variables aleatoires
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variables aléatoires
Table des matières
1
q.c.m préliminaire
1.1 énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
généralités sur les variables aléatoires
2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 activité 1 . . . . . . . . . .
2.1.2 activité 2 . . . . . . . . . .
2.2 corrigés activités . . . . . . . . . .
2.2.1 corrigé activité 1 . . . . .
2.2.2 corrigé activité 2 . . . . .
2.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . .
2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . .
3
3
5
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6
6
6
7
8
8
10
11
12
13
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16
16
16
16
17
18
18
19
20
21
22
23
4
devoirs maison
4.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
26
28
5
tp
5.1
5.2
5.3
5.4
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30
31
33
35
37
6
évaluations
6.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
42
7
exercices bac et autres
49
3
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répétition d’expériences identiques et indépendantes
3.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . . . . . .
3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tp1 . . . . .
corrigé tp1 .
tp2 . . . . .
corrigé tp2 .
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1
1.1
q.c.m préliminaire
énoncé
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3*9%$(
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'$
$'*
* * * *
1.2
réponses
question
résultat
1
2
1
p(1) =
6
1
p(2) =
6
1
p(pile) =
2
3
4
p(P air) = p(2) + p(4) + p(6) = 0, 68
4
32
8
p(Coeur) =
32
5
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
p(Roi et coeur) =
1
32
4
8
1
11
+
−
=
32 32 32
32
4
32
4
28
p(Roi) = 1 −
=
−
=
32
32 32
32
17
p(F ille) =
32
25
p(Droitier) =
30
15
p(F illeetDroitier) =
30
27
17 25 15
+
−
=
p(F illeouDroitier) =
30 30 30
30
2
pGaucher (F ille) =
5
2
pF ille (Gaucher) =
17
4
p(2 vertes) =
9
1
p(2 rouges) =
9
2
p(2 vertes) =
6
p(Roi ou coeur) =
19
p(2 rouges) = 0
20
p(2 six) =
1
36
V1
V1
V2
arbre 2
R1
V1
V1
V1
V2
R1
V1
V2
R1
nombre de
nombre
nombre de
nombre
nombre de
nombre
cas f avorables
de cas total
cas f avorables
de cas total
cas f avorables
de cas total
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
p(A = 1 − p(A)
nombre de
nombre
nombre de
nombre
nombre de
nombre
R1
V2
cas f avorables
de cas total
cas f avorables
de cas total
cas f avorables
de cas total
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
nombre de cas f avorables
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
arbre1 et
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
arbre1 et
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
arbre2 et
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
arbre2 et
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
arbre3 et
nombre de cas total
1
2
3
4
5
6
V2
R1
V2
R1
V1
R1
somme des probabilités des cas f avorables
arbre 3
arbre 1
V2
p(Roi) =
6
8
méthode
nombre de cas f avorables
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
nombre de cas total
nombre de cas f avorables
nombre de cas total
1
2
3
4
5
6
b
b
b
2
généralités sur les variables aléatoires
2.1
2.1.1
activités
10
activité 1
0
1
activité : (notion de variable aléatoire)
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euros
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2. déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
(consigner les résultats dans un tableau)
3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)
X
4. déterminer E(X) l’espérance de X donnée par : E(X) =
p i xi
où les xi sont les valeurs possibles pour X et pi les probabilités respectivement associées.
interpréter cette valeur.
5. déterminer
type σ(X) de X donnés par :
X la variance V (X) et l’écart p
et
σ(X) = V (X)
V (X) =
pi x2i − E(X)2
6. le jeu est à gain positif si E(X) > 0, qu’en est-il de ce jeu ? est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ?
7. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
2.1.2
activité 2
activité : loi de probabilité
un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées
de 1 à 4.
A chaque résultat on associe la somme X des deux scores.
Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.
Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.
Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau. (on pourra s’aider d’un arbre, ou d’un tableau
double entrée pour répertorier tous les cas possibles)
(c) répondre à la question ci dessus
(d) calculer l’espérance de X
2.2
corrigés activités
2.2.1
10
corrigé activité 1
0
1
corrigé activité : (notion de variable aléatoire)
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0
posons
:
R = rapport du jeu , C = coût du jeu et X = R − C = gain du jeu
10
5
1. valeurs possible pour R :
1
0
10 − 2 = 8
5−2=3
valeurs possible pour X :
soit : X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
1 − 2 = −1
0 − 2 = −2
2. valeurs des probabilités associées aux valeurs de X :
1
nb cas f avorables
p(X = 8) = p(R = 10) =
=
10
cas total
3
p(X = 3) = p(R = 5) = 10
2
p(X = −1) = p(R = 1) =
10
p(X = −2) = p(R = 0) = 4
10
le tableau de la loi de probabilité de X est :
valeurs possibles de X : xi
-2
-1
3
8
total
probabilités : pi
4
= 0, 4
10
2
= 0, 2
10
3
= 0, 3
10
1
= 0, 1
10
1
3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4
ou bien
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 1 − 0, 6 = 0, 4
4. E(X) =
X
p i xi
E(X) = 0, 4 × (−2) + 0, 2 × (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1 × 8 = 0, 7
ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. V (X) =
X
pi x2i − E(X)2
V (X) = 0, 4 × (−2)2 + 0, 2 × (−1)2 + 0, 3 × 32 + 0, 1 × 82 − 0, 72 = 10, 41
σ(X) =
p
σ(X) =
√
V (X)
10, 41 ≃ 3, 22
6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne
en moyenne 0,7 euros.
7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0
⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1 − 0, 1y = 0
⇐⇒ −y + 2, 7 = 0
⇐⇒ y = 2, 7
le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle
2.2.2
corrigé activité 2
corrigé activité : loi de probabilité
un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées
de 1 à 4.
A chaque résultat on associe la somme X des deux scores.
Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.
Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.
Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?
(a) ensemble des valeurs possibles pour X :
comme on répète deux fois la même expérience aléatoire, on utilise un arbre de dénombrement pour visualiser les résultats possibles
1 : X=2
2 : X=3
3 : X=4
4 :
X=5
1 : X=3
2
2 : X=4
3 :
X=5
4 :
X = 6 on a donc X ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
1 : X=4
3
2 :
X=5
3 :
X=6
4 :
X=7
1 :
X=5
4
2 :
X=6
3 :
X=7
4 :
X=8
(b) probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et résultats dans un tableau.
b
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
le tableau de la loi de probabilité de X est :
valeurs possibles de X : xi
2
3
4
5
6
7
8
total
probabilités : pi
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
7
1
16
16
=1
16
(c) répondre à la question ci dessus :
3
= 0, 1875 = 18, 75%
16
4
probabilité que Léa gagne : P (X = 5) =
= 0, 25 = 25%
16
donc Léa a plus de chances de gagner que Ael (25% > 18, 75%)
probabilité que Ael gagne : P (X = 4) =
(d) espérance de X :
E(X) =
E(X) =
X
p i xi
1
2
3
4
3
2
1
80
×2+
×3+
×4+
×5+
×6+
×7+
×8=
= 5 16
16
16
16
16
16
16
16
ceci signifie qu’en moyenne la somme des deux scores est de 5
2.3
a retenir
définition 1
Soit un univers de probabilité fini U = {w1 ; w2 ; ...; wn } (n ≥ 1)
sur lequel est défini une probabilité p
(chaque "résultat" wi a une probabilité p(wi ) de se produire)
Soit X une fonction qui à chaque élément wi de U associe un nombre réel xi
On dit que X est un variable aléatoire
r≤n
(réelle) qui prend r valeurs avec Pour tout xi avec 1 ≤ i ≤ r on pose p(xi ) = p(cas de U f avorables pour xi )
et on définit ainsi une loi de probabilité que l’on consigne en général dans un tableau.
valeurs possibles de X : xi
probabilités : pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xr
pr
total
1
exemple :
R
U
on lance une pièce de monnaie équilibrée
si on fait "pile" alors on gagne 1e
pile
si on fait "face" alors on perd 1 e
on a alors :
U = {pile; f ace}
face
soit X la fonction telle que :
X : pile 7−→ 1
et
X : f ace 7−→ −1
la loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci dessous
valeurs possibles de X : xi −1
1
total
probabilités : pi
0, 5 0, 5
1
1
-1
propriété 1
Soit X une variable aléatoire réelle de loi de probabilité donnée par le tableau suivant
valeurs possibles de X : xi
probabilités : pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xr
pr
total
1
(1) L’espérance (ou valeur moyenne) de X est le nombre réel noté E(X)
tel que : E(X) =
i=r
X
p i xi
i=1
(2) La variance de X est le nombre réel noté V (X)
tel que : V (X) =
i=r
X
i=1
pi x2i − (E(X))2 ou V (X) =
i=r
X
i=1
pi (xi − E(X))2
(3) l’écart type de X est le nombre réel noté σ(X)
tel que : σ(X) =
p
V (X)
Remarques :
(a) on a les mêmes formules qu’en statistiques pour la moyenne, la variance et l’écart type.
