Savoir calculer des probabilités d`un évènement.

Niveau : Seconde
Probabilités / Activités - corrertion
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
PROBABILITÉS
Les objectifs de cette leçon :




Pr1 : Définir une loi de probabilité
Pr2 : Savoir calculer des probabilités d’un évènement.
Pr3 : Savoir calculer des probabilités d’union ou d’intersection de 2 évènements.
Pr4 : Savoir utiliser des tableaux ou des arbres pour calculer des probabilités.
PR1 : Définir une loi de probabilité
Activité 1 : Quels sont les univers des expériences aléatoires suivantes :




1) Lancer une pièce de monnaie
2) Lancer 2 fois de suite une pièce de monnaie
3) Lancer un dé cubique
4) Remplir au hasard une grille de loto
1)  = {pile ; face}
2)  = {(pile , pile) ; (pile , face) ; (face , pile) ; (face ; face)}
3)  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
4)  = {(1,2,3,4,5,6) ; (1,2,3,4,5,7) ; … ; (44,45,46,47,48,49)}
l’univers comporte environ 14 millions d’issues !
Activité 2 : Définir les lois de probabilité des 3 premières expériences aléatoires de l’activité 1 :
Expérience 1
Expérience 2
Expérience 3
1
Pile : p1 = 2
1
Issues
Probabilité
Face : p2 = 2
Probabilités / Activités - correction
PP
1
4
PF
1
4
FP
1
4
1
FF
1
4
Activité 3 : Un dé à 10 faces non truqué est constitué de 5 faces rouges, 3 vertes et les autres bleues.
On lance le dé et on note la couleur obtenue.
Définir la loi de probabilité de l’expérience aléatoire.
En notant les évènements : R : « obtenir la couleur rouge » ; V : « obtenir la couleur verte » et B : « obtenir
la couleur bleue » l’univers est  = {R ; V ; B}
La loi de probabilité peut se présenter sous la forme d’un tableau :
Issues
Probabilité
R
5
1
=
10
2
V
3
10
B
2
1
=
10
5
PR2 : Savoir calculer des probabilités d’un évènement.
Activité 1 : Une roulette a 8 secteurs, portant les nombres de 0 à 7. On fait rouler une bille sur la roulette, et
celle-ci atterrit au hasard sur un des huit secteurs. On note le chiffre obtenu. La roulette étant usée, elle n’est
plus bien équilibrée et tous les secteurs ne sont pas désignés aussi souvent les uns que les autres.
Quel est l’univers  ?  = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}
Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de l’expérience aléatoire.
Secteur
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
Probabilité
0,12
0,1
0,13
0,15
0,14
0,1
0,15
0,11
1
Compléter le tableau ci-dessous afin de calculer la probabilité des évènements A et B :
Évènements
Description
Nombre
d’issues
Probabilité
A « Obtenir un chiffre pair »
A = {0 ; 2 ; 4 ; 6}
4
0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 = 0,54
B « Obtenir un chiffre strictement
supérieur à 5»
B = {6 ; 7}
2
0,1 + 0,15 = 0,25
Activité 2 : On choisit un élève au hasard dans une classe.
Quel est l’événement contraire de l’événement :
1) « c’est une fille qui a appris sa leçon » ?
C’est un garçon ou quelqu’un qui n’a pas appris sa leçon
Probabilités / Activités - correction
2
2) « c’est une fille ou un élève qui appris sa leçon » ?
C’est un garçon qui n’a pas appris sa leçon
3) Un élève répond au hasard à un Q.C.M. comportant 5 questions. Quel est l’événement contraire de :« il a
répondu juste à au moins 2 questions » ?
Il a répondu juste à moins de 2 questions
Activité 3 : On lance deux dés à 6 faces équilibrés et on s’intéresse à la somme des nombres obtenus. On
définit les événements suivants :
• E : « le résultat est pair »
• F : « le résultat est au moins égal à 5 »
• G : « le résultat est au plus égal à 4 »
Préciser les événements élémentaires qui composent chacun des événements ci-dessus puis calculer la
probabilité de chacun des événements ainsi que celles des évènements contraires.
E = {2 ; 4 ; 6}
3
1
p(E) = 6 = 2
1
1
1
2
et
p( E ) = 1 - p(E) = 1 - 2 = 2
et
p( F ) = 1 - p(E) = 1 - 3 = 3
F = {5 ; 6}
2
1
p(F) = 6 = 3
G = {1 ; 2 ; 3 ; 4}
4
2
p(G) = 6 = 3
et
2
1
p( G ) = 1 - p(G) = 1 - 3 = 3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Probabilités / Activités - correction
3
PR3 : Savoir calculer des probabilités d’union ou d’intersection de 2 évènements.
Activité 1 : Deux épidémies sévissent en même temps dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On
choisit un élève au hasard et on nomme :
• G l’événement « l’élève a la gastro-entérite »
• R l’événement « l’élève a un rhume »
Décrire à l’aide de ces deux événements :
1) « l’élève a la gastro-entérite et le rhume » G ∩ R
