Eléments propres d`un endomorphisme

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Eléments propres d’un endomorphisme
Exercice 1 [ 00768 ] [Correction]
Soient E=C∞(R,R)et Dl’endomorphisme de Equi à fassocie sa dérivée f0.
Déterminer les valeurs propres de Dainsi que les sous-espaces propres associés.
Exercice 2 [ 03126 ] [Correction]
Soient E=CNet f:E→El’application qui transforme une suite u= (un)en
v= (vn)définie par
v0=u0et ∀n∈N∗, vn=un+un−1
2
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 3 [ 00770 ] [Correction]
Soient El’espace des suites réelles convergeant vers 0 et ∆: E→E
l’endomorphisme défini par
∀u∈E, ∀n∈N,∆(u)(n) = u(n+ 1) −u(n)
Déterminer les valeurs propres de ∆.
Exercice 4 [ 00769 ] [Correction]
Soient E=C0(R,R)et Il’endomorphisme de Equi à f∈Eassocie sa primitive
qui s’annule en 0.
Déterminer les valeurs propres de I.
Exercice 5 [ 03467 ] [Correction]
Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; +∞[vers Rconvergeant
en +∞.
Soit Tl’endomorphisme de Edonné par
∀x∈[0 ; +∞[, T (f)(x) = f(x+ 1)
Déterminer les valeurs propres de Tet les vecteurs propres associés.
Exercice 6 [ 00771 ] [Correction]
Soit Ele sous-espace vectoriel des fonctions de C([0 ; +∞[R)s’annulant en 0.
Pour tout f∈E, on définit ϕ(f): [0 ; +∞[→Rpar
ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = 1
xZx
0
f(t) dtpour x > 0
a) Montrer que ϕ(f)∈Epuis que ϕest un endomorphisme de E.
b) Déterminer les éléments propres de ϕ.
Exercice 7 [ 03435 ] [Correction]
Soit El’espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; +∞[vers R.
Pour tout f∈E, on définit T(f): ]0 ; +∞[→Rpar
T(f)(x) = 1
xZx
0
f(t) dtpour x > 0
a) Montrer que la fonction T(f)se prolonge par continuité en 0 et qu’alors Test
un endomorphisme de E.
b) Déterminer les éléments propres de T.
Exercice 8 [ 03063 ] [Correction]
Soit El’espace des fonctions fde classe C1de [0 ; +∞[vers Rvérifiant f(0) = 0.
Pour un élément fde Eon pose T(f)la fonction définie par
T(f)(x) = Zx
0
f(t)
tdt
Montrer que Test un endomorphisme de Eet trouver ses valeurs propres.
Exercice 9 [ 02700 ] [Correction]
Soit E=C([0 ; 1],R). Si f∈Eon pose
T(f): x∈[0 ; 1] 7→ Z1
0
min(x, t)f(t) dt
a) Vérifier que Test un endomorphisme de E.
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T.
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Exercice 10 [ 02577 ] [Correction]
a) Montrer que Φ, qui à Passocie
(X2−1)P0(X)−(4X+ 1)P(X)
est un endomorphisme de R4[X].
b) Résoudre l’équation différentielle
y0=5−λ
2(x−1) +3 + λ 2(x+ 1)y
c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.
Exercice 11 [ 03125 ] [Correction]
Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphisme ϕde Rn[X]
défini par
ϕ:P7→ (X2−1)P0−nXP
Exercice 12 [ 02511 ] [Correction]
Soit a∈Ret n≥2.
a) Montrer que φ(P)(X)=(X−a) (P0(X)−P0(a)) −2(P(X)−P(a)) définit
un endomorphisme de Rn[X].
b) À l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau de φ.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
Exercice 13 [ 03187 ] [Correction]
a) Soit fun endomorphisme d’un R-espace vectoriel de dimension finie. Si aest
valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a)est le sous-espace propre
attaché, montrer
1≤dim E(f, a)≤m
b) Soit
A=
1111
2222
3333
4444
Déterminer simplement les valeurs propres de A.
La matrice Aest-elle diagonalisable ?
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Soient λ∈Ret f∈E. On a
D(f) = λf ⇐⇒ fest solution de y0=λy
Les solutions de l’équation y0=λy sont les fonctions de la forme t7→ Ceλt.
Ainsi
Sp(D) = Ret Eλ(D) = Vect(t7→ eλt)
Exercice 2 : [énoncé]
Soient λ∈Cet u∈E. Étudions l’équation f(u) = λu. On a
f(u) = λu ⇐⇒ (1 −λ)u0= 0
∀n∈N∗,(2λ−1)un=un−1
Cas λ= 1
f(u) = u⇐⇒ ∀n∈N∗, un=un−1
On en déduit que 1 est valeur propre de fet que le sous-espace propre associé est
formé des suites constantes.
