L`équation de Bernoulli stipule que

Équation de Bernoulli
L'équation de Bernoulli stipule que,
où




points 1 et 2 se situent sur un rationaliser,
le fluide densité est constante,
le débit est constant, et
il n'ya pas de frottement.
Bien que ces restrictions son grave, l'équation de Bernoulli est très utile, en partie parce qu'il
est très simple à utiliser et en partie parce qu'il peut donner une grande idée de l'équilibre
entre la pression, la vitesse et l'altitude.
Comment est utile de l'équation de Bernoulli? Comment restrictives sont les hypothèses
d'utilisation? Ici, nous donnons quelques exemples.
Pression / variation de vitesse
Envisager la progression régulière, un flux constant de densité de liquide dans une gaine de
convergence, sans les pertes dues au frottement (figure 14). Le débit donc satisfait toutes les
restrictions régissant l'utilisation de l'équation de Bernoulli. En amont et en aval de la
contraction nous faisons les dimensions une hypothèse que la vitesse est constante sur l'entrée
et la sortie des zones et parallèles.
Figure 14. One-dimensional conduit
montrant contrôler le volume.
Lorsque sont parallèles rationalise la pression est constante à travers eux, à l'exception des
différences hydrostatique (si la pression était plus élevé au milieu du conduit, par exemple,
nous espérons que les lignes à diverger, et vice versa). Si nous ignorons la gravité, les
pressions exercées sur l'entrée et de sortie sont constants. Le long d'un rationaliser sur l'axe,
l'équation de Bernoulli et les dimensions une équation de continuité donner, respectivement,
Ces deux observations fournissent un guide intuitif pour analyser les flux de fluide, même
lorsque la circulation n'est pas unidimensionnelle. Par exemple, lorsque le liquide passe audessus d'un corps solide, les lignes se rapprocher ainsi, la vitesse du courant augmente, et la
pression diminue. Les ailes sont conçus de façon à ce que l'écoulement sur la surface
supérieure est plus rapide que sur le fond, de surface, et donc la pression moyenne sur la
surface supérieure est inférieur à la moyenne pression sur le fond, de surface, et une force
résultante en raison de cette différence de pression est produite . C'est la source de portance
sur une aile. Lift est définie comme la force agissant sur une aile en raison de sa proposition,
dans une direction perpendiculaire à la direction du mouvement. De même, faites-le glisser
sur une aile est définie comme la force agissant sur une aile en raison de sa proposition, dans
la direction du mouvement.
Une simple démonstration de l'ascenseur produit par une veine d'air a besoin d'un morceau de
papier bloc-notes et de deux livres à peu près la même épaisseur. Placez les livres de quatre à
cinq pouces, et de couvrir l'écart avec le papier. Lorsque vous souffler à travers le passage
faites par les livres et le papier, que voyez-vous? Pourquoi?
Deux autres exemples:
Exemple 1
Une balle de ping-pong placés dans un jet d'air vertical est suspendue dans l'avion, et il est
très stable de petites perturbations dans n'importe quelle direction. Poussez la balle vers le
bas, et il ressorts à son équilibre; pousser latéralement, et il revient rapidement à sa position
initiale au centre du jet. Dans le sens vertical, le poids de la balle est équilibrée par une force
en raison de différences de pression: la pression sur l'arrière la moitié de la sphère est inférieur
à plus de la moitié antérieure en raison des pertes qui se produisent à la suite (gros tourbillons
se forment dans l' suite que dissiper un grand nombre de flux d'énergie). Pour comprendre
l'équilibre des forces dans le sens horizontal, vous avez besoin de savoir que le jet a sa vitesse
maximale au centre, et la vitesse du jet diminue l'égard de ses bords. La balle position est
stable parce que si la balle se déplace latéralement, sa face externe se déplace dans une région
de plus faible vitesse et de pression plus élevée, tandis que sa face interne se rapproche du
centre où la vitesse est plus élevée et la pression est plus faible. Les différences de pression
ont tendance à se déplacer la balle vers le centre.
Exemple 3
Supposons une balle tourne vers la droite pendant qu'elle circule dans l'air de gauche à droite
Les forces agissant sur la filature balle serait la même si elle a été placée dans un courant d'air
se déplaçant de droite à gauche, comme le montre la figure 15.
Figure 15. Spinning balle dans un flux d'air.
