Espaces vectoriels 0. Vocabulaire

Espaces vectoriels
S2 Mathématiques Générales 1
11MM21
Les notes qui suivent sont très largement inspirées du site :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1/co/espacevect1.html et du
cours de E. Royer consultable à l’adresse :
http://math.univ-bpclermont.fr/∼royer/enseignement.html
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0. Vocabulaire
0.1. Notion de groupe commutatif
L’ensemble E est muni d’une loi de groupe commutatif s’il existe une
application + : E × E → E , (u, v ) 7→ u + v , appelée addition, vérifiant :
1 La loi est associative : pour tous éléments u, v et w de E on a
(u + v ) + w = u + (v + w ).
2
La loi est commutative : pour tous éléments u et v de E on a
u + v = v + u.
3
4
La loi admet un élément neutre noté 0 ou 0E : c’est un élément de E tel
que, pour tout élément u de E on a u + 0E = u.
Tout élément de E admet un opposé ou symétrique pour la loi + :
pour tout élément u de E , il existe un élément v de E tel que u + v = 0E .
On note −u l’élément v .
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0.2. Loi externe
Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R, soit C. On appelle scalaires
les éléments de ce corps.
On dit qu’un ensemble E est muni d’une loi de composition externe de
domaine K, s’il existe une application K × E → E , (α, u) 7→ α · u vérifiant les
propriétés suivantes :
1 Pour tous éléments λ et α de K, pour tout élément u de E :
(λα) · u = λ · (α · u)
2
Pour tout élément u de E : 1 · u = u.
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1. Espace vectoriel
1.1. Définition
Définition
Un groupe commutatif (E , +) muni d’une loi externe de domaine K est un
espace vectoriel sur K lorsque les conditions de compatibilités suivantes entre
les deux lois sont satisfaites:
1 Le produit externe est distributif par rapport à l’addition de E :
pour tout scalaire λ et tous éléments u et v de E , on a
λ · (u + v ) = λ · u + λ · v .
Le produit externe est distributif par rapport à l’addition de K :
pour tous scalaires λ et µ et pour tout élément u de E , on a
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u.
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés vecteurs de cet espace.
2
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1.2. Règles de calcul dans un espace vectoriel E
Dorénavant, E désigne un espace vectoriel sur K (appelé aussi K-espace
vectoriel). Soit u, v et w des vecteurs de E et λ et µ des scalaires. Par
convention, l’écriture u − v désigne le vecteur u + (−v ).
Les règles suivantes sont satisfaites et résultent de la définition d’un espace
vectoriel.
1 λ · (u − v ) = λ · u − λ · v .
2 (λ − µ) · u = λ · u − µ · u.
3 λ · 0
E = 0E .
4 0 · u = 0 .
E
5 Si λ · u = 0 , alors soit λ = 0 soit u = 0 .
E
E
6 Si u + v = u + w alors v = w .
7 Si λ · u = µ · u et si u 6= 0
E alors λ = µ
8 (−λ) · u = λ · (−u) = −(λ · u) et (−λ) · (−u) = λ · u .
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2. Sous-espaces vectoriels
2.1. Généralités
Définitions
1
2
Une partie A d’un espace vectoriel E est dite stable par addition de E si
pour tous éléments x et y de A on a x + y ∈ A.
Elle est dite stable par produit externe de E si pour tout λ ∈ K et tout
élément x ∈ A, on a λ · x ∈ A.
Une partie A d’un espace vectoriel E contenant l’élément nul 0E de E ,
stable par addition et produit externe de E est appelée sous-espace
vectoriel de E .
Théorème
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E muni des opérations de E est
un espace vectoriel.
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2.2. Sous-espaces vectoriels et systèmes linéaires
Proposition
L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n équations et p
inconnues à coefficients dans K :

a x + · · · + a1p xp = 0

 11 1
..
..
.
.


an1 x1 + · · · + anp xp = 0
est un sous-espace vectoriel de Kp .
