UNIVERSITE LIBANAISE PARTIEL D*ALGEBRE

UNIVERSITE LIBANAISE
‫الجامعة اللبنانية‬
Institut Universitaire De Technologie
‫المعهد الجامعي للتكنولوجيا‬
Final d'Analyse Appliquée – 1ère Année GIM / GRIT – 1ère Session – ( 2013 / 2014 ) –
Durée : 1H00
Exercice I
20 / 06 / 2014
Documents Non Autorisés
( 2 Pts)
Soit la série numérique (Un ) de terme général : Un =
(3x−2)n
5n+1
.
a) Déterminer l'intervalle de convergence de (Un ).
b) Déduire en fonction de x la somme ∑+∞
n=0
(3x−2)n
5n+1
.
Exercice II ( 6 Pts)
Soit f la fonction 2π-périodique définie par : f(t) = t 2 + πt pour t ∈ ]−π, π[.
a) Tracer le graphe de la fonction f(t).
b) f(t) vérifie-t-elle les conditions de Dirichlet sur [−π, π] ?
c) Montrer que le développement en série de Fourier de f est donnée par :
π2
3
+ ∑+∞
n=1 [
4(−1)n
n2
d) En déduire la somme des séries ∑+∞
n=1
cos(nt) +
(−1)n
n2
2π(−1)n+1
n
sin⁡(nt)]
1
et ∑+∞
n=1 n2 .
Exercice III ( 3 Pts)
Soit la fonction f(t) et sa transformée de Fourier F(ν). Déterminer, en fonction de F, la transformée
de Fourier G de la fonction g(t) = f(3t − 1).
a) En utilisant la définition de la transformée de Fourier.
b) En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier.
Exercice IV ( 6 Pts)
Considérer le système linéaire invariant dans le temps (S). On appelle x(t) le signal d'entrée et y(t)
le signal de sortie de (S). Soient X(p) et Y(p) leurs transformées de Laplace respectives. Supposons
Y(p)
p−1
que la fonction de transfert de (S) est : H(p) = X(p) = (p+1)2 ⁡⁡; ⁡⁡p > 0.
a
b
a) Vérifier que s'écrit : H(p) = p+1 + (p+1)2 ; où a et b sont 2 réels à déterminer.
b) Déterminer l'original h(t) de H(p).
c) Supposons que le signal d'entrée est x(t) = e−(t−1) U(t − 1). U étant la fonction échelon unité.
i) Ecrire explicitement x(t) et tracer son graphe.
ii) Trouver X(p).
e−p
e−p
iii) Montrer que Y(p) = (p+1)2 − 2 (p+1)3 .
iv) Déduire y(t).
Exercice V
( 3 Pts)
Considérer les deux fonctions F(z) =
a) Montrer que
F(z)
z
a
z
z2 +4z−5
z
et G(z) = F ( ).
3
b
= z−1 + z+5 ; où a et b sont 2 réels à déterminer.
b) Trouver l'original de F(z).
c) Déduire l'original de G(z).
_________________________________________________________________________________________
Bon Travail
RAPPEL
PROPRIETES DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER
TF [f ( t )]( )  TF [f ( t )]( )
TF [f (kt )]( ) 
TF [f ( t )]()  TF [f ( t )]( )  TF [f ( t )]( )
1

TF [f ( t )]( )
k
k
TF [f (t  )]()  e i 2    TF [f (t )]()
TABLE DE TRANSFORMATION DE LAPLACE
f(t) = L
1[F(p)]
Echelon Unité : U( t )
Rampe Unité : t U( t )
Exponentielle : e  at U( t )
Polynôme : tn U( t ) ; où n  IN*
F(p) = L [f ( t )]
1
p
1
p2
1
pa
n!