2.4
exercices
exercice 1 :
une question d’un Q.C.M. de sujetde bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne
la bonne réponse rapporte 1 point
réponse1 réponse2 réponse3
une mauvaise réponse enlève 0, 25 points
sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point
un candidat choisit de s’en remettre au hasard
on considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’il
ne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1)
Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question
1. (a) déterminer les valeurs possibles pour X
(b) déterminer la loi de probabilité de X (à consigner dans un tableau)
(c) déterminer E(X) et interpréter cette valeur
2. déterminer E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat
exercice 2 :
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de C = 3 e
le jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euros
on pose : gain = X = R − C
40
0
1
0
5
2
0
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2
5
0
2
2. déterminer la loi de probabilité de X
(consigner les résultats dans un tableau)
0
3. (a) déterminer p(X ≥ 3) et p(X < 3)
(b) quelle est la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer ?
(c) peut-on en déduire si le jeu est au bénéfice du joueur ou de l’organisateur ?
4. (a) déterminer E(X) et interpréter cette valeur
(b) ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ? (justifier)
(c) déterminer le prix de la partie pour que le jeu soit "équitable"
exercice 3 :
un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton"
le coût pour jouer est de C = 3e
on considère qu’à chaque impact, la bille a la même
probabilité de tomber à droite qu’à gauche
on considère que la bille va nécessairement se retrouver
dans une des 4 cases du bas
le jeu rapporte la somme R indiquée par la case
1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauche
déterminer le tableau de la loi de probabilité de X
(on pourra utiliser un arbre)
2. (a) soit Y ce que rapporte le jeu (Y = R)
compléter les correspondances ci dessous :
Y = 6 ⇐⇒ X = ...
Y = 1 ⇐⇒ X = ...
Y = 2 ⇐⇒ X = ...
Y = 5 ⇐⇒ X = ...
(b) déduire des résultats ci dessus le loi de probabilité de Y
(c) en déduire E(Y ) et interpréter le résultat
(d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ?
6e
1e
2e 5e
2.5
corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
une question d’un Q.C.M. de sujetde bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne
la bonne réponse rapporte 1 point
réponse1 réponse2 réponse3
une mauvaise réponse enlève 0, 25 points
sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point
un candidat choisit de s’en remettre au hasard
on considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’il
ne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1)
Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question
1. (a) X ∈ {−0, 25; 0; 1}
(b) loi de probabilité de X (tableau)
valeurs possibles de X : xi −0, 25
2
probabilités : pi
4
1 total
1
1
4
2
par exemple : p(X = −0, 25) = p(f aux) =
car deux réponses sont fausses parmi 4
4
choix possibles de l’élève ( 4 = 3 + 1, il ne pas oublier le cas où il ne répond pas)
0
1
4
P
1
1
2
(c) E(X) =
pi xi = × (−0, 25) + × 0 + × 1 = 0, 125
4
4
4
un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0, 125 points à la question
2. E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat
E(X) =
P
p i xi =
1
1
4
× (−0, 25) + × 0 + × 1 = 0 6
6
6
un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0 points à la question
corrigé exercice 2 :
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de C = 3 e
le jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euros
on pose : gain = X = R − C
40
1
2
5
0
2
1. ensemble
des valeurs
possibles pour X :
R ∈ {0; 1; 2; 5; 40}
0
0
5
0
2
0
donc
X ∈ {−3; −2; −1; 2; 37}
2. loi de probabilité de X (tableau)
valeurs possibles de X : xi −3 −2
5
1
probabilités : pi
12 12
−1
3
12
2
2
12
1
3. (a) p(X ≥ 3) = p(X = 37) =
12 37
1
12
total
1
12
1
1
11
=
−
=
p(X < 3) = 1 − p(X ≥ −3) = 1 −
12
12 12
12 (b) la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer , c’est à dire p(R > 3)
2
1
3
est de p(R > 3) = p(R = 5) + p(R = 40) =
+
=
= 25% 12 12
12
(c) il semble alors que le jeu soit à l’avantage de l’organisateur, mais, pour le savoir il
faut calculer l’espérance du gain.
4. (a) E(X) =
P
p i xi =
1
3
2
1
21
5
× (−3) +
× (−2) +
× (−1) +
×2+
× 37 =
= 1, 75 e
12
12
12
12
12
12
(b) ce jeu est plus favorable au joueur car en moyenne le joueur gagne 1, 75 e
(c) le jeu soit "équitable" si E(X) = 0,
ce qui se produit si le prix de la partie est de 3 + 1, 75 = 4, 75 e
on peut retrouver cette valeur en résolvant l’équation suivante :
1
3
2
1
5
× (0 − x) +
× (1 − x) +
× (2 − x) +
× (5 − x) +
× (40 − x) = 0
12
12
12
12
12
57
−x=0
12
x=
57
= 4, 75
12
corrigé exercice 3 :
un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton"
le coût pour jouer est de C = 3e
on considère qu’à chaque impact, la bille a la même
probabilité de tomber à droite qu’à gauche
on considère que la bille va nécessairement se retrouver
dans une des 4 cases du bas
le jeu rapporte la somme R indiquée par la case
il y a 8 issues possibles
1
p(X = 3) =
8
3
p(X = 2) =
8
3
p(X = 1) =
8
1
p(X = 0) =
8
1e
2e 5e
X =0
6e
X =1
X ∈ {0; 1; 2; 3}
(pour déterminer les probabilités on utilise un arbre)
X =2
X =3
1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauche
déterminer le tableau de la loi de probabilité de X
G
X=3
G
X=2
G
G
G
X=2
G
G
X=1
G
X=2
G
X=1
G
X=1
G
d’où le tableau de loi de probabilité suivant
valeurs possibles de X : xi
probabilités : pi
0
1
8
1
3
8
2
3
8
3
1
8
total
G
1
G
G
2. (a) soit Y le rapport du jeu (Y = R)
on a donc ci dessous :
Y
Y
Y
Y
= 6 ⇐⇒ X
= 1 ⇐⇒ X
= 2 ⇐⇒ X
= 5 ⇐⇒ X
=3
=2
=1
=0
(b) d’où le tableau de loi de probabilité suivant pour Y
valeurs possibles de Y : yi 5 2 1 6 total
1 3 3 1
probabilités : pi
1
8 8 8 8
P
3
3
1
20
1
= 2, 5 e
(c) on a alors E(Y ) = pi yi = × 5 + × 2 + × 1 + × 6 =
8
8
8
8
8
ce qui signifie que le rapport moyen est de 2, 5 e
(d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ? : 2, 5 e
X=0
3
répétition d’expériences identiques et indépendantes
3.1
3.1.1
activités
activité 1
Une étude statistique a montré que, dans un petit centre hospitalier, pour chaque journée :
la probabilité d’avoir deux urgences est de 20%
la probabilité d’avoir une urgence est de 70%
la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10%
un médecin est de service aux urgences pendant deux jours,
on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant son
remplacement de deux jours
on suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes
1. compléter l’arbre pondéré suivant
b
...
deux
b
×0, 2
...
b
une : X = ...
b
aucune : X = ...
...
deux : X = ...
b
...
b
une
...
b
...
b
une : X = ...
b
aucune : X = ...
...
...
deux : X = ...
b
...
aucune ...
deux : X = ...
b
une : X = ...
b
aucune : X = ...
b
...
