Espaces vectoriels 0. Vocabulaire

Espaces vectoriels
S2 Math´ematiques G´en´erales 1
11MM21
Les notes qui suivent sont tr`es largement inspir´ees du site :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1/co/espacevect1.html et du
cours de E. Royer consultable `a l’adresse :
http://math.univ-bpclermont.fr/∼royer/enseignement.html
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0. Vocabulaire
0.1. Notion de groupe commutatif
L’ensemble Eest muni d’une loi de groupe commutatif s’il existe une
application + : E×E→E,(u,v)7→ u+v, appel´ee addition, v´erifiant :
1La loi est associative : pour tous ´el´ements u,vet wde Eon a
(u+v) + w=u+ (v+w).
2La loi est commutative : pour tous ´el´ements uet vde Eon a
u+v=v+u.
3La loi admet un ´el´ement neutre not´e 0 ou 0E: c’est un ´el´ement de Etel
que, pour tout ´el´ement ude Eon a u+ 0E=u.
4Tout ´el´ement de Eadmet un oppos´e ou sym´etrique pour la loi + :
pour tout ´el´ement ude E, il existe un ´el´ement vde Etel que u+v= 0E.
On note −ul’´el´ement v.
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0.2. Loi externe
Dans tout ce cours on fixe un corps K: soit R, soit C. On appelle scalaires
les ´el´ements de ce corps.
On dit qu’un ensemble Eest muni d’une loi de composition externe de
domaine K, s’il existe une application K×E→E, (α, u)7→ α·uv´erifiant les
propri´et´es suivantes :
1Pour tous ´el´ements λet αde K, pour tout ´el´ement ude E:
(λα)·u=λ·(α·u)
2Pour tout ´el´ement ude E: 1 ·u=u.
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1. Espace vectoriel
1.1. D´efinition
D´efinition
Un groupe commutatif (E,+) muni d’une loi externe de domaine Kest un
espace vectoriel sur Klorsque les conditions de compatibilit´es suivantes entre
les deux lois sont satisfaites:
1Le produit externe est distributif par rapport `a l’addition de E :
pour tout scalaire λet tous ´el´ements u et v de E, on a
λ·(u+v) = λ·u+λ·v.
2Le produit externe est distributif par rapport `a l’addition de K:
pour tous scalaires λet µet pour tout ´el´ement u de E , on a
(λ+µ)·u=λ·u+µ·u.
Les ´el´ements d’un espace vectoriel sont appel´es vecteurs de cet espace.
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1.2. R`egles de calcul dans un espace vectoriel E
Dor´enavant, Ed´esigne un espace vectoriel sur K(appel´e aussi K-espace
vectoriel). Soit u,vet wdes vecteurs de Eet λet µdes scalaires. Par
convention, l’´ecriture u−vd´esigne le vecteur u+ (−v).
Les r`egles suivantes sont satisfaites et r´esultent de la d´efinition d’un espace
vectoriel.
1λ·(u−v) = λ·u−λ·v.
2(λ−µ)·u=λ·u−µ·u.
3λ·0E= 0E.
40·u= 0E.
5Si λ·u= 0E, alors soit λ= 0 soit u= 0E.
6Si u+v=u+walors v=w.
7Si λ·u=µ·uet si u6= 0Ealors λ=µ
8(−λ)·u=λ·(−u) = −(λ·u) et (−λ)·(−u) = λ·u.
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2. Sous-espaces vectoriels
2.1. G´en´eralit´es
D´efinitions
1Une partie A d’un espace vectoriel E est dite stable par addition de E si
pour tous ´el´ements x et y de A on a x +y∈A.
Elle est dite stable par produit externe de E si pour tout λ∈Ket tout
´el´ement x ∈A, on a λ·x∈A.
2Une partie A d’un espace vectoriel E contenant l’´el´ement nul 0Ede E ,
stable par addition et produit externe de E est appel´ee sous-espace
vectoriel de E .
