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Les figures
isométriques
Rappel
1) Les transformations du plan :
1. Symétrie orthogonale :
Définition : 𝑆𝑑 (𝐴) = 𝐴′ ⟺ 𝑑 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 [𝐴𝐴′ ]
Élément caractéristique : une droite qui est l’axe de la symétrie
Point fixe : Si P ∊ d alors 𝑆𝑑 (𝑃) = 𝑃 ⇒tout point de l’axe de symétrie est un point
fixe
2. Symétrie centrale :
Définition : 𝑆𝐶 (𝐴) = 𝐴′ ⟺ 𝐶 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑒 [𝐴𝐴′ ]
Élément caractéristique : un point qui est centre de la symétrie
Point fixe : 𝑆𝐶 (𝐶) = 𝐶 ⇒ le centre est le seul point fixe de 𝑆𝐶
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3. Translation :
Définition : 𝑡→ (𝐴) = 𝐴′ ⇔ 𝐴𝐴′ ∥ 𝑋𝑌 𝑒𝑡 [𝐴𝐴′ , [𝑋𝑌 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑒𝑡 |𝐴𝐴′ | = |𝑋𝑌|
𝑋𝑌
Élément caractéristique : un segment orienté qui est vecteur de la translation
Point fixe : si X ≠ Y aucun et si X = Y tous les points du plan
4. Rotation :
Définition : 𝑅0,+µ (𝐴) = 𝐴′ ⇔ |𝑂𝐴| = |𝑂𝐴′ | 𝑒𝑡 𝐴Ô𝐴′ 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑒𝑡 |𝐴Ô𝐴′ | = µ
Élément caractéristique : un point qui est centre et un angle orienté
Point fixe : si µ = 0 ou k.360° tous les points du plan sinon seul le centre
2) Les caractéristiques communes aux transformations :
Par une symétrie
, par une symétrie
translation et une
, l’image :
 D’une droite est
 D’un segment est
 D’un angle est
 De 2 droites parallèles sont
 De 2 droites perpendiculaires sont
 De l’intersection de 2 droites est
 Du milieu d’un segment est
 D’une figure est
, par une
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3) Composées de transformation :
1. Construis l’image de ABC par 𝑆𝐶 puis par 𝑆𝐵𝐶 :
 Quelle est la transformation que tu obtiens ?
2. Construis l'image de ABC par 𝑅𝐶,150° suivie de 𝑆𝑂 :
 Quelle est la transformation que tu obtiens ?
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3. Construis l'image de ABC par 𝑡𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ suivie de 𝑅𝐵′ ,−75° :
 Quelle est la transformation que tu obtiens ?
Attention, dans le cas d’une rotation, le sens positif de la rotation est le sens horlogique, et
le sens négatif est le sens anti-horlogique !
4) Propriétés :





Les transformations du plan conservent les longueurs
Les transformations du plan conservent l’amplitude des angles
Les transformations du plan conservent les distances
Les transformations du plan conservent le parallélisme
Les transformations du plan conservent les formes
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Les figures isométriques
Dans les composées de transformation, on remarque que le triangle ABC a toujours une
image
, on peut donc dire qu’il y a toujours une transformation du plan qui applique
un objet sur son image
On peut dire que |AB| =
Et que |Â| =
Donc ABC et
ayant les côtés homologues de même longueur et les angles
homologues de même amplitude, sont parfaitement superposables. C’est ce qu’on appelle
des figures isométriques.
Les figures isométriques ont des côtés et des angles homologues équivalents. D’ailleurs,
iso veut dire égal et métrie veut dire mesure.
Elles sont l’image l’une de l’autre par une isométrie ou une suite d’isométrie.
Une transformation isométrique est le déplacement d’une figure qui ne modifie pas la
mesure de ses côtés et de ses angles.
Les isométries conservent :
-
l'alignement des points : l'image d'une droite est une droite
la longueur des segments
l'amplitude des angles
le parallélisme : l'image de 2 droites parallèles est 2 droites parallèles
la perpendicularité : l'image de 2 droites perpendiculaires sont 2 droites
perpendiculaires
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Cas d’isométrie des triangles
1) Activité de recherche :
Cherchons l'image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d'axe d suivie d'une
symétrie centrale de centre X. Notons l'image finale A'B'C'.
.X
Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont les côtés homologues de même longueur et
les angles homologues de même amplitude
Si ABC iso A’B’C’ alors
|AB| = |
|
|BC| = |
|AC| = |
et
|Â|=|
|
|
| 𝐵̂ | = |
|
|
| 𝐶̂ | = |
|
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2) Cas
-
-
:
Le triangle ABC est isométrique au triangle MNP
Conclusion ;
Si deux triangles ont
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3) Cas
-
-
:
Le triangle ABC est isométrique au triangle MNP
Conclusion :
Si deux triangles ont
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4) Cas
-
-
:
Le triangle ABC est isométrique au triangle MNP
Conclusion :
Si deux triangles ont
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Exercices
Exercices de construction :
1. Construis un triangle dont un côté mesure 4 cm et est bordé par un angle de 45° et
par un angle de 60°.
2. Construis un triangle dont un angle vaut 40° et est bordé par 2 côtés qui mesurent
respectivement 3 cm et 4 cm.
3. Construis un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3 cm, 4 cm et 5 cm.
4. Construis un parallélogramme dont les côtés mesurent respectivement 4 cm et 5 cm
et dont la diagonale mesure 7 cm.
5. Construis un triangle rectangle isocèle dont un côté de l'angle droit mesure 3 cm.
6. Construis un triangle équilatéral de 4,5 cm de côté.
7. Construis un losange de 5 cm de côté et dont une diagonale mesure 8 cm.
Exercices de démonstration :
1. Voici ABC et DMF, deux triangles isométriques. Trace la médiane [AT] dans le triangle
ABC et la médiane [DP] dans le triangle DMF. Démontre que les médianes ont la
même longueur.
2. Dans le triangle BAC isocèle de sommet principal A, trace les hauteurs [BF] et [CE].
Démontre que [BF] et [CE] ont la même longueur
3. Tracer un parallélogramme ABCD de centre O. Justifier que les triangles AOB et DOC
sont isométriques de plusieurs façons.
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