2. en déduire les valeurs possibles pour X
3. justifier que p(X = 3) = 0, 28
4. déterminer en détaillant les calculs les probabilités p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2), p(X = 4)
5. en déduire la loi de probabilité de X (donner un tableau)
6. déterminer la probabilité qu’il traite au moins une urgence
7. donner le nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin (arrondir à
l’entier le plus proche)
3.1.2
activité 2
on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D
on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers
1. donner les valeurs possible pour X
2. construire un arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de X
3. déterminer p(X ≥ 1) et interpréter le résultat
4. déterminer E(X) et interpréter le résultat
5. montrer que pour n lancers on a p(X ≥ 1) = 1 − 0, 75n
et en déduire le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au
moins une fois la lettre A soit d’au moins 99%
3.1.3
activité 3
un certain Q.C.M. comporte uniquement deux questions
– une bonne réponse rapporte 1 point
– une mauvaise réponse enlève 1 point
– une question laissée sans réponse n’enlève ni n’ajoute aucun point
pour un certain élève E :
– E trouve la bonne réponse (BR) dans 80% des cas
– E se trompe (F ) dans 15% des cas
– E ne répond pas (SR) pour le reste des cas
on considère que les réponses proposées par E sont indépendantes
soit X le nombre de points obtenu suite aux deux questions
1. compléter l’arbre pondéré ci dessous
BR :
X = ...
b
SR :
X = ...
b
F :
b
...
BR
b
×0, 8
...
...
BR :
X = ...
b
SR :
X = ...
b
F :
b
...
b
...
SR
b
X = ...
...
...
...
BR :
X = ...
b
SR :
X = ...
b
F :
b
...
F
b
X = ...
...
...
X = ...
2. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
3. déterminer la loi de probabilité de X
4. quelle est la probabilité que E obtienne au moins un point ?
5. combien de points peut espérer avoir un élève comme E ?
3.2
3.2.1
corrigés activités
corrigé activité 1
la probabilité d’avoir deux urgences est de 20%
la probabilité d’avoir une urgence est de 70%
la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10%
un médecin est de service aux urgences pendant deux jours,
on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant son
remplacement de deux jours
on suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes
1. arbre pondéré :
×0, 2
deux : X = 2 + 2 = 4
b
deux ×0, 7
b
une : X = 2 + 1 = 3
b
aucune : X = 2 + 0 = 2
b
×0, 2
×0, 1
×0, 2
b
deux : X = 3
b
×0, 7 une ×0, 7
b
une : X = 2
b
aucune : X = 1
b
×0, 1
×0, 2
×0, 1
deux : X = 2
b
aucune×0, 7
b
une : X = 1
b
aucune : X = 0
b
2. X ∈ {0; 1; 2; 3; 4}
×0, 1
3. p(X = 3) = p(deux et une) + p(une et deux) = 0, 2 × 0, 7 + 0, 7 × 0, 2 = 0, 14 + 0, 14 = 0, 28
4. p(X = 0) = p(aucune et aucune) = 0, 1 × 0, 1 = 0, 01
p(X = 1) = 0, 7 × 0, 1 + 0, 1 × 0, 7 = 0, 14
p(X = 2) = p(deux et aucune) + p(une et une) +p(aucune
et deux)
p(X = 2) = 0, 2 × 0, 1 + 0, 7 × 0, 7 + 0, 1 × 0, 2 = 0, 53
p(X = 4) = p(deux et deux) = 0, 2 × 0, 2 = 0, 04
5. on en déduit la loi de probabilité de X (tableau)
valeurs possibles de X : xi
0
1
2
3
probabilités : pi
0, 01
0, 14
0, 53
0, 28
4
total
0, 04
1
6. probabilité qu’il traite au moins une urgence
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 01 = 0, 99
ou bien
p(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) = 0, 14 + 0, 53 + 0, 28 + 0, 04 = 0, 99
7. nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin
(arrondir à l’entier le plus proche)
E(X) =
P
pi xi = 0, 01 × 1 + 0, 14 × 1 + 0, 53 × 2 + 0, 28 × 3 + 0, 04 × 4 = 2, 2 soit 2 urgences
3.2.2
corrigé activité 2
on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D
on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers
1. X ∈ {0; 1; 2; 3}
2. arbre pondéré et la loi de probabilité de X
0,25
A
X=3
: 0, 253
0,75 A
X=2
: 0, 252 × 0, 75
A
0,25
0,25
A
0,75
0,25
A
X=2
A
0,75 A
0,25
A
X=2
0,75 A
X =1
0,25
A
X=1
0,75 A
X=0
: 0, 25 × 0, 752
A
0,25
0,75
A
X=1
0,75
A
: 0, 753
p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42
p(X = 1) = 3 × 0, 251 × 0, 752 ≈ 0, 42
p(X = 2) = 3 × 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 14
p(X = 3) = 0, 253 ≈ 0, 02
3. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578
la probabilité d’avoir au moins une fois la face A est d’environs 58%
P
4. E(X)=
pi xi ≃ 0, 42 × 0 + 0, 42 × 1 + 0, 14 × 2 + 0, 02 × 3 ≃ 0, 75
soit 0, 75 fois la face A en moyenne
5. pour n lancers on a :
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n
le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois
la lettre A soit d’au moins 99% vérifie l’inéquation : 1 − 0, 75n ≥ 0, 99
on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17
valeur de n
16
17
valeur de 1 − 0, 75n 0, 989 0, 992
3.2.3
corrigé activité 3
1. arbre pondéré
b
BR :
X = 1+1 = 2
b
SR :
X =1+0=1
×0, 8
BR ×0, 15
b
×0, 8
×0, 05
×0, 8
b
F :
b
b
×0, 15 SR ×0, 15
b
b
×0, 05
F
b
×0, 15
×0, 05
2. X ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}
BR :
X=1
SR :
X=0
F :
×0, 05
b
×0, 8
X = 1 + (−1) = 0
b
b
b
X = −1
BR :
X=0
SR :
X = −1
F :
X = −2
3. loi de probabilité de X
p(X = 2) = p(BR ∩ BR) = 0, 8 × 0, 8 = 0, 64 = 64% p(X = 1) = p(BR ∩ SR) + p(SR ∩ BR) = 0, 8 × 0, 15 + 0, 15 × 0, 8 = 0, 12 + 0, 12 = 24% p(X = 0) = p(BR ∩ F ) + p(SR ∩ SR) + p(F ∩ BR)
p(X = 0) = 0, 8 × 0, 05 + 0, 15 × 0, 15 + 0, 05 × 0, 8 = 10, 25%
p(X = −1) = p(SR ∩ F ) + p(F ∩ SR) = 0, 15 × 0, 05 + 0, 05 × 0, 15 = 1, 5%
p(X = −2) = p(F ∩ F ) = 0, 05 × 0, 05 = 0, 25%
valeurs possibles de X : xi
−2
−1
0
1
2
total
probabilités : pi
0, 0025
0, 015
0, 1025
0, 24
0, 64
1
4. probabilité que E obtienne au moins un point
p(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 24 + 0, 64 = 0, 88
5. nombre P
de points peut espérer avoir un élève comme E
E(X) =
pi xi = 0, 0025 × (−2) + 0, 015 × (−1) + 0, 1025 × 0 + 0, 24 × 1 + 0, 64 × 2 = 1, 5 points
3.3
à retenir
propriété 2
soit une expérience aléatoire E dont l’univers des résultats possibles est U = {x1 ; x2 ; x3 }
et où les événements x1 , x2 , x3 ont pour probabilités respectives p1 , p2 , p3 .
soit une expérience aléatoire F composée d’une succession de 2 répétitions
"identiques" et "indépendantes" de l’expériences aléatoires E.