Cas λ6= 1
f(u) = λu ⇐⇒ u0= 0
∀n∈N∗,(2λ−1)un=un−1
Que λ= 1/2ou non, on obtient
f(u) = λu ⇐⇒ ∀n∈N, un= 0
et donc λn’est pas valeur propre.
Finalement
Sp f={1}
Exercice 3 : [énoncé]
Soient λ∈Ret u∈E.
∆(u) = λu ⇐⇒ ∀n∈N, u(n+ 1) = (1 + λ)u(n)
Ainsi
∆(u) = λu ⇐⇒ ∀n∈N, u(n) = u0(1 + λ)n
Pour λ∈]−2 ; 0[, la suite u(n) = (1 + λ)nest élément non nul de Eet vérifie
∆(u) = λu.
Pour λ /∈]−2 ; 0[, seule la suite nulle est converge vers 0 et satisfait
∀n∈N, u(n) = u0(1 + λ)n
On peut donc conclure
Sp(∆) = ]−2 ; 0[
Exercice 4 : [énoncé]
Soient λ∈Ret f∈E. Si I(f) = λf alors I(f)est solution de l’équation
différentielle
y=λy0
Si λ= 0 alors I(f)=0.
Si λ6= 0 alors I(f)est de la forme x7→ Cex/λ et puisque I(f)s’annule en 0 donc
I(f)=0.
Dans les deux cas f=I(f)0= 0. Ainsi
Sp(I) = ∅
Exercice 5 : [énoncé]
Soit λun réel et fune fonction élément de E.
Si T(f) = λf alors
∀x∈[0 ; +∞[, f(x+ 1) = λf(x)
En passant cette relation à la limite quand x→+∞, on obtient
`=λ`
en notant `la limite de f.
Cas `6= 0 :
Nécessairement λ= 1 et
∀x∈[0 ; +∞[, f(x+ 1) = f(x)
Puisque la fonction fest périodique et converge en +∞, elle est constante.
Inversement, toute fonction constante non nulle est vecteur propre associé à la
valeur propre 1.
Cas `= 0 :
Si λest valeur propre alors en introduisant fvecteur propre associé, il existe
x0∈[0 ; +∞[tel que f(x0)6= 0 et la relation T(f) = λf donne par récurrence
∀n∈N, f(x0+n) = λnf(x0)
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En faisant tendre nvers +∞, on obtient |λ|<1.
Inversement, supposons |λ|<1.
Si T(f) = λf alors
f(1) = λf(0) et ∀n∈N,∀x∈[0 ; 1[, f(x+n) = λnf(x)
La fonction fest donc entièrement déterminée par sa restriction continue sur
[0 ; 1] vérifiant f(1) = λf(0).
Inversement, si ϕ: [0 ; 1] →Rest une fonction continue sur [0 ; 1] vérifiant
ϕ(1) = λϕ(0) alors la fonction fdonnée par
∀n∈N,∀x∈[0 ; 1[, f(x+n) = λnϕ(x)
et continue (on vérifie la continuité en k∈N∗par continuité à droite et à gauche),
converge vers 0 en +∞et vérifie T(f) = λf.
Puisqu’il est possible de construire une fonction non nulle de la sorte, le scalaire
λ∈]−1 ; 1[ est valeur propre et les vecteurs propres associés sont les fonctions non
nulles de la forme précédente.
Exercice 6 : [énoncé]
a) ϕ(f)est dérivable sur R∗
+donc continue sur R∗ +.
Puisque fest continue, fadmet une primitive Fet alors quand x→0+
ϕ(f)(x) = F(x)−F(0)
x→F0(0) = f(0) = 0
On en déduit que ϕ(f)est continue en 0.
La linéarité de ϕest immédiate et donc ϕest un endomorphisme de E.
b) Soient λ∈Ret fune fonction de Enon nulle vérifiant ϕ(f) = λf.
Pour tout x∈R+,
Zx
0
f(t) dt=λxf(x)
donc fest de classe C1et vérifie
(1 −λ)f(x) = λxf0(x)
Le cas λ= 0 implique f= 0 et est donc exclu.
Pour λ6= 0 et x > 0on a
xf0(x) = αf(x)
avec α= (1 −λ)/λ dont la résolution conduit à
f(x) = Cxα, x ∈]0 ; +∞[
Pour α= 0 ou α < 0la condition lim0f= 0 entraîne f= 0 et est donc exclue.
Par contre le cas α > 0(correspondant à λ∈]0 ; 1[) conduit au vecteur propre
f(x) = Cxα, x ∈[0 ; +∞[
élément de E.
