Probabilités Variable aléatoire QCM p.212 I. Vocabulaire 1) Exemple 1 : Lançons un dé. A l’arrêt, sa face supérieure porte l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le dé est non truqué (on dit encore bien équilibré ou parfait), nous sommes incapables de prévoir quelle face va apparaître. Nous sommes en présence d’une expérience aléatoire. 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 sont les résultats ou les cas possibles ou les issues ou les éventualités. L’ensemble des éventualités est l’univers . = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Un événement est une partie de l’univers. Par exemple, l’événement « obtenir un nombre entier strictement supérieur à 4 » est l’événement {5, 6}. Le nombre d'éléments d'un événement A s'appelle son cardinal. On le note card A. Card = 6. L’événement {4} (« obtenir 4 ») ne contient qu’une seule éventualité : c’est l’événement élémentaire. L’événement « obtenir 7 » est l’événement impossible ( C’est l’ensemble vide ; ). L’événement « obtenir l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 » est l’événement certain ( C’est l’univers tout entier ). Deux événements A et B sont dits incompatibles (ou disjoints) lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun, c'est-à-dire A B = A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir 3 ou 5 » sont incompatibles. L’événement contraire de A est le complémentaire de A dans . ; on le note A . Si A : « Obtenir un nombre pair », alors A :« Ne pas obtenir un nombre pair », c'est à dire « Obtenir un nombre impair » et A = {1 ; 3 ; 5 }. 2) Exemples : L’expérience aléatoire « lancer une pièce de monnaie » a deux issues : P et F ( Pile et Face). L’univers est = {P, F}. Les événements élémentaires sont {P} et {F} ( « On obtient pile », « on obtient face »). On lance deux pièces de monnaie : = { PP ;PF ; FP ; FF } On lance deux dés : = {( i, j ) où 1 ≤ i ≤ 6 et 1 ≤ j ≤ 6 } Ex 3) Loi des grands nombres Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une éventualité tend vers une valeur « idéale » : on l’appelle probabilité de l’événement élémentaire associé à l’éventualité considérée. C’est un nombre compris entre 0 et 1. On le note P({a}), a étant l’éventualité observée. Exemples : On lance une pièce de monnaie. La probabilité d’obtenir « face » est 0,5. On lance un dé. La probabilité d’obtenir le nombre 3 est égale à Error!. P({3}) = Error!. 1 http://playmaths.free.fr Activités 1-2 p.214-215 II. Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire discrète Définition : Une variable aléatoire est une fonction X définie sur l’univers et à valeurs dans Ë. On la note X. Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu. Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète. 2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition : Soit l’univers d’une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité P sur = {x1 ; x2 ; ……. ; xn} , c’est associer, à chaque événement élémentaire xi un nombre pi appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel que la somme des pi fasse 1. Les nombres pi sont appelés probabilités. On note pi = P({xi}) On représente souvent la loi de probabilité sous forme d’un tableau de valeurs. xi x1 x2 … xn P(X = xi) p1 p2 … pn Exemple: Avec l’exemple précèdent, on a : xi 10 5 2 1 P(X = xi) 1 10 2 10 3 10 4 10 Ex 1-2-6-8 2 http://playmaths.free.fr III. Espérance d’une loi de probabilité Définition : On suppose que les issues x1, x2, … , xn sont des nombres réels et qu’une loi de probabilité est définie sur E. L’espérance mathématique de la loi de probabilité X est le nombre E(X) défini par E(X) = p1x1 + p2x2 + …… + pnxn.= n pixi i1 Exemple : Dans l’exemple précédent, 1 2 3 4 E(X) = 10 =3 5 2 1 10 10 10 10 Rque : le calcul de l’espérance est un calcul de moyenne. L’espérance est la moyenne de la série des valeurs xi pondérées par les probabilités pi. Ex 3-4-5-7-9-10-11 p.229 Ex 13- 15-16-18-19-21 p.229 QCM p.230 3 http://playmaths.free.fr