Th´eor`eme
Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E muni des op´erations de E est
un espace vectoriel.
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2.2. Sous-espaces vectoriels et syst`emes lin´eaires
Proposition
L’ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire homog`ene `a n ´equations et p
inconnues `a coefficients dans K:
a11x1+· · · +a1pxp= 0
.
.
..
.
.
an1x1+· · · +anpxp= 0
est un sous-espace vectoriel de Kp.
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2.3. Sous-espaces vectoriels engendr´es par une famille de vecteurs
Combinaisons lin´eaires
Dans un K-espace vectoriel E, une combinaison lin´eaire est un vecteur u
s’exprimant sous la forme
u=α1·u1+· · · +αn·un
o`u u1,u2,...,unsont des vecteurs de E,n´etant un entier sup´erieur ou ´egal `a
1 et α1, α2, . . . , αnsont des ´el´ements de K.
On dira aussi que uest combinaison lin´eaire des vecteurs u1,u2,...,un. Les
scalaires α1, α2, . . . , αnsont appel´es coefficients de la combinaison lin´eaire.
Dans le cas n= 1, on dira aussi que α1·u1est colin´eaire `a u1.
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Proposition
L’ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs d’une partie Ud’un espace
vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E . On l’appelle le sous-espace
vectoriel engendr´e par Uet on le note Vect(U).
Cas particulier
Lorsque U={u1,u2,...,un}est une famille finie de vecteurs, on a :
Vect(u1,· · · ,un) = {α1·u1+α2·u2+· · · +αn·un|(α1, α2, . . . , αn)∈Kn}.
Proposition
L’espace Vect(U)est le plus petit sous-espace vectoriel de E au sens de
l’inclusion contenant la partie Ude E .
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2.4. Intersection
Th´eor`eme
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est un
sous-espace vectoriel de E .
Cas particulier : L’ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire homog`ene `a n
´equations et pinconnues est l’intersection des sous-espaces d´etermin´es par
chacune des ´equations du syst`eme.
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2.5. R´eunion et somme
Attention !!!
La r´eunion de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel Epeut ne pas
ˆetre un sous-espace vectoriel de E.
D´efinition
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E, on appelle
somme de F et G et on note F +G l’ensemble
F+G={v+w|v∈F,w∈G}.
On d´efinit de fa¸con analogue la notion de somme d’un nombre fini de
sous-espaces vectoriels.
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Proposition
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors
F+G est un sous-espace vectoriel de E.
La somme F+Gest le plus petit sous-espace vectoriel de Equi contient `a la
fois Fet G.
Cas particulier : Lorsque u1,u2,...,unsont nvecteurs de E:
Vect(u1,...,un) = Vect(u1) + · · · + Vect(un).
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2.6. Suppl´ementaires
D´efinition
Deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel sont dit en somme directe
s’ils ont le minimum d’´el´ements en commun, c’est-`a-dire si leur intersection
est {0E}.
D´efinition
Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E , on dit que F1est
suppl´ementaire de F2si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1F1+F2=E ;
2F1∩F2={0E}.
Dans ce cas F2est aussi suppl´ementaire de F1. On dit aussi que F1et F2sont
suppl´ementaires ou que Eest somme directe de F1et F2. On note
E=F1⊕F2.
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Proposition
Si F1et F2sont deux sous-espaces vectoriels de E , ils sont suppl´ementaires si
et seulement si tout vecteur de E s’´ecrit de fa¸con unique comme somme d’un
vecteur de F1et d’un vecteur de F2.
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3. Espaces vectoriels de type fini
3.1. G´en´erateurs
D´efinition
On dit qu’une famille de vecteurs Ude E engendre E si tout ´el´ement de E est
combinaison lin´eaire de vecteurs de U. On dit encore que Uest une famille
g´en´eratrice de E.
La famille de vecteurs Uengendre Esi et seulement si :
E= Vect(U)
={α1u1+· · · +αnun|n∈N∗, α1,· · · , αn∈K,u1,...,un∈ U}.
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