p n 1
PROPRIETES DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
L
f(t)
F(p)
L
1
f (at ) ; a  0
1 p
F 
a a
1 t
f  ;a  0
a a
Fap 
Fp  a 
e  at f ( t )
f ( t  ) U( t  )
F(p) e   p
TABLE DE LA TRANSFORMEE EN Z
(fn )n∈IN = Z −1 [F(z)]
Suite géométrique : (an )n∈IN
Echelon unité discret (Un )n∈IN :
∀⁡n ∈ IN, Un = U(nT) = 1
Rampe discrète (rn )n∈IN :
∀⁡n ∈ IN, rn = nT⁡U(nT) = nT
F(z) = Z[fn ](z)
⁡z
z⁡⁡a
⁡z
z⁡⁡1
z
T⁡
(z⁡ − ⁡1)2
Domaine de convergence
|z|>|a|
|z|>1
|z|>1
PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE EN Z
Z
f(nT)
F(z)
Z1
a ∈ IR∗ ; an ⁡f(nT)
fn−k = f[(n − k)T]
fn+k = f[(n + k)T]
z
F( )
a
F(z)
zk
k−1
k
z ⁡(F(z) − ∑m=0 fm z −m )
z −k ⁡F(z) =
-1Solution I
a)
Série (Un ) : Un =
Un =
(3x−2)n
5n+1
(3x−2)n
2 Pts
5n+1
1 3x−2 n
)
5
5
= (
3x−2 n
3x−2
) est une série géométrique de raison a = 5
5
3x−2
3x−2
7
pour | 5 | < 1 ⇔ −1 < 5 < 1 ⇔ −1 < x < 3
7
D'où l'intervalle de convergence de (Un ) : ]−1; 3⁡[
Or, (
b)
∑+∞
n=0
Solution II
(3x−2)n
3x−2 n
)
5
1
= 5 ∑+∞
n=0 (
5n+1
1
= 5 (1 ×
1
1−
1
3x−2
5
qui converge
5
1 Pt
1
) = 5 (7−3x) = 7−3x
1 Pt
f 2π-périodique / f(t) = t 2 + πt pour t ∈ ]−π, π[
6 Pts
a)
𝟐𝛑𝟐
0,75 Pt
−
−𝛑
𝛑
𝟐
𝛑
0
𝟐
−
b)
𝛑
𝟒
f(t) vérifie les conditions de Dirichlet sur [−π, π], en effet :
 f(t) = t 2 + πt est définie, continue et dérivable ; f ′ (t) = 2t + π est
continue sauf en ≪⁡– π et π ≫


c)
0,75 Pt
lim f(t) = 0 ∈ IR ; lim− f(t) = 2π2 ∈ IR
t→π
t→–π+
lim f
t→–π+
′ (t)
= −π ∈ IR ; lim− f ′ (t) = 3π ∈ IR
t→π
π
1
1
π
 a0 = ⁡ 2π ∫-π(t 2 + πt)dt = π ∫0 t 2 dt =
π2
3
0,5 Pt
(≪ 𝒕𝟐 ≫ est paire et ≪ 𝝅𝒕 ≫ est impaire)
Pour n ≥ 1 :
1
π
2
π
 an = ⁡ π ∫-π(t 2 + πt)⁡cos⁡nt⁡dt = π ∫0 t 2 ⁡cos⁡nt⁡dt =
4(−1)n
n2
1 Pt
𝟐
(≪ 𝒕 × cos⁡nt⁡ ≫ est paire et ≪ 𝝅𝒕 × cos⁡nt⁡ ≫ est impaire)
1
π
2
π
 bn = ⁡ π ∫-π(t 2 + πt)⁡sin⁡nt⁡dt = π ∫0 πt⁡sin⁡nt⁡dt =
2π(−1)n+1
n
(≪ 𝝅𝒕 × sin⁡nt⁡ ≫ est paire et ≪ 𝒕𝟐 × sin⁡nt⁡ ≫ est impaire)
D'où le D. S. F. :
d)
π2
3
+ ∑+∞
n=1 [
1 Pt
4(−1)n
2π(−1)n+1
cos(nt) +
sin⁡(nt)]
n2
n
 f est continue en 0 :
0 = f(0) =
π2
3
+ ∑+∞
n=1 [
4(−1)n
]
n2
⇔ ∑+∞
n=1
(−1)n
n2
1 Pt
π2
= − 12
 f est discontinue en π :
1
2
1
2
π2 = [0 + 2π2 ] = [f(π− ) + f(π+ )] =
=
π2
3
+ ∑+∞
n=1 [
4(−1)n
(−1)n ]
n2
1
⟺ ∑+∞
n=1 n2 =
π2
6
1 Pt
-2Solution III
a)
f(t) et g(t) = f(3t − 1) ;. Déterminer G en fonction de F.
