Exercices et problèmes

Université René Descartes LMD Sciences de la Vie et de la Santé
UFR Biomédicale, M1 de Santé Publique
45 rue des Saints-Père, 75 006 Paris Spécialité Biostatistique
M1
BIOSTATISTIQUE I
Bases : Probabilités, Estimation et Tests.
Exercices et problèmes
C. Huber

1
Semaines 1 et 2
Probabilités, probabilités conditionnelles,
indépendance, formule de Bayes.
Fonction de répartition, espérance et variance d'une variable aléatoire réelle.
Rappels de cours :
Définition d'une probabilité conditionnelle
La probabilité de B étant supposée différente de 0, on appelle probabilité de A conditionné par B, que l'on
note P(A/B), le rapport :
P(A∩B)
P(A/B) = _________ .
P(B)
On peut donc écrire :
P(A↔B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A) .
Formule de Bayes
Cette formule, aussi appelée "théorème de la probabilité des causes", permet de renverser un
conditionnement.
P(B/A)
P(A/B) = P(A) ___________________________ .
P(B/A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac)
Elle est valable dès que P(B) est différent de 0.
Définition de l'Indépendance
On dit que A et B sont indépendants si
(1) P(A∩B) = P(A) P(B)
C'est équivalent à (2) et à (3) :
(2) P(A/B) = P(A)
(3) P(B/A) = P(B)
Définition de la Fonction de répartition F d'une variable aléatoire réelle X en un point x
C'est la probabilité pour qu'e cette variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x :
F(x) = P(X ≤ x)
On la note souvent f.r. .
Définition de l'Espérance
L'espérance, ou moyenne, d'une variable aléatoire réelle X est notée E(X) ou EX . Si X est discrète et vaut
xj avec la probabilité pj, pour j variant de 1 à k, alors
k
E(X ) = ∑ pj xj
j =1
M1_TD_sem_1_2.doc 1/4 C. Huber

2
Si X est continue et admet f comme densité de probabilité
EX = xf(x)dx
-
∞
+
∞
Changement d'origine et d'unité
E (aX + b) = a E(X ) + b .
Variance
Var (X ) = E [ (X-EX)2] = E(X2) - (EX)2
Ecart-type
σ (X) = Var(X)
Changement d'origine et d'unité
Var (aX + b) = a2 Var X
Variable centrée réduite associée à X : X* :
X - EX
X * = _______
σ (X)
Alors : E(X* ) = 0 et Var (X* ) = 1.
Définition d'un échantillon : Soit X1, X2, ..., Xn des variables indépendantes et de même loi . On dit
que (X1,..., Xn ) est un échantillon de taille n ou un n - échantillon de la variable X1 .
Xn=X1+ ... + X
n
n
est appelée moyenne de l'échantillon. ou moyenne empirique. Si E(X1) = µ et var(X1) = σ2 , alors
E (
X
n
)=1
n
n
∑
i=1
E(X
i)=
µ
V a r (
Xn)= 1
n2
n
∑
i=1
Var (Xi)=
σ
2
n
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Exercices
1. Chasse au canard
Trois chasseurs tirent sur un canard. Chacun a la probabilité 1/3 de l'atteindre et ils sont indépendants. Quelle
est la probabilité que le canard soit atteint ?
2. Pari
M1_TD_sem_1_2.doc 2/4 C. Huber

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Une urne est pleine de billes de bois (B) ou de verre (V) de couleur rouge (R) ou noire (N). Les 2/3 des billes
sont rouges, le reste noir. La moitié des billes rouges sont en bois, ainsi que le quart des noires. Vous devez
plonger la main dans l'urne et parier sur la couleur. Que faites vous?
3 Américanisme
Les Anglais et les Américains orthographient le mot rigueur , respectivement rigour et rigor. Un homme
ayant pris une chambre dans un hôtel parisien a écrit ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard
dans ce mot, c''est une voyelle. Or 40% des anglophones de l'hôtel sont des Anglais et 60% des Américains.
Quelle est la probabilité que l'auteur du mot soit anglais ?
4. Alcootest :
Un laboratoire a mis au point un alcootest et décide d'en vérifier la crédibilité . Les résultats obtenus sont les
suivants :
- 2% des personnes contrôlées par la police sont effectivement en état d'ébriété.
- 95 fois sur 100 l'alcootest s'est révélé positif alors que la personne était réellement en état d'ébriété.
- 5 fois sur 100, l'alcootest s'est révélé positif, alors que la personne n'était pas en état d'ébriété.
a) Quelle est la probabilité que l'alcootest donne une indication correcte ?
b) Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest est positif ?
5. Au café
Cinq filles et cinq garçons s'assoient le long du comptoir d'un café sur les dix tabourets situés côte à côte. On
suppose qu'ils se placent au hasard. Quelle est la probabilité qu'ils se trouvent ainsi placés :
a) toutes les filles côte à côte ?
b)parfaitement alternés ?
On distinguera deux cas :
1) Un comptoir en long (ou formant éventuellement un coin).
2) Un comptoir circulaire.
6. Espérance et espérance conditionnelle
On lance deux dés équilibrés. Quelle est l'espérance (autrement dit la moyenne) de la somme des deux
nombres montrés par les deux dés ? Quelle est la fonction de répartition correspondante ? Mêmes questions
sachant que l'un au moins des deux dés montre un 6. Cette deuxième espérance est appelée une espérance
conditionnelle; de même, cette deuxième f.r. est appelée fonction de répartition conditionnelle.
Facultatifs :
7. Enquête
On a utilisé la méthode suivante pour estimer le nombre des personnes de plus de 50 ans dans une ville
dont la population s'élève à 100 000 âmes. Elle consiste, pour l'expérimentateur, à enregistrer le pourcentage des
gens de plus de 50 ans, lors de ses déplacements dans la rue. L'expérience s'étend sur quelques jours. Discuter
cette méthode. Vous paraît elle convenable ?
A titre d'indication, on notera p la vraie proportion des gens de plus de 50 ans dans cette ville, q1 la
proportion du temps qu'une personne de 50 ans ou plus passe dans la rue et q2 le même paramètre pour les
moins de 50 ans. Quelle est la grandeur que la méthode employée estime en réalité ? Cette estimation convient
elle pour p ? D'autres éléments pourraient ils entrer en jeu ?
8. Particules (BOLTZMAN , BOSE-EINSTEIN et FERMI-DIRAC )
I On considère n particules identiques supposés discernables en physique classique. C'est à dire qu'on peut les
numéroter, puis, au moins en principe, suivre la trajectoire de chacune d'elles. Supposons que les particules
puissent être réparties entre k états physiques distincts, le nombre de particules dans chacun des états
pouvant être quelconque. C'est l'hypothèse de la statistique de Boltzman.
a) Combien y a-til de répartitions possibles ?
b) Combien y a-t-il de répartitions possibles telles qu'il yait n1 particules dans l'état 1, n2 particules dans
l'état 2, .., nk particules dans l'état k ?
II En mécanique quantique, les particules sont indiscernables. C'est la statistique de Bose-Einstein.
Reprendre alors les questions précédentes.
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III On suppose maintenant que k ≥ n et qu'il ne peut pas y avoir plus d'une particule dans chacun des états.
C'est la statistique de Fermi-Dirac. Reprendre les questions dans ces conditions.
(On commencera par supposer les particules distinguables, puis indistinguables).
c) En supposant les particules réparties 'au hasard 'dans les k états, dire, dans chacune des conditions
précédentes si les différentes répartitions possibles sont équiprobables.
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