Une mince couche d'air (une couche limite) est forcé à tourner avec le ballon en raison de
frottement visqueux. Chez A la motion en raison de spin est opposé à celui de la veine d'air,
et donc près de l'existence d'un une région à faible vitesse où la pression est proche de
l'atmosphère. À B, la direction du mouvement de la couche limite est la même que celle de
l'air extérieur, et que les vitesses ajouter, la pression dans cette région est inférieur à
l'atmosphère. La balle expériences une force agissant de A à B, ce qui provoque la voie de la
courbe. Si le spin est dans le sens, le chemin aurait au contraire courbure. L'apparition d'un
côté la force sur la rotation d'un domaine ou un cylindre est appelé effet Magnus, et bien
connu de tous les participants dans les sports de ballons, en particulier le base-ball, cricket et
les joueurs de tennis.
La stagnation de pression et de pression dynamique
L'équation de Bernoulli conduit à certaines conclusions intéressantes en ce qui concerne la
variation de la pression le long d'une rationaliser. Prenons l'exemple d'un flux régulier
empiéter sur une plaque perpendiculaire (figure 16).
Figure 16. La stagnation des flux point.
Il est un rationaliser qui divise le flux en deux: au-dessus de ce rationaliser tous les flux passe
par la plaque, et au-dessous de ce rationaliser tous les flux passe sous la plaque. Le long de
cette division rationaliser, le liquide se déplace vers la plaque. Depuis le flux ne peut pas
passer à travers la plaque, le liquide doit venir se reposer au point où il se réunit la plaque. En
d'autres termes, il stagne ``.''Le fluide le long de la séparation, ou la stagnation de rationaliser
``''ralentit et finalement s'arrête sans déformation au point la stagnation.
L'équation de Bernoulli le long de la stagnation de rationaliser donne
dont le point e est loin en amont et le point 0 est à la stagnation. Depuis la vitesse à la
stagnation point est égal à zéro,
La stagnation ou la pression totale, p_0, est la pression mesurée au point où le fluide est au
repos. Elle est la plus haute pression figurent nulle part dans les flowfield, et il se produit au
point de stagnation. Il est la somme de la pression statique (p_0), et la pression dynamique
mesurée loin en amont. C'est ce qu'on appelle la pression dynamique, car elle découle de la
motion du fluide.
La pression dynamique n'est pas vraiment une pression à tous: il est tout simplement un nom
pour la quantité (la moitié de la densité de fois la vitesse au carré), ce qui représente la
diminution de la pression due à la vitesse du fluide.
Nous pouvons également exprimer la pression partout dans le flux sous la forme d'un nondimensionnel Cp coefficient de pression, où
À la stagnation point C_p = 1, qui est sa valeur maximale. Dans le freestream, loin de la
plaque, C_p = 0.
Tube de Pitot
L'une des applications les plus immédiats de l'équation de Bernoulli est en mesure de la
vitesse avec un tube de Pitot. Le tube de Pitot (du nom du scientifique français de Pitot) est
l'un des plus simples et les plus utiles instruments jamais conçu. Il consiste simplement d'un
tube courbé à angle droit (fig. 17).
Figure 17. Tube de Pitot dans une soufflerie.
En pointant le tube directement en amont dans le flux et de mesurer la différence entre la
pression détecté par le tube de Pitot et la pression de l'air ambiant flux, il peut donner une
mesure très précise de la vitesse. En fait, c'est probablement la méthode la plus précise
disponible pour mesurer la vitesse d'écoulement sur une base de routine, et une précision
meilleure que 1% sont facilement possible. L'équation de Bernoulli le long de la rationaliser,
qui commence très en amont du tube et s'immobilise dans l'embouchure du tube de Pitot
montre le tube de Pitot la stagnation des mesures de pression dans la circulation. Par
conséquent, pour trouver la vitesse V_e, nous avons besoin de connaître la densité de l'air, et
la différence de pression (p_0 - p_e). La densité peut être trouvée par les tableaux si la
température et la pression sont connues. La différence de pression est généralement
indirectement en utilisant une pression statique `` écoutes''situé sur la paroi du tunnel de vent,
ou sur la surface du modèle.
Densimètre ; loi de Poiseuille ; équation Bernoulli.
Principe d'un densimètre
V : volume total du densimètre ; S : section de la partie cylindrique. Plongé dans l'eau de
masse volumique e, il affleure (1); par contre dans un liquide de masse volumique >e, il
occupe la position (2).
Le densimètre de masse m= 51,1 g
est constitué d'un tube mince gradué
( diamètre d=4,0 mm) et d'un
réservoir lesté de volume V1= 48
mL. La hauteur h dépend de la
masse volumique du liquide dans
lequel le densimètre plonge.