l’ensemble des résultats possibles de F ainsi que les probabilités de chacun
des résultats possibles sont en correspondance avec un arbre pondéré comme ci dessous
x1
p(x1 ∩ x1 ) = p1 × p1
b
x2
p(x1 ∩ x2 ) = p1 × p2
b
x3
p(x1 ∩ x3 ) = p1 × p3
x1
p(x2 ∩ x1 ) = p2 × p1
b
x2
p(x2 ∩ x2 ) = p2 × p2
b
x3
p(x2 ∩ x3 ) = p2 × p3
x1
p(x3 ∩ x1 ) = p3 × p1
b
x2
p(x3 ∩ x2 ) = p3 × p2
b
x3
p(x3 ∩ x3 ) = p3 × p3
×p1
x1
b
×p1
×p2
b
×p3
×p1
b
x2
×p2
b
×p2
b
×p3
×p1
×p3
x3
b
×p2
×p3
b
1. la somme des probabilités des branches qui partent d’un noeud vaut p1 + p2 + p3 = 1
2. la probabilité d’un des événements x1 ∩ x1 , x1 ∩ x2 , ..., x3 ∩ x3 , est égale
au produit des probabilités des branches suivies pour arriver à cet événement
p(x1 ∩ x1 ) = p1 × p1 , ... , p(x3 ∩ x3 ) = p3 × p3
remarques :
i. on généralise cette propriété au cas où on répète avec indépendance, un nombre fini
quelconque de fois la même expérience aléatoire ayant un nombre fini de résultats
ii. "indépendantes" signifie intuitivement que le résultat d’une quelconque des expériences aléatoire n’a aucune influence sur les résultats des autres expériences
iii. on généralise cette propriété au cas d’une succession d’expériences aléatoires non
identiques et indépendantes ayant chacune un nombre fini de résultats possibles
exemple :
on lance deux fois une pièce de monnaie non équilibrée avec indépendance
P
×0, 8
×0, 8
b
b
×0, 2
b
F
×0, 2
P
p(P ∩ P ) = 0, 8 × 0, 8 = 0, 64
F
p(P ∩ F ) = 0, 8 × 0, 2 = 0, 16
P
p(F ∩ P ) = 0, 2 × 0, 8 = 0, 16
F
p(F ∩ F ) = 0, 2 × 0, 2 = 0, 04
b
×0, 8
b
b
×0, 2
b
3.4
exercices
exercice 4 :
un comité d’entreprise choisit le train comme moyen de transport pour les employés inscrits
à un voyage, deux formules sont proposées :
• la formule no 1 : voyage en 1ère classe plus hôtel pour un coût total de 150 e ;
• la formule no 2 : voyage en 2e classe plus hôtel pour un coût total de 100 e.
40 % des employés inscrits choisissent la formule no 1. Le comité d’entreprise propose une
excursion facultative pour un coût de 30 e.
80 % des employés ayant choisit la formule no 1 choisissent l’excursion facultative, de même
pour ceux ayant choisit la formule no 2.
On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note :
• U l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 1 » ;
• D l’ évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 2 » ;
• E l’ évènement : « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ».
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
2. Montrer que la probabilité que l’employé inscrit choisisse la formule no 2 et l’excursion
facultative est égale à 0, 48.
3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).
(a) Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C.
(b) Déterminer la loi de probabilité de C.
(c) Calculer l’espérance de cette loi. Interpréter le résultat.
4. au retour du voyage, un robot envoie au hasard un courriel à l’un des employés pour lui
demander s’il est satisfait du voyage, puis le robot recommence une deuxième fois (on
peut retomber sur le même employé )
Soit X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1
(a) quelle est la probabilité que l’on soit tombé deux fois sur un employé qui a choisit la
formule no 1 ? (construire un arbre)
(b) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a
choisit la formule no 2 ?
(c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a
choisit la formule no 2 ? si on a envoyé 3 courriels ?
(d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employé
qui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ?
exercice 5 :
une urne contient 8 billes vertes et x rouges
on tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise,
on considère que les tirages sont indépendants
1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes
(a) si x = 2
(b) si x = 32
2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirage
ci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ?
3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilité
d’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilité
3.5
corrigés exercices
corrigé exercice 4 :
1. arbre de probabilités
U
×0, 4
×0, 8
b
E
C = 150 + 30 = 180 e
E
C = 150 + 0 = 150e
E
C = 100 + 30 = 130e
E
C = 100 + 0 = 100e
b
b
×0, 2
b
D
×0, 6
×0, 8
b
b
b
×0, 2
2. p(D ∩ E) = 0, 6 × 0, 8 = 0, 48
3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).
(a) C ∈ {100; 130; 150; 180}
(b) loi de probabilité de C
valeurs possibles de C : xi
probabilités : pi
100
130
150
180
total
0, 6 × 0, 2 = 0, 12
0, 48
0, 08
0, 4 × 0, 8 = 0, 32
1
(c) espérance de cette loi et interprétation
P
E(X) =
pi xi = 0, 12 × 100 + 0, 48 × 130 + 0, 08 × 150 + 0, 32 × 180 = 144 e le coût moyen du voyage est de 144 e
4. X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1
(a) p(X = 2) = 0, 4 × 0, 4 = 0, 16
U
×0, 4
×0, 4
b
b
×0, 8
b
D
×0, 6
U
X=2
D
X=1
U
X=1
D
X=0
b
×0, 4
b
b
(b) p(X < 2) = 1 − p(X = 2) = 1 − 0, 16 = 0, 84
×0, 8
b
(c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a
choisit la formule no 2 pour 3 courriels envoyés ?
trois fois sur la formule no 1 : p(X = 3) = 0, 43 = 0, 064
au moins une fois sur la formule no 2 :p(X < 3) = 1 − 0, 43 = 0, 936
(d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employé
qui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ?
n fois sur la formule no 1 : p(X = n) = 0, 4n
au moins une fois sur la formule no 2 : p(X < n) = 1 − 0, 4n
il reste à résoudre l’inéquation : 1 − 0, 4n ≥ 0, 99
on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 6
valeur de n
5
6
n
valeur de 1 − 0, 4
≃ 0, 989 ≃ 0, 995
corrigé exercice 5 :
une urne contient 8 billes vertes et x rouges
on tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise,
on considère que les tirages sont indépendants
1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes
×
8
8+x
×
x
8+x
×
8
8+x
×
x
8+x
V
b
8
V
×
8+x
b
R
b
b
×
x
8+x
b
V
R
(a) si x = 2 :
p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) =
(b) si x = 32 :
p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) =
b
b
R
8
2
2
8
×
+
×
= 0, 32
8+2 8+2 8+2 8+2
32
32
8
8
×
+
×
= 0, 32
8 + 32 8 + 32 8 + 32 8 + 32
2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirage
ci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ?
il suffit de résoudre l’équation :
p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) =
8
x
x
8
16x
×
+
×
=
= 0, 75
8+x 8+x 8+x 8+x
(8 + x)2
⇐⇒ 0, 75(8 + x)2 = 16x
⇐⇒ 0, 75(64 + 16x + x2 ) = 16x
⇐⇒ 48 + 12x + 0, 75x2 = 16x
⇐⇒ 0, 75x2 − 4x + 48 = 0
∆ = (−4)2 − 4 × 0, 75 × 48 = −128 < 0
cette équation n’a pas de solution dans R donc il est impossible d’obtenir une probabilité de 75%
3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilité
d’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilité
on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que x = 8 et p = 0, 5
valeur de x
7
8
9
16x
valeur de
≃ 0, 49 0, 5 ≃ 0, 49
(8 + x)2
4
4.1
devoirs maison
devoir maison 1
Exercice 1 : (13p186)
une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte
(a) on effectue un tirage au hasard d’une des billes avec équiprobabilité,
calculer les probabilités suivantes p(J), p(R), p(V ) et p(B)
(probabilités respectives de tomber sur une bille, jaune, rouge, verte, bleue)
(b) une verte rapporte 10 points
une bleue rapporte 2points
une rouge ou une jaune rapportent 3 points
soit X le nombre de points obtenus suite au tirage au hasard
déterminer la loi de X
(c) déterminer les probabilités suivantes
i. p(X ≥ 3)
ii. p(X < 5)
(d) déterminer E(X) et donner une interprétation
Exercice 2 : (19p187)
on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée
on gagne :
10 e si trois "face" apparaissent
7 e si deux "face" apparaissent
3 e si un "face" apparaît
on perd :
30 e s’il n’y a que des piles
X est le gain consécutif aux trois lancers
(a) déterminer la loi de X
(b) ce jeu est-il équitable (E(X) = 0) ? est-il favorable ou défavorable au joueur ?