2) « l’élève a le rhume mais pas la gastro-entérite » R ∩ G
3) « l’élève a au moins une des deux maladies » G ∪ R
4) « l’élève n’a aucune des deux maladies » G ∩ R
Activité 2 : On considère l’expérience aléatoire consistant à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes (du 7 à
l’As) et les évènements suivants
A « Obtenir un cœur »
B « Obtenir un 7, un 8 ou un 9 »
C « Obtenir une dame »
Calculer p(A), p(B) et p(C) : L’univers  est composé de 32 éléments (les 32 cartes du jeu)
8
1
A est composé de 8 éléments (8 cœurs) et donc p(A) = 32 = 4
12
3
B est composé de 12 éléments (4 sept, 4 huit et 4 neuf) et donc p(B) = 32 = 8
4
1
C est composé de 4 éléments (4 dames) et donc p(C) = 32 = 8
Calculer p(A∩B), p(A∩C) et p(B∩C)…………………………………………………………………………
3
A∩B est composé de 3 éléments (7, 8 et 9 de cœur) donc p(A∩B) = 32
1
A∩C est composé de 1 élément (dame de cœur) donc p(A∩C) = 32
B∩C est composé d’aucun éléments (une carte ne peut pas être à la fois un 7, un 8 ou un 9 et une dame)
donc p(B∩C) = 0. B et C sont alors dit incompatibles.
Calculer p(A∪B), p(A∪C) et p(B∪C)…………………………………………………………………………
8
12
3
17
8
4
1
11
p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) donc p(A∪B) = 32 + 32 - 32 = 32
p(A∪C) = p(A) + p(C) – p(A∩C) donc p(A∪C) = 32 + 32 - 32 = 32
12
4
1
p(B∪C) = p(B) + p(C) – p(B∩C) donc p(B∪C) = 32 + 32 = 2
Probabilités / Activités - correction
4
PR4 : Savoir utiliser des tableaux ou des arbres pour calculer des probabilités.
Activité 1 : À un examen, les candidats ont le choix entre 2 questions, la A ou la B. Les correcteurs effectuent
sur les réponses des statistiques afin de pouvoir comparer la difficulté des deux questions. Les résultats, en
fréquences, sont donnés dans le tableau suivant :
Réponse
juste
Réponse
fausse
Total
Question A
Question B
0,3
0,2
0,1
0,4
0,4
0,6
Total
0,5
0,5
1
1) Compléter le tableau
2) On prend une copie au hasard. On définit les évènements :
A = « La question choisie est la question A »
B = « La question choisie est la question B »
J = « La réponse est juste »
J = « La réponse est fausse »
Compléter le tableau :
p(A) = 0,4
p(B) = 0,6
p(J) = 0,5
p( J ) = 0,5
p(A∩J) = 0,3
p(A⋂ J ) = 0,1
p(B⋂J) = 0,2
p(B⋂ J ) = 0,4
p(A⋃J) = 0,4 + 0,5 – 0,3 =
0,6
p(B⋃J) = 0,6 + 0,5 – 0,2 =
0,9
p(A⋃ J ) = 0,4 + 0,5 – 0,1 =
p(B⋃ J ) = 0,6 + 0,5 – 0,4 =
0,8
0,7
Probabilités / Activités - correction
5
Activité 2 : On lance 4 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée et on note les résultats
obtenus sur une feuille (P pour pile et F pour face).
Effectuer un arbre pondéré de la situation :
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 fois piles ?
1
L’univers est composé de 16 issues élémentaires équiprobables de probabilité 16
L’évènement A : « obtenir au moins 3 fois pile » est composés de 5 éléments : (FPPP) ; (PFPP) ; (PPFP) ;
(PPPF) et (PPPP)
Donc p(A) =
5
16
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 fois faces ?
L’évènement B : « obtenir exactement 2 fois faces » est composés de 6 éléments : (FFPP) ; (FPFP) ;
(FPPF) ; (PFFP) ; (PFPF) et (PPFF)
6
3
Donc p(B) = 16 = 8
Probabilités / Activités - correction
6
Activité 3 : Dans un sac il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. On choisit successivement 3 boules dans le
sac (tirage avec remise)
On note les couleurs des 3 boules. Ainsi {RVR} est un évènement possible de l’expérience aléatoire
Effectuer un arbre pondéré de la situation :
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 boules vertes ?
L’univers  est composé de 8 éléments.
L’évènement E : « obtenir au moins 2 boules vertes » est composé de 4 éléments (RVV) ; (VRV) ; (VVR) ;
(VVV)
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
Donc p(E) = 5 × 5 × 5 + 5 × 5 × 5 + 5 × 5 × 5 + 5 × 5 × 5 =
44
Et p(E) = 125
Probabilités / Activités - correction
7
12
125
12
12
8
+ 125 + 125 + 125
Activité 4 : Dans un sac il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. On choisit successivement 3 boules dans le
sac (tirage sans remise)
On note les couleurs des 3 boules. Ainsi {RVR} est un évènement possible de l’expérience aléatoire
Effectuer un arbre pondéré de la situation :
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 boules vertes ?
L’évènement E : « obtenir au moins 2 boules vertes » est composé de 4 éléments (RVV) ; (VRV) ; (VVR)
3
1
1
2
3
1
2
1
Donc p(E) = 5 × 2 × 3 + 5 × 4 × 3 + 5 × 4 × 1 =
3
30
6
2
Et p(E) = 0,3
Probabilités / Activités - correction
3
+ 60 + 20 = 10
8