La relation de Pythagore Triangle rectangle

La relation de Pythagore
Triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsque
l’un des angles du triangle
mesure 90°.
Rappel : La somme des mesures des angles
intérieurs d’un triangle est toujours de
180°.
B
Hypoténuse
c
a
C
Cathètes
A
b
Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de
l’angle de 900.
Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle
formant l’angle droit.
Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit.
L’hypoténuse est le plus long des trois
côtés du triangle.
Pythagore, philosophe et mathématicien grec, a
établi la relation suivante dans les
triangles rectangles.
Avec un triangle rectangle dont les côtés
mesurent 3, 4 et 5 unités,
on construit des carrés avec
chacun des côtés.
25
On calcule l’aire de chacun.
On constate que la somme des
aires des deux carrés formés
avec les cathètes est égale à
l’aire du carré formé avec
l’hypoténuse.
9 + 16 = 25
soit
32 + 4 2 = 5 2
93
5
4
16
En remplaçant par des lettres
c2
a2 a
c
b
b2
Relation de Pythagore :
Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des mesures des cathètes.
2
c
=
2
a
+
2
b
Si on cherche la mesure de
l’hypoténuse ( le plus long côté ) :
2
c
=
2
a
+
c
a
2
b
b
Si on cherche la mesure d’une cathète :
a 2 = c2 - b 2
2
b
=
2
c
-
2
a
Attention: Une fois le calcul terminé, il faut
extraire la racine carrée de la réponse.
Exemples d’application :
Trouve les mesures manquantes dans les triangles
suivants:
Ici, on cherche l’hypoténuse.
1)
c2 = a2 + b2
3
a
c
b
4
?
c2 = 32 + 4 2
c2 = 9 + 16
c2 =
25
c=5
Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.
A
2)
?
Ici, on cherche une cathète.
b
C
a
c
18,42
cm
33,15 cm
b2 = c 2 - a 2
b2 = 33,152 - 18,422
B
b2 = 1098,9225 - 339,2964
b2 =
759,6261
b ≈ 27,5613
Réponse: m AC ≈ 27,56 cm
Comment vérifier si un triangle est rectangle en
connaissant uniquement la mesure des trois côtés?
Par la relation de Pythagore.
Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les
triangles forment un triangle rectangle.
Hypoténuse
1) 11cm, 61cm, 60cm
2) 63dm, 33dm, 56dm
c2 = a2 + b2
612 = 112 + 602
3721 = 121 + 3600
3721 = 3721
c2 = a2 + b2
632 = 332 + 562
3969 = 1089 + 3136
3969 ≠ 4225
Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.
B
Remarque :
La relation de Pythagore peut
s’écrire
soit
soit
c2
=
2
a2
+
c
a
b2
2
(m AB) = (m BC) + (m AC)
Cette écriture est un peu plus
longue, mais plus précise pour
une figure complexe.
C
A
b
2
D
B
600
E
C
300
A
Remarques :
Un triangle est rectangle seulement si le problème
le mentionne ou si tu es capable de le prouver.
La relation de Pythagore n’est vraie que dans
les triangles rectangles.
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