Exercice 3 : (46p193)
le service de dépannage d’un magasin de matériel informatique dispose d’une équipe de
conseillers prêts à dépanner les clients qui les appellent au téléphone
lorsque tous les conseillés sont occupés, l’appel est mis en attente
on admet que les appels sont indépendants les uns des autres et que la probabilité d’attente pour un appel est de 0, 25
un client appelle le service à quatre reprises
soit X le nombre de fois où il doit attendre
on note R l’événement : "l’appel est mis en attente"
(a) déterminer la loi de probabilité de X
(b) calculer E(X)
(c) calculer la probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente
(d) combien d’appels faut-il faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ?
interpréter ce résultat
4.2
corrigé devoir maison 1
Exercice 1 : (13p186)
une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte
2
3
1
3
1
1
p(R) = =
p(V ) =
(a) p(J) =
et p(B) = =
9
9
3
9
9
3
(b) loi de X
valeurs possibles de X : xi
2
3
9
probabilités : pi
3
2 3
5
+ =
9 9
9
total
10
1
9
1
(c) probabilités
6
5 1
2
i. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 10) = + = =
9 9
9
3 3 5
8
ii. p(X < 5) = p(X = 2) + p(X = 3) = + =
9 9
9 3
5
1
31
31
(d) E(X) =
pi xi = × 2 + × 3 + × 10 =
=
points
9
9
9
9
9
31
ce qui signifie que le gain moyen pour ce jeu est de
points
9
P
Exercice 2 : (19p187)
on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée
×0, 5
×0, 5
×0, 5
F
X = 10
F
×0, 5
F
F
×0, 5
×0, 5
F
(a) loi de X
xi
−30
pi
0, 53 = 0, 125
(b) E(X) =
P
X=3 e
F
X=7 e
F
X=3 e
F
×0, 5
F
×0, 5
×0, 5
e
X=7 e
F
×0, 5
×0, 5
X=7
F
×0, 5
×0, 5
e
F
X = 3e
F
×0, 5 F
X = −30 e
3
7
10
total
3 × 0, 5 × 0, 52 = 0, 375
3 × 0, 52 × 0, 5 = 0, 375
0, 53 = 0, 125
1
pi xi = 0, 125 × (−30) + 0, 375 × 3 + 0, 375 × 7 + 0, 125 × 10 = 1, 25 e
ce qui signifie que le gain moyen pour ce jeu est de 1, 25 e
ce jeu n’est pas équitable car E(X) 6= 0, de plus, il est favorable au joueur car E(x) > 0
Exercice 3 : (46p193)
0, 25
R
b
0, 25
R
0, 25
b
R:X=4
b
R:X=3
b
R:X=3
b
R:X=2
b
R:X=3
b
R:X=2
b
R:X=2
b
R:X=1
b
R:X=3
b
R:X=2
b
R:X=2
b
R:X=1
b
R:X=2
b
R:X=1
b
R:X=1
b
R:X=0
b
0, 75
R
0, 75
0, 25
b
R
b
0, 75
0, 25
0, 25
R
b
R
0, 75
0, 25
b
0, 75
R
0, 75
0, 25
b
b
0, 75
0, 25
R
b
0, 25
R
0, 75
0, 25
b
0, 75
R
0, 75
0, 25
b
R
b
0, 25
0, 75
R
b
R
0, 75
0, 25
b
0, 75
R
0, 75
0, 25
b
0, 75
(a) loi de probabilité de X
xi
0
1
4
p(X = xi ) 0, 75
4 × 0, 25 × 0, 753
≃ 0, 31
≃ 0, 42
(b) E(X) =
P
2
6 × 0, 252 × 0, 752
≃ 0, 21
3
4 × 0, 253 × 0, 75
≃ 0, 046
4
0, 254
≃ 0, 0039
Total
pi xi = 1 (c) probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente :
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) ≃ 1 − 0, 31 ≃ 0, 69
(d) nombre d’appels qu’il faut faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ?
soit n le nombre d’appels à faire, n vérifie l’inéquation : 1 − 0, 75n ≥ 0, 99
car p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n
on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17
valeur de n
16
17
n
valeur de 1 − 0, 75
≃ 0, 989 ≃ 0, 992
interprétation :
il faut donc au moins 17 appels pour que la probabilité d’attendre au moins une fois
soit d’au moins 99%
1
4.3
corrigé devoir maison 2
exercice 1 : (50p194)
voici le bilan des interventions des pompiers dans une ville de France pour une année
nature de l’intervention incendie accident de circulation secours à victime autres
proportion
8%
7%
59%
26%
on choisit au hasard deux interventions, ce choix est assimilé à un tirage avec remise pour
X = nombre d’interventions sur les 2 liées à des incendies
I
×0, 08
×0, 08
b
I :X =2
b
I :X =1
b
I :X =1
b
I :X =0
b
×0, 92
b
I
×0, 08
b
×0, 92
×0, 92
1. la probabilité que les deux
soient liées à des incendies est :
interventions
p(X = 2) = 0, 08 × 0, 08 = 0, 0064
2. p(X = 1) = 0, 08 × 0, 92 × 2 = 0, 1472
− 0, 922
3. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1
= 0, 1536
exercice 2 : (63p196)
1. tableau :
```
```
```activité
participation `````
natation loisir
oui
20% × 30% = 6%
non
total
30% - 6% = 24%
30%
aquagym
1
× 20% = 5%
4
20% - 5% = 15%
20%
2. (a) p(competition ∩ oui) = 35% (b) p(non) = 54% est en effet plus de la moitié
3. poui (competition) =
4. (a)
S
probabilité
35%
≃ 0, 76 soit 76% 46%
60
39%
75
11%
100
15%
115
35%
p(60) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ non) = 24% + 35% = 39%
p(75) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ oui) = 6% + 5% = 11%
p(100) = p(competition ∩ non) = 15%
p(60) = p(competition ∩ oui) = 35%
5. E(S)= 0, 39 × 60 + 0, 11 × 75 + 0, 15 × 100 +
0, 35 × 115 = 86, 9
soit 86, 9 e en moyenne par adhérent
nat compétition
total
46% - 11% = 35%
46%
50% - 35% = 15%
100% - 50% = 50%
54%
100%
exercice 3 : (51 p 194)
1. la somme des probabilités vaut 1 donc a vérifie l’équation suivante :
35
5
21
9
2a =
−
−
=
35 35 35
35
1 3
+ + 2a = 1
7 5
9
9
1
a=
× =
35 2
70
3
9
9
78
1
×3+
×5=
2. E(X) = × 0 + × 2 +
7
5
70
70
35 3. E(X) = 0, 85 × (−2) + 0, 1 × 10 + 0, 04 × 15 + 0, 01 × 30 = 0, 2
l’espérance est positive donc le jeu est favorable pour le joueur
exercice 4 : (65 p 197)
1
n−1
1. p(R) =
p(B) =
n n 2. (a) arbre
×
×
1
n
1
n
b
R : X = 16
b
B : X = −5
R
b
×
b
n−1
n
×
1
n
R : X = −5
b
B
n−1
×
n
(b) loi de probabilité de X
X
−5
2(n − 1)
probabilité
n2
3. E(X) =
b
n−1
×
n
1
(n − 1)2
n2
b
B : X=1
16
1
n2
(n − 1)2
1
2(n − 1)
×
(−5)
+
× 1 + 2 × 16
2
2
n
n
n
−10(n − 1) + (n − 1)2 + 16
−10n + 10 + n2 − 2n + 1 + 16
n2 − 12n + 27
E(X) =
=
=
n2
n2
n2
4. le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0
n2 − 12n + 27
=0
n2
n2 − 12n + 27 = 0
∆ = (−12)2 − 4 × 2 × 27 = 36
∆ > 0 donc l’équation
admet deux solutions √
√
−(−12) − 36
−(−12) + 36
=9
et
n2 =
=3
n1 =
2×1
2×1
le jeu est équitable si et seulement si n = 9 car n ≥ 3
5. le jeu est favorable au joueur si et seulement si E(X) > 0
n
0
3
9
+∞
or
il faut donc n ≥ 9 (car n ≥ 4)
2
signe de n − 12n + 27
+ 0 - 0 +
5
tp
5.1
tp1
tp : loi de probabilité
nom, prénom : ...
buts :
– modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire
– utiliser un tableur
– conjecturer des résultats
– faire des démonstrations de certaines conjectures
situation :
on lance deux dés équilibrés à six faces
on s’intéresse à la somme X des deux scores obtenus
on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité
on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers
0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne
10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes
1. (a) que permet d’obtenir la formule =ENT(6*ALEA()+1) ? : ...
(b) écrire une formule qui donne un entier aléatoire compris entre 1 et 4 : ...
2.
3.
4.