Donnée : masse volumique de l'eau :
= 1000 kg m-3.
calcul de h :
Le densimètre est en équilibre sous l'action de deux forces opposées, son poids P=mg et la
poussée d'Archimède F, de valeur égale au poids de volume de liquide déplacé.
Volume de liquide déplacé = volume du réservoir + volume de la tige cylindrique de hauteur
h
V= V1+d2/4 h
Poussée F= Vg ; poids P=mg d'où : V= m ; V1+d2/4 h = m/; d2/4 h = m/- V1
h = 4(m/- V1) / (d2)
avec m = 5,11 10-2 kg ; V1=4,8 10-5 m3 ; d = 4 10-3 m
h = 4(5,11 10-2/ 1000-4,8 10-5) / (3,14 *16 10-6)=0,247 m.
débit si écoulement laminaire : loi de Poiseuille
Une perte de pression p apparaît entre deux points distants d'une longueur l d’une
canalisation de rayon r, dans laquelle un fluide circule à la vitesse moyenne v , avec un débit
volumique qv constant. La viscosité  est constante à pression et température fixées.
Dans le cas d'un fluide parfait, la viscosité est nulle et en conséquence  p est nulle.
Données : r = 4,0 mm ; l= 0,65 m ; qv =4 10-6 m3/s ; h = 0,30 m ; masse volumique du fluide = 900
kg/m3 ; g = 10 m/s².
Calcul de p :
p =gh = 900*10*0,3 = 2,7 103 Pa.
Calcul de la viscosité :
= r4p / (8lqv) avec r= 4 10-3 m ; l= 0,65 m ; qv =4 10-6 m3/s ; p =2,7 103 Pa.
= 3,14 ( 4 10-3)4*2,7 103/(8*0,65*4 10-6 )=1,04 10-1 Pa s.
vitesse moyenne du fluide :
débit ( m3/s) = section (m2) * vitesse m/s)
v = qv / (r2)=4 10-6 / (3,14*1,6 10-5) =8,0 10-2 m/s.
nombre de Reynolds NR = 2r v/ :
NR =2*900*4 10-3*8 10-2/0,104 = 5,5.
Le nombre de Reynolds est faible : l'écoulement est laminaire.
équation Bernoulli
Le niveau du lac est pratiquement constant ; la vitesse de l'eau en B est pratiquement nulle.
Notations : p0 : pression atmosphérique ;  : masse volumique de l'eau.
Expression de la vitesse de l'eau en A :
Relation de Bernoulli : p/ + gz + ½v² = constante. g représente la valeur du champ de
pesanteur terrestre.
Cette relation peut être applicable à tout le fluide si :
le fluide est incompressible ( constant), "parfait" ( viscosité nulle), en régime permanent et
sans transfert de chaleur.
Appliquer cette relation entre A et B :
état A : pression p0 ( à la sortie du petit tube, l'eau est en contact avec l'air ); altitude nulle,
vitesse vA.
état B : pression p0 ; altitude H, vitesse nulle.
d'où p0 / +gH +0 = p0 / + 0 + ½v²A ; vA = (2gH)½.
vitesse et pression en M :
le débit volumique est constant : débit ( m3/s) = section (m2) * vitesse m/s)
D²/4 vM = d²/4 vA ; D² vM = d² vA ; vM =(d/D)2vA.
Appliquer la relation de Bernoulli entre B et M :
état M : pression pM ; altitude z, vitesse vM.
état B : pression p0 ; altitude H, vitesse nulle.
d'où p0 / +gH +0 = pM / +gz + ½v²M .
p0 +gH = pM +gz + ½v²M .
pM = p0 +g(H-z)- ½v²M ; pM = p0 +g(H-z)- ½(d/D)4v²A.
pression en C :
altitude du point C : zC= H-H0 ; d'où H-zC= H0 ; pC = p0 +gH0- ½(d/D)4v²A.
Or H0 < H-z en conséquence pC < pM
valeur minimale de d telle que la pression dans la conduite soit toujours supérieure à une
valeur pmini :
La pression est la plus faible en C d'où : pmini > p0 +gH0- ½(d/D)4v²A.
pmini - p0 > gH0- ½(d/D)4v²A avec v²A = 2gH
pmini - p0 > gH0- gH(d/D)4 ; (pmini - p0) / (gH ) >H0 / H - (d/D)4 ;
(d/D)4 > H0 / H + (pmini - p0) / (gH )
d > D[H0 / H + (pmini - p0) / (gH )]1/4.
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