2nde Ch4. Résolution d`équations Savoir faire : . Résoudre par le

2nde
Ch4. Résolution d’équations
Objectifs :
. Résoudre une équation se ramenant au premier degré.
. Pour un problème, combiner résolution graphique et
contrôle algébrique.
. Utiliser les représentations graphiques données sur un
écran par une calculatrice, un logiciel.
Savoir faire :
. Résoudre par le calcul une équation à une inconnue
de degré un.
. Traduire en équation un problème à une inconnue de
degré un.
1. Résolution équation à une inconnue de degré un :
Une équation à une inconnue est un équilibre entre membre de gauche et membre de droite, dans les quels une valeur
n’est pas connue, x, les autres valeurs sont des constantes, nombres réels. Une telle équation est de degré 1, lorsque la
valeur non connue, l’inconnue n’est présente qu’à la puissance 1.
Résoudre une équation c’est trouver si elle(s) existe(nt) la, les solutions, c’est à dire la ou les valeurs de x qui vérifie(nt)
l’égalité entre membre de gauche et membre de droite.
Exemple : 3x + 1 = 11 − 2x est une équation. x est l’inconnue, 2 est la solution de cette équation.
Méthode :
. Ranger les inconnues au membre de gauche.
. Ranger les constantes au membre de droite.
. Déterminer la valeur solution si elle existe.
Exemple : Résoudre 6x − 7 = 4x + 3.
Retenir : Une équation du type ax = b, où a et b sont des réels et a 6= 0, admet une unique solution :
b
.
a
2. Résolution équation produit nul :
Un produit est le résultat d’une multiplication.
Une équation produit nul est une équation du type : A × B = 0, où A et B sont les facteurs.
Propriété : Un produit est nul, si et seulement si un des facteurs est nul.
Méthode et Exemples :
Exemple 1 : (x − 5)(3 + 8x) = 0.
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul,
Soit x − 5 = 0,
3
Soit 3 + 8x = 0. Les solutions de l’équation (x − 5)(3 + 8x) = 0 sont S = {− ; 5}.
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Exemple 2 : (2x − 3)(x + 5) = (2x − 3)(3x − 2).
Se ramener à une équation produit nul.
(2x − 3)(x + 5) = (2x − 3)(3x − 2)
équivaut à
(2x − 3)(x + 5) − (2x − 3)(3x − 2) = 0
(2x − 3)[(x + 5) − (3x − 2)] = 0
(2x − 3)(x + 5 − 3x + 2) = 0
(2x − 3)(−2x + 7) = 0
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Soit 2x − 3 = 0 Soit −2x + 7 = 0
3 7
Les solutions de l’équation (2x − 3)(x + 5) = (2x − 3)(3x − 2) sont S = { ; }.
2 2
Attention : (x − 5) + (3 + 8x) = 0 n’est pas une équation produit nul.
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Ch4. Résolution d’équations
3. Résolution de f (x) = k à partir d’une courbe :
3x − 1
= 4.
2x + 1
3x − 1
Entrer la fonction f (x) =
− 4.
2x + 1
Représenter graphiquement f .
Ajuster la fenêtre pour xmin = −4 et xM AX = 4 avec un pas de 1. Pour ymin = −4 et yM AX = 4 avec un pas de 1.
Utiliser la fonction trace pour lire les coordonnées du point d’intersection de cette courbe avec l’axe des abscisses.
Utiliser la fonction table pour retrouver ces valeurs.
Etude de l’équation
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4. Résolution équation quotient nul :
Un quotient est le résultat d’une division.
Une équation quotient nul est une équation du type :
A
, où A et B sont des expressions fonctions de x.
B
Propriétés :
A
est nul si et seulement si A = 0 ET B 6= 0.
B
C
A
=
si et seulement si A × D = B × C ET B 6= 0 et D 6= 0.
— Égalité de quotients :
B
D
. Un quotient
Méthodes et Exemples :
Exemple 1 :
7−x
= 0.
x+4
Recherche de valeurs interdites : x + 4 6= 0, il faut x 6= −4.
Recherche de solutions :
7−x
=0
x+4
7−x
La solution de l’équation
=0
x+4
Exemple 2 :
⇔
est
7 − x = 0 ET x 6= −4.
x = 7 ET x 6= −4.
S = {7} dans R − {−4}.
3x + 1
= 5.
x−4
Recherche de valeurs interdites : x − 4 6= 0, il faut x 6= 4.
Recherche de solutions :
La solution de l’équation
3x + 1
=5
x−4
3x + 1
=5
x−4
⇔
est
3x + 1
5
= ET x 6= 4.
x−4
1
(3x + 1) × 1 = (x − 4) × 5 ET x 6= 4.
−2x + 21 = 0 ET x 6= 4.
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S = { } dans R − {4}.
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5. Résolution équation carrée :
Une équation carrée est une équation du type : x2 = a.
Propriété :
√ √
Pour tout a réel positif,l’équation x2 = a a deux solutions S = {− a; a}.
Remarques :
. Pour a < 0, l’équation x2 = a n’a pas de solution dans R.
. Pour a = 0, l’équation x2 = 0 a une unique solution S = {0}.
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