LES FONCTIONS x ↦ x . (1

Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 1
LES FONCTIONS
x
a
x . (1-x) ET x
a
x + 1
x
Groupe IREM Mathématiques et Sciences Physiques au Lycée
Monique Mandleur, Monique Sosset, Michèle Fauré,
Gabriel Birague, Pierre López
Introduction.
Pour nous, l’interdisciplinarité entre mathématiques et sciences physiques ne consiste pas à
rechercher des situations à contexte physique (qui sont le plus souvent pseudo concrètes) qui
peuvent illustrer certaines notions mathématiques. Notre approche consiste à interroger la
pratique des professeurs de sciences physiques dans leurs classes et à étudier l’usage explicite
ou implicite qu’ils font d’outils mathématiques.
Cet article en est un exemple.
Dans une première partie on trouvera exposées par un physicien (rédacteur : Gabriel Birague)
deux séances d’électronique et d’électrotechnique (classes de Terminale STI et TS Génie
Electrotechnique).
La seconde partie essaie d’expliquer et de justifier cette pratique d’un point de vue
mathématique et donne les conséquences que l’on peut en tirer pour la mise en pratique des
programmes de mathématiques (rédacteur : Pierre López).

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1. Utilisation en électronique de puissance et en
électrotechnique.
L'électronique de puissance étudie les montages électriques parcourus par des courants
importants (> 1A) dans lesquels les composants électroniques fonctionnent comme des
interrupteurs (ouvert : courant nul, fermé : tension aux bornes nulle). La fréquence de
commutation des interrupteurs est élevée (50 Hz, typiquement supérieur à quelques kHz). La
puissance dissipée dans les interrupteurs est faible. Le rendement est excellent.
Les montages typiques concernent la conversion de l'énergie électrique. En particulier, on
réalise :
• des sources continues variables ou non : par exemple, alimentation de moteurs à
courant continu (variation de vitesse), alimentation de circuits électroniques
(ordinateur),
• des sources alternatives variables en fréquence et en valeur efficace (alimentation de
moteurs à courant alternatif (par exemple, moteurs des locomotives du TGV),
alimentation de secours pour le réseau EDF (onduleurs).
On peut trouver deux exemples des fonctions mathématiques qui nous intéressent dans les
deux montages suivants :
1. La fonction x
a
x . (1 – x) se retrouve dans l'expression de l'ondulation du
courant de sortie d'un hacheur série,
2. La fonction x
a
x + 1
x (ou plus généralement les fonctions x
a
x + k
x )
intervient dans l'expression du moment du couple d'un moteur asynchrone.
1°) Alimentation d’un moteur à courant continu par un hacheur
série : expression de l’ondulation dans le moteur.
A partir d'une source de tension continue fixe, ce montage fournit une tension périodique
découpée (hachée). Le moteur réagit à la valeur moyenne de la tension car la période de
hachage (<0,1ms) est beaucoup plus petite que le temps de réponse du moteur (>0,1 s).

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La valeur moyenne est réglable entre 0 et E par un paramètre, r, rapport cyclique. Cette
grandeur de commande est directement liée à la durée pendant laquelle on applique la tension
d'entrée au moteur.
Le transistor de puissance, TP, est commandé périodiquement (passant de t=0 à t=rT, bloqué
de t=rT à t=T.
La bobine L impose la continuité du courant. Le blocage du transistor entraîne la mise en
conduction de la diode DRL, appelée diode de roue libre. Réciproquement, la mise en
conduction de TP entraîne le blocage de DRL.
Le courant i est croissant lorsque TP est passant et décroissant lorsque la diode DRL conduit.
Le moteur peut être modélisé par une source de tension continue proportionnelle à la vitesse
Em = KxΩ
Ici, on peut considérer que le moteur est modélisé par une source de tension continue fixe Em.
Pour t ∈ [0, rT] , u = E, TP conduit.
Pour t ∈ [rT, T], u = 0, DRL conduit.
La valeur moyenne de cette tension vaut <U> = r
*
E .
Elle est proportionnelle au rapport cyclique de la commande : r = t
ON
T
La loi des branches côté moteur permet d'écrire u= L
*
di
dt + Em. (1)
On remarque qu'en régime permanent, le courant est périodique (i(0) = i(T).
Ecrivons la relation (1) en valeur moyenne
<u>= <L
*
di
dt> + <Em> .
Pour des raisons physiques liées à la périodicité du courant, on impose que <di
dt> = 0, soit
E
+
T
DR
Mcc
=
L
u
i
E
0
0
rT
T
T+rT
t
u
i
u
i

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<U> = Em = r
*
T
L'ondulation de courant ∆I est définie comme la différence Imax-Imin
minmax
III −=∆
Pendant la phase de croissance du courant la relation (1) devient :
u= L
*
di
dt + Em. (1) soit ∆I
∆t = ∆I
r
*
T = E-Em L,
soit ∆I = E
*
T
L
r
*
(1-r) (= I
max
-I
min
)
Ordre de grandeur :
E = 200V (220V alternatif redressé), T= 0.1ms (f= 10kHz), L = 20 mH, soit ∆I
max
=0.5A
La figure ci-dessous montre l'évolution de ∆I en fonction du rapport cyclique ( r ∈ [0, 1] ).
La valeur maximale de ∆I est un paramètre important lors du choix des constituants du
hacheur : choix de la tension d'alimentation, inductance de la bobine de lissage, fréquence de
hachage.
La symétrie de la parabole montre que le maximum a lieu pour r=0,5
ondulation de courant en fonction du rapport
cyclique
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
r, rapport cyclique
DI, ondulation de courant

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2°) Puissance transmise au rotor d’un moteur asynch rone triphasé.
Un moteur asynchrone triphasé est constitué de trois bobinages placés au stator (partie fixe) et
d'une partie tournante (rotor) pouvant entraîner une charge en rotation. Les trois bobinages
statoriques alimentés en triphasé créent un champ magnétique tournant, analogue à celui
produit par un aimant droit tournant autour de son axe. Le rotor, soumis à ce champ variable,
est le siège de courants induits, qui tendent à l'entraîner à la vitesse de ce champ, notée Ns et
appelée vitesse de synchronisme. Ns est liée à la fréquence des courants d'alimentation et au
nombre de paires de pôles du stator. Ns= F
p . Le rotor tourne à la vitesse N, inférieure à Ns. La
différence relative appelée glissement est un paramètre caractéristique du fonctionnement du
moteur. g= Ns-N
Ns . Sa valeur et son signe indiquent le sens de transfert de l'énergie et la
valeur de la puissance transmise .
Schéma du montage :
Le système de tensions triphasées a l'allure suivante :
tensions simples triphasées Vmax = 325V, Veff= 230V
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
phase
tensions /Vmax
V1
V2
V3
V1
V2
V3
V1
V2
V3
N
Prise de terre,
piquet de terre
EDF
MAS
3~
A
B
C
N