u = 3t − 1
+∞
+∞
−i2πνt
−i2πνt
=======
G(ν) = ∫−∞ g(t)e
⁡dt = ∫−∞ f(3t − 1)e
⁡dt
du
dt =
=
u+1
1 +∞
−i2πν(
)
3 ⁡du
f(u)e
∫
3 −∞
+∞
1
= 3 ∫−∞ f(u)e
b)
3
u+1
1 +∞
−i2πν(
)
3 ⁡du =
∫ f(u)e
3 −∞
=
−i πν
e 3
𝜈
F (3)
3
⁡du =
1
G(ν) = TF[g(t)](ν)=TF[f(3t − 1)](ν))=TF {f [3 (t − 3)]} (ν) =
=
1
1
𝜈
TF [f (t − 3)] (3)
3
=
−i πν
e 3
𝜈
F (3)
3
Système (S) : Entrée x(t) ; Sortie y(t)
X(p) = L [x(t)] ; Y(p) = L [y(t)]
Fonction de transfert de (S) : H(p) =
a)
1,5 Pts
2
ν
3
−i2π( )(u+1)
2
Solution IV
3 Pts
p−1
H(p) = (p+1)2 =
a
b
+ (p+1)2
p+1
=
Y(p)
X(p)
1
−
p+1
p−1
⁡⁡; ⁡⁡p
(p+1)2
=
1,5 Pts
6 Pts
>0
1
2 (p+1)2 , en effet :
 b = (p − 1)]p=−1 = −2
1 Pt
 p = 0 ⇒ −1 = a + b ⇒ a = −1 − b = −1 + 2 = 1
b)
h(t) =L
1[H(p)]
=L
1
1
[p+1] − 2 L
= e−t U(t) − 2⁡e−t L
c)-i)
x(t) = e−(t−1) U(t − 1) = {e
1
1
[(p+1)2 ] =
1 1
[p2 ] = e−t U(t) − 2⁡t⁡e−t ⁡U(t)
1 Pt
−(t−1) ⁡⁡; ⁡⁡t
≥1
⁡⁡; ⁡⁡t < 1
0
1 Pt
e−p
c)-ii)
X(p) = L [e−(t−1) U(t − 1)] = e−p L [e−t U(t)] = p+1
c)-iii)
Y(p) = H(p) × X(p) = (
c)-iv)
y(t) =L
1
−
p+1
e−p
1
1
2 (p+1)2 ) ×
e−p
[((p+1)2 − 2 (p+1)3 )] (t) =L
=L
1
1
e−p
p+1
1 Pt
e−p
e−p
= (p+1)2 − 2 (p+1)3
1
1
1 Pt
2
[e−p ((p+1)2 − (p+1)3 )] (t) =
2
1 Pt
[((p+1)2 − (p+1)3 )] (t − 1) =
= (t − 1)⁡e−(t−1) ⁡U(t − 1) − (t − 1)2 ⁡e−(t−1) ⁡U(t − 1)
Solution V
a)
z
z
F(z) = z2 +4z−5 ; G(z) = F (3)
F(z)
z
1
1
1
z=1
c)
b
1
1
1
z=−5
= −6
= z2 +4z−5 = (z−1)(z+5) = z−1 + z+5 = 6 (z−1 − z+5) , en effet :
a = (z+5))
b)
a
3 Pts
1
=6
;
1
b = (z−1))
1
1
z
z
F(z) = 6 (z−1 − z−(−5)) ; (fn )n∈IN = Z−1 [F(z)],
d'où :
1
1
pour n ∈ IN, fn = 6 [U(n) − (−5)n U(n)] = 6 [1 − (−5)n ]U(n)
z
z
G(z) = F (3) ; (g n )n∈IN = Z−1 [G(z)] = Z−1 [F (3)],
d'où
n
3
pour n ∈ IN, g n = 3n × Z−1 [F(z)] = 6 [1 − (−5)n ]U(n)
1 Pt
1 Pt
:
1 Pt