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2.3. Sous-espaces vectoriels engendrés par une famille de vecteurs
Combinaisons linéaires
Dans un K-espace vectoriel E , une combinaison linéaire est un vecteur u
s’exprimant sous la forme
u = α1 · u1 + · · · + αn · un
où u1 , u2 , . . . , un sont des vecteurs de E , n étant un entier supérieur ou égal à
1 et α1 , α2 , . . . , αn sont des éléments de K.
On dira aussi que u est combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 , . . . , un . Les
scalaires α1 , α2 , . . . , αn sont appelés coefficients de la combinaison linéaire.
Dans le cas n = 1, on dira aussi que α1 · u1 est colinéaire à u1 .
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Proposition
L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs d’une partie U d’un espace
vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E . On l’appelle le sous-espace
vectoriel engendré par U et on le note Vect(U).
Cas particulier
Lorsque U = {u1 , u2 , . . . , un } est une famille finie de vecteurs, on a :
Vect(u1 , · · · , un ) = {α1 · u1 + α2 · u2 + · · · + αn · un | (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Kn } .
Proposition
L’espace Vect(U) est le plus petit sous-espace vectoriel de E au sens de
l’inclusion contenant la partie U de E .
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2.4. Intersection
Théorème
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est un
sous-espace vectoriel de E .
Cas particulier : L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n
équations et p inconnues est l’intersection des sous-espaces déterminés par
chacune des équations du système.
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2.5. Réunion et somme
Attention !!!
La réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E peut ne pas
être un sous-espace vectoriel de E .
Définition
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E , on appelle
somme de F et G et on note F + G l’ensemble
F + G = {v + w | v ∈ F , w ∈ G }.
On définit de façon analogue la notion de somme d’un nombre fini de
sous-espaces vectoriels.
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Proposition
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors
F + G est un sous-espace vectoriel de E .
La somme F + G est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient à la
fois F et G .
Cas particulier : Lorsque u1 , u2 , . . . , un sont n vecteurs de E :
Vect(u1 , . . . , un ) = Vect(u1 ) + · · · + Vect(un ).
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2.6. Supplémentaires
Définition
Deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel sont dit en somme directe
s’ils ont le minimum d’éléments en commun, c’est-à-dire si leur intersection
est {0E }.
Définition
Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E , on dit que F1 est
supplémentaire de F2 si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1 F + F = E ;
1
2
2 F ∩ F = {0 }.
1
2
E
Dans ce cas F2 est aussi supplémentaire de F1 . On dit aussi que F1 et F2 sont
supplémentaires ou que E est somme directe de F1 et F2 . On note
E = F1 ⊕ F2 .
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Proposition
Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E , ils sont supplémentaires si
et seulement si tout vecteur de E s’écrit de façon unique comme somme d’un
vecteur de F1 et d’un vecteur de F2 .
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3. Espaces vectoriels de type fini
3.1. Générateurs
Définition
On dit qu’une famille de vecteurs U de E engendre E si tout élément de E est
combinaison linéaire de vecteurs de U. On dit encore que U est une famille
génératrice de E .
La famille de vecteurs U engendre E si et seulement si :
E = Vect(U)
= {α1 u1 + · · · + αn un | n ∈ N∗ , α1 , · · · , αn ∈ K, u1 , . . . , un ∈ U}.
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Propriétés
Soit E un K-espace vectoriel admettant une famille de générateurs U.
1 Toute partie A de E contenant U est encore une partie génératrice de E .
2 Si u ∈ U est combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs de
0
U \ {u0 } alors la partie U \ {u0 } est encore une partie génératrice de E .
Définition
Un espace vectoriel qui admet une famille finie de générateurs est dit de type
fini.
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3.2. Famille libre, famille liée
Définition
Une famille de vecteurs de E est liée si l’un d’eux est combinaison linéaire des
autres. Une famille de vecteurs de E est libre si elle n’est pas liée, autrement
dit si aucun de ses vecteurs n’est combinaison linéaire des autres.
