Le cours - Playmaths

1 http://playmaths.free.fr
Probabilités Variable aléatoire
QCM p.212
I. Vocabulaire
1) Exemple 1 :
Lançons un dé. A l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le dé
est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait), nous sommes incapables de prévoir
quelle face va apparaître. Nous sommes en présence d’une expérience aléatoire.
1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les résultats ou les cas possibles ou les issues ou les éventualités.
L’ensemble des éventualités est l’univers .
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Un événement est une partie de l’univers.
Par exemple, l’événement « obtenir un nombre entier strictement supérieur à 4 » est
l’événement {5, 6}.
Le nombre d'éléments d'un événement A s'appelle son cardinal. On le note card A.
Card = 6.
L’événement {4} (« obtenir 4 ») ne contient qu’une seule éventualité : c’est l’événement
élémentaire.
L’événement « obtenir 7 » est l’événement impossible ( C’est l’ensemble vide ; ).
L’événement « obtenir l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 » est l’événement certain ( C’est
l’univers tout entier ).
Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) lorsqu’ils n’ont aucun élément
en commun, c'est-à-dire A B = 
A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir 3 ou 5 » sont incompatibles.
L’événement contraire de A est le complémentaire de A dans . ; on le note
A
.
Si A : « Obtenir un nombre pair », alors
A
:« Ne pas obtenir un nombre pair », c'est à dire
« Obtenir un nombre impair » et
A
= {1 ; 3 ; 5 }.
2) Exemples :
L’expérience aléatoire « lancer une pièce de monnaie » a deux issues : P et F ( Pile et Face).
L’univers est = {P, F}.
Les événements élémentaires sont {P} et {F} ( « On obtient pile », « on obtient face »).
On lance deux pièces de monnaie : = { PP ;PF ; FP ; FF }
On lance deux dés : = {( i, j ) où 1 ≤ i ≤ 6 et 1 ≤ j ≤ 6 }
Ex
3) Loi des grands nombres
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition
d’une éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement
élémentaire associé à l’éventualité considérée.
C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note P({a}), a étant l’éventualité observée.
Exemples :
 On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5.
 On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à
Error!
. P({3}) =
Error!
.

2 http://playmaths.free.fr
Activités 1-2 p.214-215
II. Variable aléatoire et loi de probabilité
1) Variable aléatoire discrète
Définition :
Une variable aléatoire est une fonction X définie sur l’univers et à valeurs dans Ë. On la
note X.
Exemple :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro
10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1.
On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu.
Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre
fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète.
2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition :
Soit l’univers d’une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité P sur = {x1 ; x2 ; ……. ; xn} , c’est associer, à chaque événement
élémentaire xi un nombre pi appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel que la somme des pi fasse 1.
Les nombres pi sont appelés probabilités. On note pi = P({xi})
On représente souvent la loi de probabilité sous forme d’un tableau de valeurs.
xi
x1
x2
…
xn
P(X = xi)
p1
p2
…
pn
Exemple:
Avec l’exemple précèdent, on a :
xi
10
5
2
1
P(X = xi)
10
1
10
2
10
3
10
4
Ex 1-2-6-8

3 http://playmaths.free.fr
III. Espérance d’une loi de probabilité
Définition :
On suppose que les issues x1, x2, … , xn sont des nombres réels et qu’une loi de probabilité
est définie sur E.
L’espérance mathématique de la loi de probabilité X est le nombre E(X) défini par
E(X) = p1x1 + p2x2 + …… + pnxn.=
n
1i iixp
Exemple :
Dans l’exemple précédent,
E(X) =
10
4
1
10
3
2
10
2
5
10
1
10 
= 3
Rque : le calcul de l’espérance est un calcul de moyenne.
L’espérance est la moyenne de la série des valeurs xi pondérées par les probabilités pi.
Ex 3-4-5-7-9-10-11 p.229
Ex 13- 15-16-18-19-21 p.229
QCM p.230