Niveau : Seconde Probabilités / résumé Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 Fréquence de 6 0.350 0.300 PROBABILITÉ 0.250 0.200 PR1 : Définir une loi de probabilité Définition : Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont les résultats possibles sont connus sans qu’on puisse déterminer lequel sera réalisé. Définition : L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues possibles appelé également éventualités. On le note . 0.150 0.100 0.050 0.000 0 Définition : Un événement est un sous-ensemble de l’univers. Il peut toujours se décrire à l’aide d’issues. Exemple : Lancer un dé cubique est une expérience aléatoire. L’univers comporte 6 issues possibles : = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} L’évènement A « obtenir un nombre pair » est un sous-ensemble de : A = {2 ; 4 ; 6} Définition : Lorsqu’on répète n fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence d’une issue va avoir tendance à se stabiliser lorsque n augmente. La probabilité de l’issue est très proche de la valeur stabilisée observée. 1000 2000 3000 4000 5000 Définition : Dans un modèle équiréparti, chaque issue a la même probabilité qui vaut : 1 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 On dit aussi que c’est une situation d’équiprobabilité. Exemple : Lancé d’un dé à huit faces Chaque face a la même probabilité d’être tiré et comme on a 8 issues possibles, cette Exemple : simulation d’un lancer de dé cubique. probabilité vaut On s’intéresse à la fréquence d’apparition du 6. On a simulé 5 000 lancés à l’aide d’un tableur et on a alors représenté la fréquence d’apparition du 6 en fonction du nombre de lancers réalisés. On observe que cette fréquence a tendance à se stabiliser lorsque le nombre de lancers devient important. 1 La fréquence va tendre vers une valeur théorique qui vaut ici = 0,166… 6 1 8 Définition : Une loi de probabilité sur un univers associe à chaque issue qui le réalise un nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité. La somme des probabilités des issues est 1. Exemple : Un dé à 4 faces porte une lettre différente sur chacune de ses faces : les lettres A, B, C et D. On lance le dé, et on note la lettre obtenue. C’est une expérience aléatoire d’univers = {A ; B ; C ; D} On peut définir la loi de probabilité de cette expérience aléatoire qui suit un modèle équiréparti et la représenter de 3 manières différentes : Définition : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Sous la forme d’une liste : Lettre A : probabilité p1 = Lettre B : probabilité p2 = Lettre C : probabilité p3 = Lettre D : probabilité p4 = 1 Méthode pour calculer la probabilité d’un événement : 4 1) Si le modèle n’est pas équiréparti, on observe des fréquences. 2) On détermine les issues réalisant l’événement dont on souhaite connaitre la probabilité. 3) On additionne les probabilités des issues qui le réalisent. 1 4 1 4 Exemple : Un dé à 4 faces est truqué : les chiffres 1, 2 et 3 ont chacun seulement 10% de chances d’être obtenus. On lance le dé, et on note le chiffre obtenu. 1 4 Sous la forme d’un tableau: Lettre Probabilité A 1 4 Sous la forme d’un arbre : PR2 : Savoir calculer des probabilités d’un évènement Définir la loi de probabilité de l’expérience aléatoire. B 1 4 C 1 4 D 1 4 = {1 ; 2 ; 3 ; 4} Les probabilités d’obtenir 1, 2 et 3 sont égales à 0,1. Et comme la somme des probabilités doit être égale à 1, la probabilité d’obtenir 4 est égale à 1 – 3 × 0,1 = 0,7 La loi de probabilité est donc : issue Probabilité 1 0,1 2 0,1 3 0,1 4 0,7 Définition : Soit A un événement. L’événement contraire à A est constitué des issues de ne réalisant pas dans A et se note A . Sa probabilité vaut : p( A ) = 1− p(A). Exemple : La probabilité pour qu’une machine-outil tombe en panne dans sa première année de fonctionnement vaut 0,15. Quelle est la probabilité pour que cette machine-outil ne tombe pas en panne dans sa première année de fonctionnement ? En notant A l’évènement : « la tombe en panne dans sa première année de fonctionnement », on a p(A) = 0,15. Et donc p( A ) = 1− p(A) = 1 – 0,15 = 0,85 Cette machine-outil a donc 85% de chance de ne pas tomber en panne dans sa première année de fonctionnement. PR3 : Savoir calculer des probabilités d’union ou d’intersection de 2 évènements Définition : Soient A et B deux événements. L’union de A et de B est l’ensemble des issues qui réalisent A ou B. On le note A ∪ B (se lit « A ∪nion B »). Définition : Soient A et B deux événements. L’intersection de A et B est l’ensemble des issues qui réalisent A et B. On le note A ∩ B (se lit « A i∩ter B »). Définition : Si A et B sont deux événements alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B). On considère l’expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 carte. Quelle est la probabilité d’obtenir un trèfle ou un as ? On note A = « obtenir un trèfle » et B = « obtenir un as » A comporte 8 éléments et B comporte 4 éléments. Chaque carte ayant la même probabilité d’être tirée, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité et donc : Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements P(A) = 8 32 1 4 4 32 = et p(B) = = 1 8 On a A ∩ B = « obtenir l’as de trèfle » et donc p(A ∩ B) = 1 1 1 4 8 32 Donc p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = + Soit p(A ∪ B) = Exemple : On lance un dé à 12 faces et on considère les 2 évènements suivants : A : « obtenir un nombre pair » B : « obtenir un multiple de 3 » 11 1 32 32 PR4 : Savoir utiliser des tableaux ou des arbres pour calculer des probabilités Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres ou des tableaux afin de calculer plus facilement les probabilités des évènements. Décrire les évènements A ∪ B et A ∩ B On a : A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12} et B = {3 ; 6 ; 9 ; 12} Exemple 1 : On lance simultanément 2 dés à 4 faces et on note la somme obtenue X. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ? Quelle est la probabilité d’obtenir 5 ? Donc A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12} La situation se prête à la réalisation d’un tableau pour visualiser toutes les issues possibles : 1er dé/2ème dé 1 2 3 4 Et A ∪ B = {6 ; 12} 8 4 2 10 6 12 3 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 On a 16 issues possibles équiprobable représentées par les 16 cases du tableau : = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; … (4 ;4)} Soit A = « obtenir une somme égale à 3 » et B = « obtenir une somme égale à 5 » L’évènement A est réalisé pour 2 issues tandis que l’évènement B est réalisé pour 4 issues. On a alors P(A) = 2 16 = 1 8 et p(B) = 4 16 = On calcule alors la probabilité de l’évènement E en parcourant les chemins de l’arbre pondéré réalisant l’évènement E. 1 4 On a donc 2 fois plus de chance d’obtenir 5 que d’obtenir 3. Exemple 2 : Dans un sac il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. On choisit une boule puis une seconde, en remettant la première dans le sac. On regarde les couleurs des 2 boules. Calculer p(E) avec E : « Obtenir deux boules de couleurs différentes » La situation se prête à la réalisation d’un arbre pour visualiser toutes les issues possibles : Arbre développé Arbre pondéré par les probabilités E est réalisé pour 2 chemins : RV ou VR 3 2 5 5 Et on a alors p(E) = × Soit encore p(E) = 0,48 + 2 5 × 3 5 = 12 25