Pour dire qu’une famille de vecteurs est libre, on dit aussi que ses vecteurs
sont linéairement indépendants.
Théorème
1
2
Une famille est libre si et seulement si la seule combinaison linéaire de
cette famille valant 0E est celle dont tous les coefficients sont nuls.
Une famille est liée si et seulement s’il existe une combinaison linéaire à
coefficients non tous nuls qui vaut 0E .
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Propriétés
1
2
3
4
Si l’on retire un vecteur à une famille libre, on garde une famille libre.
Toute famille de vecteurs contenant une famille liée est liée.
Une famille de vecteurs contenant 0E ou deux vecteurs égaux est liée.
Si une famille est libre, tous ses éléments sont distincts et elle ne contient
pas 0E .
Sous-famille libre maximale
Soit U = {u1 , . . . , un } une famille finie de vecteurs de E où n ∈ N∗ .
Si un est combinaison linéaire des vecteurs u1 , . . . , un−1 alors
Vect(u1 , . . . , un ) = Vect(u1 , . . . , un−1 ) .
On peut toujours trouver une famille extraite U 0 ⊂ U qui est libre et telle que
Vect(U 0 ) = Vect(U). On dira que U 0 est une sous-famille libre maximale de U.
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3.3. Dimension et bases
Définition
On dit qu’une famille (ordonnée) de vecteurs de E est une base de E si elle
est à la fois libre et génératrice de E .
Écriture dans une base
Théorème
Soit E un espace vectoriel et E = (e1 , . . . , en ) une base de E . Tout vecteur de
E s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire de vecteurs de E. Les
coefficients de cette combinaison linéaire s’appellent les coordonnées du
vecteur dans la base E.
L’unicité de l’écriture traduit la liberté de E et l’existence le fait que E est
génératrice.
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Théorème de la base incomplète et de la base extraite
La proposition qui fait tout marcher.
Soit E un espace vectoriel de type fini admettant une famille génératrice de
cardinal m, m ∈ N∗ . Toute famille de cardinal p > m est liée.
Théorème
1
2
De toute famille génératrice de E on peut extraire une base.
Toute famille libre de E peut être complétée en une base.
Théorème
Tout espace vectoriel de type fini admet une base.
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Théorèmes de dimension
La proposition précédente assure que si p + 1 vecteurs sont combinaison
linéaire de p vecteurs, où p ∈ N∗ , ils sont liés.
Théorème
Soit E un K-espace vectoriel et B une base de E ayant n éléments. Alors :
1 Toute famille libre de E a au plus n éléments.
2 Toute famille génératrice de E a au moins n éléments.
3 Toute base de E a exactement n éléments.
4 Une famille libre ayant n éléments est une base.
5 Une famille génératrice ayant n éléments est une base.
Le nombre n est la dimension de E , notée dimE .
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Attention !!!
À part l’espace vectoriel {0E } qui n’admet que l’ensemble vide ∅ comme base,
les espaces vectoriels qui admettent au moins une base admettent une infinité
de bases.
Certains espaces vectoriels n’admettent pas de base finie.
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3.4. Sous-espaces vectoriels
Proposition
Un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E de type fini est de type fini
et dim(F ) ≤ dim(E ). Si de plus dim(F ) = dim(E ) alors F = E .
Proposition
Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels
de E . On se donne BF une base de F et BG une base de G . Alors :
1 F ∩ G = {0 } ⇐⇒ B
E
F ∪ BG est une famille libre.
2 F + G = E ⇐⇒ B
F ∪ BG est une famille génératrice de E .
3 F ⊕ G = E ⇐⇒ B
F ∪ BG est une base de E .
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Somme de sous-espaces vectoriels
Proposition
Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels
de E . Alors :
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) .
Corollaire
Soit E un espace vectoriel de type fini et F et G deux sous-espaces vectoriels
de E . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1 F ⊕ G = E,
2 dim(F ) + dim(G ) = dim(E ) et F + G = E ,
3 dim(F ) + dim(G ) = dim(E ) et F ∩ G = {0 }.
E
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