Exercice 7 : [énoncé]
a) T(f)est dérivable sur R∗
+donc continue sur R∗ +.
Puisque fest continue, fadmet une primitive Fet alors quand x→0+
T(f)(x) = F(x)−F(0)
x→F0(0) = f(0)
On en déduit que T(f)se prolonge en une fonction continue en 0.
La linéarité de Test immédiate et donc Test un endomorphisme de E.
b) Soient λ∈Ret fune fonction de Enon nulle vérifiant T(f) = λf.
Pour tout x > 0,
Zx
0
f(t) dt=λxf(x)
donc fest de classe C1et vérifie
(1 −λ)f(x) = λxf0(x)
Le cas λ= 0 implique f= 0 et est donc exclu.
Pour λ6= 0 et x > 0on a
xf0(x) = αf(x)
avec α= (1 −λ)/λ dont la résolution conduit à
f(x) = Cxα, x ∈]0 ; +∞[
Pour α < 0la condition lim0f= 0 entraîne f= 0 et est donc exclue.
Par contre le cas α≥0(correspondant à λ∈]0 ; 1]) conduit aux vecteurs
propres
f(x) = Cxα, x ∈[0 ; +∞[, C 6= 0
éléments de E.
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Exercice 8 : [énoncé]
Puisque fest de classe C1et que f(0) = 0, on peut écrire
f(t) =t→0f0(0)t+ o(t)
Ainsi la fonction ϕ:t7→ f(t)/t peut être prolongée par continuité en 0 et donc
l’intégrale définissant T(f)(x)a un sens en tant qu’intégrale d’une fonction
continue. De plus, la fonction T(f)apparaît alors comme la primitive s’annulant
en 0 de cette fonction continue ϕ, c’est donc une fonction élément de E. Enfin, la
linéarité de l’application Tétant immédiate, on peut affirmer que Test un
endomorphisme de E.
Soient λ∈R.
Si T(f) = λf alors pour tout x∈[0 ; +∞[,
T(f)(x) = λf(x)
En dérivant cette relation, on obtient pour tout x∈[0 ; +∞[
f(x) = λxf0(x)
Si λ= 0 alors fest la fonction nulle et λn’est pas valeur propre.
Si λ6= 0,fest solution de l’équation différentielle λxy0=y.
Cette dernière est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène dont la
solution générale sur ]0 ; +∞[est
y(x) = Cx1/λ
Ainsi, il existe C∈Rtel que pour tout x > 0,
f(x) = Cx1/λ
Or pour qu’une telle fonction puisse être prolongée en une fonction de classe C1
sur [0 ; +∞[, il faut C= 0 ou 1/λ ≥1. Ainsi les valeurs propres de Tsont les
éléments de l’intervalle ]0 ; 1].
Inversement, soient λ∈]0 ; 1] et la fonction fλ:x7→ x1/λ prolongée par continuité
en 0.
La fonction fλest de classe C1sur [0 ; +∞[, s’annule en 0 et vérifie T(fλ) = λfλ
sans être la fonction nulle.
Finalement, les valeurs propres de Tsont exactement les éléments de l’intervalle
]0 ; 1].
Exercice 9 : [énoncé]
a) On peut écrire
T(f)(x) = Zx
0
tf(t) dt+xZ1
x
f(t) dt
L’application T(f)apparaît alors comme continue (et même dérivable).
Ainsi, l’application Topère de Edans E, elle de surcroît évidemment linéaire.
b) Soient λ∈Ret f∈Evérifiant
T(f) = λf
Cas λ= 0
On a T(f)=0donc
Zx
0
tf(t) dt+xZ1
x
f(t) dt= 0
En dérivant, on obtient
xf(x)−xf(x) + Z1
x
f(t) dt=Z1
x
f(t) dt= 0
En dérivant à nouveau, on obtient f= 0. Ainsi 0 n’est pas valeur propre de T.
Cas λ6= 0
On a T(f) = λf
Zx
0
tf(t) dt+xZ1
x
f(t) dt=λf
En particulier, on peut affirmer que f(0) = 0 car T(f)(0) = 0.
Le premier membre de l’équation T(f) = λf est dérivable donc la fonction f
est également dérivable et, en dérivant, on obtient la relation
Z1
x
f(t) dt=λf0(x)
En particulier f0(1) = 0.
Le premier membre de cette nouvelle équation étant dérivable, la fonction f
est deux fois dérivable et on obtient en dérivant l’équation différentielle
λf00(x) + f(x)=0
Sous cas λ < 0
Sachant f(0) = 0, la résolution de l’équation différentielle donne
f(x) = Ash x
p|λ|!
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