La fonction carrée est une fonction paire

La fonction carrée est une
fonction paire
Intéressons nous à la courbe
représentative de la fonction carrée,
que l’on appellera dans la suite f.
Soit M un point de Cf
Si a est l’abscisse de M, alors
f(a)=a² est son ordonnée.
4
f(a)
M
2
J
j
-2
o
O
i
I
a
2
Ce point symbolise la transformation
de a en f(a)=a² par la fonction f
(fonction carrée).
4
f(a)
M
2
J
j
-2
o
O
i
I
a
2
Soit N le symétrique de M par rapport à
l’axe des ordonnées (Oy).
4
f(a)
N
M
2
J
j
-2
-a
o
O
i
I
a
2
N a pour coordonnées (-a;f(a))
Or l’image de –a par f est f(-a)
4
Mais f(-a) = (-a)2 = a2 = f(a)
Finalement N a pour
f(a)
N
M
coordonnées (-a;f(-a))
2
Donc Le point N est sur Cf.
J
j
-2
-a
o
O
i
I
a
2
Si on fait varier a…
4
N
f(-a)= f(a)
M
2
J
j
-2 -a
o
O
i
I
a
2
4
La parabole Cf d’équation y=x² est
donc symétrique par rapport à (Oy).
N
f(-a)= f(a)
M
2
J
j
-2 -a
o
O
i
I
a
2
4
La parabole Cf d’équation y=x² est
donc symétrique par rapport à (Oy).
N
f(-a)= f(a)
M
Car pour tout réel a,
-aIR ;
f(a)=f(-a) ;
2
J
Ces deux points caractérisent
les fonctions paires.
j
-2 -a
o
O
i
I
a
2
La fonction carrée est
une fonction paire.
La fonction carrée est donc une fonction paire, car :
a. Elle est définie sur IR et son ensemble de définition est
symétrique par rapport à 0 ;
b. Pour tout xIR, f(-x) = (-x)² = x² = f(x)
Ceci entraîne que Cf, c’est-à-dire la parabole d’équation
y=x², est symétrique par rapport à (oy).
Le cours dit :
Définition :
Une fonction f définie sur I est une fonction paire si et seulement si :
a. I est symétrique par rapport à 0 : c’est à dire que
pour tout x  I , -x I
(si un nombre réel est dans I alors son opposé est aussi dans I)
b. Pour tout x  I, on a f(-x) = f(x).
(Un nombre réel contenu dans I et son opposé ont la même image par une fonction
paire)
Soit Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
Alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Retour sur le premier point de la définition :
I est symétrique par rapport à 0 : signifie que
pour tout x  I , -x I
(si un nombre réel est dans I alors son opposé est
aussi dans I)
J
j
-2
o
O
i
I
a
2
Retour sur le premier point de la définition :
I est symétrique par rapport à 0 :
pour tout x  I , -x I
(si un nombre réel est dans I alors son opposé est
aussi dans I)
J
j
-2 -a
o
O
i
I
a
2
L’intervalle IR est-il symétrique par rapport à 0 ?
Réponse : VRAI
En particulier la fonction carrée, qui est définie sur IR, vérifie le premier point.
L’intervalle [-5;4] est-il symétrique par rapport à 0 ?
Réponse : Faux
L’ensemble IR* est-il symétrique par rapport à 0 ?
Réponse : VRAI
L’ensemble [-7;-4] [4;7] est-il symétrique par rapport à 0 ?
Réponse : Vrai