5.
pour la somme : formule entrée en C2 : ...
pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : ...
pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : ...
(a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : ...
(b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : ...
6. formule entrée en E6 : ...
7. quelle semble être la somme la plus probable ? : ...
8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme ? : ...
9. compléter la dernière
PP
PP dé 1
1 2
PP
dé2
PP
P
1
2 3
2
3 4
3
4 5
4
5 6
5
6 7
6
ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessous
3
4
5
6
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
7
8
9
10
11
10. construire le tableau de loi de probabilité de X ci dessous
(avec les valeurs possibles de X ainsi que les probabilités associées)
11. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près
12. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec le
tableur ? (justifier)
5.2
corrigé tp1
corrigé tp : loi de probabilité
situation :
on lance deux dés équilibrés à six faces
on s’intéresse à la somme X des deux scores obtenus
on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité
on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers
0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne
10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes
1. (a) la formule =ENT(6*ALEA()+1)
permet d’obtenir un entier aléatoire compris entre 1 et 6
(b) formule qui donne un nombre aléatoire compris entre 1 et 4 : =ENT(4*ALEA()+1)
2. pour la somme : formule entrée en C2 : =A2 +B2 ou =somme(A2 :B2)
3. pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : =nb.si(C2 :C1001 ;E3)
4. pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : =nb.si($C2 :$C1001 ;E3)
5. (a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : =E4/P4
(b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : =E4/$P4
6. formule entrée en E6 : =E4*E3
7. quelle semble être la somme la plus probable ? : 7
8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme ? : 7
9. compléter la dernière
PP
PP dé 1
1 2
PP
dé2
PP
P
1
2 3
2
3 4
3
4 5
4
5 6
5
6 7
6
7 8
ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessous
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
4
3
36
5
4
36
6
5
36
10. loi de probabilité de X
X : xi
p(X = xi ) = pi
2
1
36
3
2
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
Σ
1
11. valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près
E(X) =
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8+ ×9+ ×10+ ×11+ ×12 = 7
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
12. oui , le résultat ci dessus est en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec
le tableur car la valeur théorique trouvée est de 7 et celle trouvée dans la pratique avec
le tableur est proche de 7
5.3
tp2
tp : loi de probabilité
nom, prénom : ...
buts :
– modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire
– utiliser un tableur
– conjecturer des résultats
– faire des démonstrations de certaines conjectures
situation :
on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée
on s’intéresse au nombre de fois X où l’on a obtenu "pile"
on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité
on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers
0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne
10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) sous le nom "tp2 loi de probabilite" puis,
suivre les consignes ci dessous sachant que :
dans ce tp, "pile" sera remplacé par 1 et "face" par 0
1. entrer en A2 la formule =ENT(2*ALEA()) puis appuyer sur F9 plusieurs fois et observer
ce que l’on obtient. Que permet d’obtenir cette formule ? : ...
2. tirer cette formule jusqu’à C2
3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les trois lancers en utilisant
la formule =nb.si(plage de cellules ;critère)
formule entrée : D2 = ...
4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001
5. obtenez en G3 le nombre de fois où l’on a obtenu 0 fois le nombre 1 parmi les 1000 séries
de trois lancers en utilisant la formule =nb.si(plage de cellules ;critère)
formule entrée : G3 = ...
6. modifier la formule précédente et tirer jusqu’à J3
formule modifiée : J3 = ...
7. entrer la formule qu’il faut en K3,
K3 = ...
8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4, G4 = ...
obtenir le total en K4 avec la formule K4 = ...
9. en G5, la formule entrée est : G5 = ...
tirer cette formule jusqu’à J5 et obtenir le total
10. en G9, la formule entrée est : G9 = ...
11. en G10, la formule entrée est : G10 = ...
12. en G11, la formule entrée est : G11 = ...
13. quel semble être le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers ? :
...
14. donner un valeur approchée de l’espérance de X : ...
cette valeur :
et donner une interprétation de
15. construire un arbre correspondant à cette situation au verso de cette feuille en indiquant
les valeurs de X
16. construire le tableau de loi de probabilité de X (avec les valeurs possibles de X ainsi que
les probabilités associées)
17. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près
18. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec le
tableur ? (justifier)
5.4
corrigé tp2
tp : loi de probabilité
situation :
X = nombre de ’piles" si on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée
0. document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es)
1. =ENT(2*ALEA()) donne un nombre entier aléatoire égal à 0 ou 1 avec équiprobabilité 2. tirer cette formule jusqu’à C2
3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les
trois lancers en utilisant
la formule =nb.si(plage de cellules ;critère) formule entrée : D2 = N B.SI(A2 : C2, 1)
4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001
5. formule entrée : G3 = N B.SI(D2 : D1001, G2)
6. formule modifiée : J3 = N B.SI($D$2 : $D$1001, G2)
7. entrer la formule qu’il faut en K3,
K3 = SOM M E(G3 : J3)
8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4, G4 = G3/$K$3
obtenir le total en K4 avec la formule K3 = SOMME(G4 :J4)
9. en G5, la formule entrée est : G5 = =G4*G2)
10. en G9, la formule entrée est : G9 = K5 11. en G10, la formule entrée est : G10 = K6 − G92 12. en G11, la formule entrée est : G11 = G100.5 13. le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers : 1 ou 2 fois 14. E(X) = 1,5 soit 1,5 fois pile en moyenne pour 3 lancers
15. arbre correspondant à cette situation
P
X=3
P
X=2
P
16. loi de probabilité de X
valeurs possibles :xi 0
1
2
3
total
P
P
probabilités : pi
17. E(X) =
1
8
3×
3
8
3
8
X=2
P
1
8
1
P
X
p i xi
1
3
3
1
P
E(X) = × 0 + × 1 + × 2 + × 3 = 1, 5
8
8
8
8
18. le résultat ci dessus est en accord avec le résultat obtenu
expérimentalement avec le tableur car on trouve 1,5 pour les deux
X=1
P
X=2
P
X =1
P
X=1
P
P
P
X=0
6
6.1
évaluations
évaluation 1
nom et prénom : ...
évaluation probabilités et variables aléatoires
exercice 1 :
dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponse
rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporte
aucun point (un score négatif est ramené à 0)
1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,
2
1
p(2 points) =?
réponse C :
réponse A : 1 réponse B :
6
6
2. avec le dé suivant,
p(pair) =?
score
probabilités
réponse A : 0, 05
1
0, 1
2
0, 05
3
0, 2
réponse B : 0, 7
4
0, 03
5
0, 02
réponse D : 6
total
?
6
?
réponse C : 0, 68
réponse D :
3
6
3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)
dans lequel on choisit une carte au hasard
1
32
1
(a) p(coeur) =?
réponse B :
réponse C :
réponse D : 8
réponse A :
8
4
8
(b) p(roi ∩ coeur) =?
réponse A :
1
32
réponse B :
12
32
réponse C :
11
32
réponse D : 11
(c) p(roi ∪ coeur) =?
réponse A :
1
32
réponse B :
12
32
réponse C :
11
32
réponse D : 11
(d) p(Roi) =?
réponse A :
4
32
réponse B :
32
28
réponse C : 87, 5%
garçons
3
10
13
gaucher
4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante
droitier
total
(a) p(f ille) =?
réponse A :
2
30
réponse B :
17
30
réponse C :
réponse D : 28%
2
5
filles
2
15
17
total
5
25
30
réponse D : 17
(b) p(f ille ∩ droitier) =?
réponse A :
42
30
réponse B :
27
30
réponse C :
1
2
(c) p(f ille ∪ droitier) =?
réponse A :
15
30
réponse B :
42
30
réponse C :
27
30
réponse D :
réponse D : 15
(d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?
2
3
2
2
pG (f ille) =? réponse A :
réponse B :
réponse C :
réponse D :
30
30
17
5
(e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?
2
2
15
5
pf ille (gaucher) =? réponse A :
réponse B :
réponse C :
réponse D :
17
30
17
17
5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,
On choisit à nouveau une bille dans l’urne
1
2
1
(a) p(2vertes) =?
réponse A :
réponse B :
réponse C :
4
6
2
(b) p(2rouges) =?
réponse A :
1
4
réponse B : 0
réponse C :
1
9
15
25
réponse D :
4
9
réponse D :
2
4
6. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6
1
2
1
p(double 6) =?
réponse B : 6 réponse C :
réponse D :
réponse A :
36
6
6
exercice 2 :
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
10
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2. déterminer la loi de probabilité de X
(consigner les résultats dans un tableau)
0
1
5
5
0
0
5
1
0
3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)
4. déterminer E(X) l’espérance de X et interpréter cette valeur.
5. ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ?
6. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
exercice 3 :
on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D
on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers
1. donner les valeurs possibles pour X
2. compléter l’arbre pondéré suivant
...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
...
A
X = ...
A
A
...
...
A
b
...
...
A
A
...
A
(a) donner les probabilités suivantes
i. p(X = 0)
ii. p(X ≥ 1) et interpréter le résultat
(b) donner les probabilités suivantes pour quatre lancers du dé
i. p(X = 0)
(c)
ii. p(X ≥ 1)
i. justifier que pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1 − 0, 75n
ii. quel est le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir
au moins une fois la lettre A soit d’au moins 99%
6.2
corrigé évaluation 1
exercice 1 :
1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,
2
1
p(2 points) =?
réponse C :
réponse D : 6
réponse A : 1 réponse B :
6 6
score
probabilités
2. avec le dé suivant,
p(pair) =?
réponse A : 0, 05
1
0, 1
2
0, 05
3
0, 2
réponse B : 0, 7
4
0, 03
5
0, 02
total
?
6
?
réponse C : 0, 68
réponse D :
3
6
3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)
dans lequel on choisit une carte au hasard
(a) p(coeur) =?
1
32
réponse B :
réponse C :
4
8
1
réponse A :
8
(b) p(roi ∩ coeur) =?
1
12
réponse A :
réponse B :
32 32
(c) p(roi ∪ coeur) =?
1
réponse A :
32
12
réponse B :
32
4
32
32
28
(d) p(Roi) =?
réponse A :
réponse B :
(a) p(f ille) =?
réponse C :
réponse D : 11
réponse C : 87, 5%
11
32
11
réponse C :
réponse D : 11
32 4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante
2
réponse A :
30
réponse D : 8
gaucher
droitier
total
(b) p(f ille ∩ droitier) =?
27
réponse B :
30
(c) p(f ille ∪ droitier) =?
15
réponse A :
30
42
réponse B :
30
réponse D : 28%
garçons
3
10
13
17
2
réponse B :
réponse C :
30 5
42
réponse A :
30
filles
2
15
17
total
5
25
30
réponse D : 17
1
15
réponse C :
réponse D :
2
25
27
éponse C :
réponse D : 15
30 (d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il
soit une "fille"
?
3
2
2
2
pG (f ille) =? réponse A :
réponse B :
réponse C :
réponse D :
30
30
17 5
(e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité
qu’il soit " gaucher" ?
2
2
15
5
pf ille (gaucher) =? réponse A :
réponse B :
réponse C :
réponse D :
17
30 17 17
5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1
On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,
On choisit à nouveau une bille dans l’urne
2
1
1
(a) p(2vertes) =?
réponse B :
réponse C :
réponse A :
4
6
2
(b) p(2rouges) =?
1
réponse A :
4
réponse B : 0
4
réponse D :
9 1
2
réponse C :
réponse D :
9
4
6. On lance deux fois de suite un dééquilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6
1
1
2
p(double 6) =?
réponse A :
réponse B : 6 réponse C :
réponse D :
36
6
6
exercice 2 :
1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
2. le tableau de la loi de probabilité de X est :
valeurs possibles de X : xi
-2
-1
4
2
probabilités : pi
= 0, 4
= 0, 2
10
10
3
3
= 0, 3
10
8
1
= 0, 1
10
total
1
3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6 ;
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4
X
4. E(X) =
pi xi = 0, 4 × (−2) + 0, 2 × (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1 × 8 = 0, 7
ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. le jeu est plus favorable au joueur car il gagne en moyenne 0,7 euros.
7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0
⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1 − 0, 1y = 0
⇐⇒ −y + 2, 7 = 0
le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle
⇐⇒ y = 2, 7
exercice
3:
1. X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}
2. arbre pondéré
0,25
0,25
0,25
A
A
X=3
: 0, 253
0,75 A
X=2
: 0, 252 × 0, 75
A
0,75
0,25
A
X=2
A
0,75 A
0,25
0,25
A
X=2
0,75 A
X =1
0,25
A
X=1
0,75 A
X=0
: 0, 25 × 0, 752
A
0,75
A
X=1
0,75
A
: 0, 753
i. p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42
ii. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578,
la probabilité d’avoir au moins une fois A est de 57, 8%
(b) pour quatre lancers du dé
i. p(X = 0) = 0, 754 ≃ 31, 6%
ii. p(X ≥ 1) ≃ 1 − 31, 6% ≃ 68, 4%
(c) i. pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n
ii. le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins
une fois la lettre A soit d’au moins 99% est de 17, on utilise le tableau de valeurs
valeur de n
16
17
de la calculatrice
n
valeur de 1 − 0, 75
0, 989 0, 992
(a)
exercice 2 :
Un élève décide de répondre au hasard à un Q.C.M. de bac.
Pour chaque question, il y a 4 propositions de réponses dont une seule bonne réponse.
1. pour une question, quelle est la probabilité p qu’il ait la bonne réponse ?
2. le Q.C.M. comporte trois questions.
Pour chaque question, l’élève répond au hasard.
On considère que ses réponses aux questions sont indépendantes les unes des autres.
On note X le nombre de bonnes réponses parmi les trois questions.
a. justifier pourquoi X suit une loi binomiale.
b. construire un arbre de probabilité associé à la situation avec les valeurs de X et les
probabilités associées.
c. donner la loi de probabilité de X.
d. donner la probabilité qu’il ait exactement deux bonnes réponses.
e. donner la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse.
f. donner le nombre de questions qu’il faudrait au Q.C.M. pour que la probabilité qu’il
ait au moins une bonne réponse soit d’au moins 99%
10
corrigé activité 1 : (notion de variable aléatoire)
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
1
5
5
0
0
5
1
0
1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
2.
valeurs possibles :xi
-2
-1
3
8
total
probabilités : pi
4
= 0, 4
10
2
= 0, 2
10
3
= 0, 3
10
1
= 0, 1
10
1
3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4
4. E(X) =
X
p i xi
E(X) = −2 × 0, 4 + (−1) × 0, 2 + 3 × 0, 3 + 8 × 0, 1 = 0, 7
ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. V (X) =
X
pi x2i − E(X)2
V (X) = (−2)2 × 0, 4 + (−1)2 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 82 × 0, 1 − 0, 72 = 10, 41
σ(X) =
p
σ(X) =
√
V (X)
10, 41 ≃ 3, 22
6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne en
moyenne 0,7 euros.
7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0
Corrigé Devoir Maison
46 page 129
arbre :
27000
: R = 81000 : 0, 43
0,6
15000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,4
27000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,6
15000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,4
27000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,6
15000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,4
27000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,6
15000
: R = 45000 : 0, 63
27000
0,4
27000
0,4
0,6
0,4
15000
27000
0,4
0,6
15000
0,6
15000
p(R = 81000) = 0,064 , la probabilité que la recette soit de 81000 euros est de 6,4%
loi de probabilité de R :
valeurs possibles : xi
probabilités : pi
45000
0, 63
0,216
57000
3 × 0, 4 × 0, 62
0,432
69000
3 × 0, 42 × 0, 6
0,288
81000
0, 43
0,064
total
1
E(R) = 0, 216 × 45000 + 0, 432 × 57000 + 0, 288 × 69000 + 0, 064 × 81000 = 59400
l’espèrance de la recette est de 59400 euros .
59400 - 50000 = 9400, 9400>0 donc le projet est rentable .
74 page 134
1.
a. p(R) = p(B ∩ R) + p(J ∩ R) = 0, 2 × 0, 5 + 0, 5 × 0, 3 = 0,25
p(B ∩ M )
0, 2
0, 2
=
b. pB (M ) =
=
= 0,4
1 − 0, 5
0, 5
p(B)
c. pR (B) =
2.
