probabilité

PROBABILITÉ
PR1 : Définir une loi de probabilité
Exemple : Lancer un dé cubique est une expérience aléatoire.
L’univers  comporte 6 issues possibles :  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
L’évènement A « obtenir un nombre pair » est un sous-ensemble de  :
A = {2 ; 4 ; 6}
Exemple : simulation d’un lancer de dé cubique.
On s’intéresse à la fréquence d’apparition du 6.
On a simulé 5 000 lancés à l’aide d’un tableur et on a alors représenté la fréquence
d’apparition du 6 en fonction du nombre de lancers réalisés.
On observe que cette fréquence a tendance à se stabiliser lorsque le nombre de lancers
devient important.
La fréquence va tendre vers une valeur théorique qui vaut ici 
 = 0,166…
Exemple : Lancé d’un dé à huit faces
Chaque face a la même probabilité d’être tiré et comme on a 8 issues possibles, cette
probabilité vaut 
Exemple : Un dé à 4 faces porte une lettre différente sur chacune de ses faces : les lettres A,
B, C et D. On lance le dé, et on note la lettre obtenue.
C’est une expérience aléatoire d’univers  = {A ; B ; C ; D}
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
01000 2000 3000 4000 5000
Fréquence de 6
Niveau : Seconde
Probabilités / résumé
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
Définition : Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont les
résultats possibles sont connus sans qu’on puisse déterminer lequel sera réalisé.
Définition : L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues
possibles appelé également éventualités. On le note .
Définition : Un événement est un sous-ensemble de l’univers.
Il peut toujours se décrire à l’aide d’issues.
Définition : Lorsqu’on répète n fois, de façon indépendante, une expérience
aléatoire, la fréquence d’une issue va avoir tendance à se stabiliser lorsque n
augmente.
La probabilité de l’issue est très proche de la valeur stabilisée observée.
Définition : Dans un modèle équiréparti, chaque issue a la même probabilité
qui vaut :
On dit aussi que c’est une situation d’équiprobabilité.
Définition : Une loi de probabilité sur un univers associe à chaque issue qui le
réalise un nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité. La somme des
probabilités des issues est 1.

On peut définir la loi de probabilité de cette expérience aléatoire qui suit un modèle
équiréparti et la représenter de 3 manières différentes :
Sous la forme d’une liste :
 Lettre A : probabilité p1 = 
 Lettre B : probabilité p2 = 
 Lettre C : probabilité p3 = 
 Lettre D : probabilité p4 = 
Sous la forme d’un tableau:
Lettre
A
B
C
D
Probabilité
Sous la forme d’un arbre :
PR2 : Savoir calculer des probabilités d’un évènement
Méthode pour calculer la probabilité d’un événement :
1) Si le modèle n’est pas équiréparti, on observe des fréquences.
2) On détermine les issues réalisant l’événement dont on souhaite connaitre la probabilité.
3) On additionne les probabilités des issues qui le réalisent.
Exemple : Un dé à 4 faces est truqué : les chiffres 1, 2 et 3 ont chacun seulement 10% de
chances d’être obtenus.
On lance le dé, et on note le chiffre obtenu.
Définir la loi de probabilité de l’expérience aléatoire.
 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}
Les probabilités d’obtenir 1, 2 et 3 sont égales à 0,1.
Et comme la somme des probabilités doit être égale à 1, la probabilité d’obtenir 4 est égale
à 1 – 3 × 0,1 = 0,7
La loi de probabilité est donc :
issue
1
2
3
4
Probabilité
0,1
0,1
0,1
0,7
Exemple : La probabilité pour qu’une machine-outil tombe en panne dans sa première année
de fonctionnement vaut 0,15.
Quelle est la probabilité pour que cette machine-outil ne tombe pas en panne dans sa première
année de fonctionnement ?
En notant A l’évènement : « la tombe en panne dans sa première année de fonctionnement »,
on a p(A) = 0,15.
Et donc p(A) = 1− p(A) = 1 – 0,15 = 0,85
Cette machine-outil a donc 85% de chance de ne pas tomber en panne dans sa première année
de fonctionnement.
Définition : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des
issues qui le réalisent.
Définition : Soit A un événement. L’événement contraire à A est constitué des
issues de  ne réalisant pas dans A et se note A. Sa probabilité vaut :
p(A) = 1− p(A).

2
4
6
12
8
10
3
9
PR3 : Savoir calculer des probabilités d’union ou d’intersection de 2
évènements
Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements
Exemple : On lance un dé à 12 faces et on considère les 2 évènements suivants :
A : « obtenir un nombre pair »
B : « obtenir un multiple de 3 »
Décrire les évènements A  B et A B
On a : A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12} et B = {3 ; 6 ; 9 ; 12}
Donc A  B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12}
Et A  B = {6 ; 12}
On considère l’expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32
carte.
Quelle est la probabilité d’obtenir un trèfle ou un as ?
On note A = « obtenir un trèfle » et B = « obtenir un as »
A comporte 8 éléments et B comporte 4 éléments. Chaque carte ayant la même probabilité
d’être tirée, nous sommes dans une situation d’équiprobabilité et donc :
P(A) = 
 =   et p(B) =   = 
On a A ∩ B = « obtenir l’as de trèfle » et donc p(A ∩ B) = 
Donc p(A  B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 
 +   - 
Soit p(A  B) = 
PR4 : Savoir utiliser des tableaux ou des arbres pour calculer des probabilités
Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres ou des tableaux afin de calculer plus
facilement les probabilités des évènements.
Exemple 1 : On lance simultanément 2 dés à 4 faces et on note la somme obtenue X.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ? Quelle est la probabilité d’obtenir 5 ?
La situation se prête à la réalisation d’un tableau pour visualiser toutes les issues possibles :
1er dé/2ème dé
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
On a 16 issues possibles équiprobable représentées par les 16 cases du tableau :
 = {(1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; … (4 ;4)}
Soit A = « obtenir une somme égale à 3 » et B = « obtenir une somme égale à 5 »
Définition : Soient A et B deux événements. L’union de A et de B est l’ensemble
des issues qui réalisent A ou B.
On le note A  B (se lit « A nion B »).
Définition : Soient A et B deux événements. L’intersection de A et B est
l’ensemble des issues qui réalisent A et B.
On le note A ∩ B (se lit « A i∩ter B »).
Définition : Si A et B sont deux événements alors p(A  B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

L’évènement A est réalisé pour 2 issues tandis que l’évènement B est réalisé pour 4 issues.
On a alors P(A) = 
 =   et p(B) =   = 
On a donc 2 fois plus de chance d’obtenir 5 que d’obtenir 3.
Exemple 2 : Dans un sac il y a 3 boules rouges et 2 boules vertes. On choisit une boule puis
une seconde, en remettant la première dans le sac. On regarde les couleurs des 2 boules.
Calculer p(E) avec E : « Obtenir deux boules de couleurs différentes »
La situation se prête à la réalisation d’un arbre pour visualiser toutes les issues possibles :
Arbre développé
Arbre pondéré par les probabilités
On calcule alors la probabilité de l’évènement E en parcourant les chemins de l’arbre
pondéré réalisant l’évènement E.
E est réalisé pour 2 chemins : RV ou VR
Et on a alors p(E) = 
 ×   +   ×   = 
Soit encore p(E) = 0,48