, c'est qu'on peut adapter cette démarche à n'importe quelle fonction
rationnelle de degré 2 sur degré 1 .
17
18
Je ne connais pas de texte de Y. Chevallard portant sur ce qui va suivre ; mais je suis loin d'avoir tout lu !
Pour les aspects graphiques de ce résultats voir l'article déjà cité concernant les changements d'unités pour les
k
représentations graphiques des fonctions x x k x 2 et x x x .
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15
b) Généralisation :
Je vais la présenter sur un exemple. Soit la fonction f définie par : f ( x ) =
3 x2 − x + 5
2 x +1
Tout d'abord on écrit
25
25
3
5
3
f (x ) =
x − + 4 , puis f ( x ) = (2 x + 1) − 2 + 4 .
2
4 2 x +1
4
2 x +1
Ce qui amène alors le raisonnement suivant :
25
3
f(x) est extremum lorsque
(2 x + 1) + 4 est extremum,
4
2 x +1
25
3
 1

donc en posant X = (2 x + 1) et Y = 4
, pour x ∈  − ; + ∞  , on est en face de la
4
2 x +1
 2

75
somme de deux nombres positifs dont le produit est constant égal à
,
16
3
(2 x + 1) = 5 3 , soit x = − 3 + 5 3 .
4
4
2
1
Par symétrie par rapport à − , on obtient l'autre extremum, qui est lui un maximum en
2
−3−5 3
x=
.
2
donc on a un minimum pour
Je laisse au lecteur le soin d'expliciter la technique, cependant on aura remarqué qu'elle
s'appuie sur la technologie de la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.
Pour les variations, on s'appuie sur le résultat technologique suivant :
" Une fonction de ce type est monotone sur chaque intervalle inclus dans l'ensemble de
définition de part et d'autre des extremums."
 1 − 3 + 5 3
Ce qui amène l'étude des variations de f , par exemple, sur  − ;
 . La technique
2
2


utilisée est comparable à celle vue plus haut :
25
25 

3

3
4 
f ( x ) − f ( x ' ) = (2 x + 1) − 2 + 4 −  (2 x ' + 1) − 2 +
4
2 x +1 4
2 x' + 1 




Groupe IREM Maths-Physique-Lycée
16


3
(x − x ') + 25  1 − 1 
4
4  2 x + 1 2 x' + 1 
x' − x
3
=
(x − x ') + 25
4
2 (2 x + 1) (2 x ' + 1)
=
3

25
1
= (x − x ' )  −
.
2 (2 x + 1) (2 x ' + 1) 
4
 1 − 3 + 5 3
Puis on considère x et x' appartenant à  − ;
 tels que x < x' , ce qui permet
2
2


d'arriver à f(x) - f(x') > 019 et à la conclusion.
On aura remarqué que l'exemple choisi est favorable à la démarche proposée.
25
2
6 x − 2 x − 15 3
5
= x− − 4
l'étude ne peut pas être
En effet si par exemple f ( x ) =
4x+2
2
4 2 x +1
menée de la même façon.
Cependant, dans ce cas, par addition de fonctions monotones de même sens de variation, on
conclut sans difficulté.
3°) Conclusion.
Ce qui précède n'a pas la prétention de dire ce qu'il faut faire, d'autant que certains aspects
peuvent paraître difficiles à transposer en classe, voire contradictoires. On a seulement voulu
attirer l'attention sur des démarches mathématiques qui peuvent être utilisée en sciences
physiques sans qu'elles aient fait l'objet d'un enseignement en mathématiques.
Aussi, nous devons réfléchir à leur transposition dans nos cours de mathématiques.
Le flou du nouveau programme doit nous pousser à faire des propositions.
19
Je ne détaille pas. On voit que l'on utilise le fait que le passage à l'inverse pour des nombres de même signe
renverse la relation d'ordre.