0, 5 × 0, 2
p(B ∩ R)
=
= 0,4
p(R)
0, 25
a. p(4 pièces)= 0, 24 = 0,0016
b. p(1 jeton)= 4 × 0, 31 × 0, 73 = 0,4116
c. p(aucun jeton)= 0, 74 = 0,2401
76 page 135
1.
a. arbre
0,4
S
0,6
S
0,75
S
A
3
12
4
12
B
0,25
0,24
5
12
S
S
C
0,76
p(S) = p(A ∩ S) + p(B ∩ S) + p(C ∩ S) =
S
3
4
5
× 0, 4 +
× 0, 75 +
× 0, 24 = 0,45
12
12
12
4
× 0, 75
p(B ∩ S)
= 12
≃ 0,55
b. pS (B) =
p(S)
0, 45
2. p(X = 1) = 3 × 0, 451 × 0, 552 ≃ 0,41
0,45
0,45
V
0,45
V
X=3
: 0, 453
0,55V
X=2
: 0, 452 × 0, 55
V
0,55
0,45
V
X=2
V
0,55V
0,45
0,45
V
X=2
0,55 V
X=1
0,45
V
X=1
V
0,55
X=0
: 0, 45 × 0, 552
V
0,55
V
X=1
0,55
V
3.
a. pn = p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 55n
: 0, 553
b. 1 − 0, 55n > 0, 9999
⇐⇒ 0, 0001 > 0, 55n
⇐⇒ ln(0, 0001) > ln(0, 55n )
⇐⇒ ln(0, 0001) > nln(0, 55)
⇐⇒
ln(0, 0001)
<n
ln(0, 55)
⇐⇒ 15, 4 < n
il faut au moins 16 tirages pour que la probabilité soit supérieure stricte à 0,9999
7
exercices bac et autres
exercice 1 : Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur
la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève
0, 5 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des
points est négatif la note est ramenée à 0.
1. A et B sont deux événements indépendants et on sait que p(A) = 0, 5 et p(B) = 0, 2
La probabilité de l’événenement A ∪ B est égale à :
Réponse A : 0,1
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,7
Réponse D : on ne peut pas savoir
2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont
une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont grands carreaux. Parmi les cahiers grands
carreaux, 40 % ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit grands carreaux
est égale à :
Réponse A : 0,3
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,5
Réponse D : 0,75
Dans les questions 3. et 4. , on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une
grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres
sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.
3. La probabilité, arrondie à 10−3 , qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
Réponse A : 0,250
Réponse C : 0,578
Réponse B : 0,422
Réponse D : 0,984
4. La probabilité, arrondie 10−3 , qu’il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :
Réponse A : 0,047
Réponse C : 0,141
Réponse B : 0,063
Réponse D : 0,500
5. Quel nombre minimal de stylos doit-il prendre au hasard pour que la probabilité qu’il ait
au moins 1 stylo-feutre vert soit au moins égale à 95% ?
Réponse A : 10
Réponse C : 12
Réponse B : 11
Réponse D : 13
6. Un jeu consiste lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de
1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu.
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :
• si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros,
• si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro,
• sinon, il ne reçoit rien.
à ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :
Réponse A : 0
Réponse C : -1
Réponse B : 1
Réponse D : -2
corrigé exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010
1. A et B sont deux événements indépendants donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0, 1
et comme p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 2 − 0, 1 = 0, 6
Réponse C
2. en appelant S l’événement « Le cahier est spirale » et C l’événement « Le cahier est
gros carreaux » on a :
0,40
S
0,75 C
S
0,60
S
0,25
C
S
pS (C) =
P (C) × PC (S)
0, 75 × 0, 4
p(S ∩ C)
=
=
= 0, 6
P (S)
P (S)
0, 5
Réponse C
3. La loi numérique correspondant au nombre X de stylos-feutres verts est une loi binomiale. Il faut faire un arbre :
0,25
0,25
0,25
V
V
X=3
: 0, 253
0,75V
X=2
: 0, 252 × 0, 75
V
0,75
0,25
V
X=2
V
0,75V
0,25
0,25
V
X=2
0,75 V
X=1
0,25
X=1
: 0, 25 × 0, 752
V
0,75
V
X=1
0,75
V
V
0,75 V
X=0
: 0, 753
On cherche la probabilité de l’événement contraire de « On a obtenu aucun stylo
vert » donc
Réponse C
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578
4. Sur l’arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos verts donc
Réponse C
p(X = 2) = 3 × 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 141
5. on cherche le nombre de tirages n tel que p(X ≥ 1) ≥ 0, 95
ln(1 − 0, 95)
1 − 0, 75n ≥ 0, 95 ⇐⇒ n ≥
⇐⇒ n ≥ 11
ln(0, 75)
Réponse B
6. la loi de probabilité de X est :
xi
-3
-2
7
total
pi
3
= 0, 5
6
1
2
=
6
3
1
6
1
E(X) = −3 × 0, 5 + (−2) ×
Réponse C
1
1
+ 7 × = −1
3
6
exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son
stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.
Chacune de ces perles a :
– soit une forme dite sphérique ;
– soit une forme dite équilibrée ;
– soit une forme dite baroque.
On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 %
sont sphériques et la moitié sont baroques.
i. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l’aide des données
de l’énoncé (on ne demande pas de justification).
Sphérique
équilibrée
Baroque
Total
Argentée
Noire
Total
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
On note :
– A l’événement : « la perle est argentée » ;
– N l’événement : « la perle est noire » ;
– S l’événement : « la perle est de forme sphérique » ;
– E l’événement : « la perle est de forme équilibrée » ;
– B l’événement : « la perle est de forme baroque ».
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque ?
B. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée ?
C. Déterminer la probabilité de l’événement A ∪ B puis interpréter ce résultat.
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu’elle
ne soit pas argentée ?
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est
suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. Calculer la probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
B. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre
perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10−3 près).
corrigé exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
i. tableau des pourcentages
Argentée
Noire
Total
Sphérique
9%
7%
16%
équilibrée
21%
23%
44%
Baroque
30%
10%
40%
Total
60%
40%
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque : p(B) = 0, 4
B. probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire et équilibrée : p(N ∩ E) = 0, 23
C. p(A ∪ B) = 0, 6 + 0, 4 − 0, 3 = 0, 7
interprétation
probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme équilibrée
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque.
probabilité qu’elle ne soit pas argentée : pB (A) =
0, 1
p(A ∩ B)
=
= 0, 25
p(B)
0, 4
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
p(X = 0) = 0, 44 ≃ 0, 0256
B. probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies
( à 10−3 près).
p(Y ≥ 1) = 1 − 0, 844 ≃ 0, 502
exercice 3 : (72 page 134)
un jeu est tel qu’on lance une balle sur une plaque comportant un trou en son centre.
si la plaque n’est pas atteinte, la balle est ramenée.
si la plaque est atteinte, soit la balle est "avalée" soit elle reste sur la plaque
la probabilité d’atteindre la plaque est de 30%
lorsque la plaque est atteinte, la probabilité que la balle soit avalée est de 20%
1. construire un arbre de probabilité associé à cette situation
2. a. calculer la probabilité que la balle soit avalée
b. calculer la probabilité que la balle reste sur la plaque
3. on paie 0,5 euros pour jouer
si la balle est avalée on gagne g euros
si la balle reste sur la cible on est remboursé
si la balle rate la cible, on perd la mise
déterminer la loi de probabilité du gain G
4. a. montrer que l’espérance du gain G est : E = 0, 06g − 0, 38
b. pour quelle valeur de g peut-on espérer un bénéfice ?
corrigé exercice 3 : (72 page 134)
1. arbre de probabilité associé à cette situation
0,2
B
0,80
B
0
B
1
B
C
0,3
0,7
C
2. a. probabilité que la balle soit avalée :
p(B) = p(C ∩ B) + p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 2 + 0 = 0,06
b. probabilité que la balle reste sur la plaque :
p(B) = p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 8 = 0,24
3.
loi de probabilité du gain G :
xi
−0, 5
0
g − 0, 5
total
pi
0, 7
0, 24
0, 06
1
4. a. espérance du gain G :
E = −0, 5 × 0, 7 + 0 × 0, 24 + 0, 06 × (g − 0, 5) = 0,06g -0,38
b. valeur de g pour espérer faire un bénéfice :
0, 06g − 0, 38 > 0 ⇐⇒ g >
0, 38
0, 06
soit au moins 6,34 euros
1
2
