Mat 5110 Mathématique, 5e sec. Exercices complémentaires Guide Introduction aux vecteurs Guide Page 1 1- CONTENU Exercices complémentaires Introduction aux vecteurs Référence à l'épreuve : Fichier : R:\BIM90\PERS\068536W\VECTEURS.E01 Question Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0558 0608 0632 0485 0615 0534 0510 0559 0515 0587 0543 0582 0659 0575 0523 0598 0624 0673 0549 0500 0646 0499 Objectif GEO.01.02 GEO.01 GEO.01.02 GEO.01.03 GEO.01.02 GEO.01.03 GEO.01.03 GEO.01.03 GEO.01.02 GEO.01.02 GEO.01.02 GEO.01 GEO.01.02 GEO.01.06 GEO.01.06 GEO.01 GEO.01 GEO.01 GEO.01 GEO.01 GEO.01 GEO.01.02 H T C Ind. d Ind. F C C C C A C C A A A A C C P P P P P P P A A M M M M C M M M C C E M M E E E E E E E E E F M F M F M F F F M M M M D M D D D D D M M +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Ind. 1 Ind. 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Légende H : Habiletés A : Maîtrise de l'application C : Maîtrise des concepts P : Maîtrise de la résolution de problèmes T : Types d'item A C E I M T C : Complexités F : Facile M : Moyen D : Difficile : : : : : : Appariement Réponse courte Réponse élaborée Illustration ou texte Choix multiple Tâche évaluative Ind. d : Indice de discrimination Ind. F : Indice de facilité Ind. 1 : Indice 1 Ind. 2 : Indice 2 Dimension : Dimension %CE% Dimension 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Guide 2- CLÉ DE CORRECTION 1 A 2 D 3 C 4 D 5 Les composantes du vecteur v sont (2, 4). 6 D 7 B 8 D 9 Le produit scalaire des vecteurs u et v est 16. 10 Le produit scalaire des vecteurs u et v est -75. %CE% Page 2 Guide 11 Exemple d'une démarche appropriée Soit u = (5, 2) et v = (2, 3) Produit scalaire u v = (5, 2) • (2, 3) uv =52+23 u v = 16 Norme des vecteurs u 5 2 2 2 29 5,385 u 2 2 32 13 3,606 Angle entre u et v u v u v cos θ cos θ uv u v 16 29 13 cos 0,824 04 34,51 Résultat 12 B 13 D %CE% L'angle entre ces vecteurs mesure 34,51. Page 3 Guide 14 Page 4 Exemple d'une démarche appropriée Hypothèses : B 1. ABCDEF est un hexagone régulier 2. AB = a b C a A D BC = b -a Conclusion : AB AC DE EF a Affirmations 1. a) AC AB BC b) AC a b 2. a) DE - AB b) DE - a 3. a) EF - BC b) EF - b 4. AB AC DE EF a a b -a -b a %CE% F b - E Justifications 1. a) Relation de Chasles b) Par substitution 2. a) DE et AB sont des vecteurs opposés par définition d'un hexagone régulier. b) Par substitution 3. a) EF et BC sont des vecteurs opposés par définition d'un polygone régulier. b) Par substitution 4. Addition vectorielle Guide 15 Exemple d'une démarche appropriée 1 1 1 1 AB BC AB BC AC 2 2 2 2 1 1 1 1 PO PD DO AD DC AD DC AC 2 2 2 2 MN MB BN Les vecteurs MN et PO sont donc parallèles et de même longueur. Le quadrilatère MNOP est donc un parallélogramme. 16 Exemple d'une démarche appropriée CB AC FE GF GE à démontrer 1. GA AC FE DE GE par substitution car CB GA et GF DE 2. GA AC EF DE GE car EF est le vecteur opposé à FE 3. GA AC CD DE GE par substitution car EF CD 4. GC CE GE d'après la loi de Chasles GA AC GC et CD DE CE 5. GE GE d'après la loi de Chasles GC CE GE %CE% Page 5 Guide 17 Page 6 Exemple d'une démarche appropriée AC AB BC relation de Chasles BD BC CD relation de Chasles Produit scalaire = AB BC BC AB AC BD = AB BC BC CD = AB BC AB = - AB 2 BC 2 = - AB = c2 c2 =0 Puisque %CE% AC BD 0, 2 BC 2 car CD - AB BC AB définition d'un losange distributivité 2 BC 2 définition du produit scalaire c = longueur d'un côté du losange AC BD Théorème du produit scalaire Guide 18 Page 7 Exemple d’une démarche appropriée Composantes du vecteur AB AB = (400 150, 200 125) = (250, 75) Composantes du vecteur manquant v ? AB B ? AB v AB ? = (250, 75) (20, -15) ? = (250 20, 75 + 15) A ? = (230, 90) v ? Orientation du vecteur manquant 90 tan = 230 21,37 ? 90 km 230 km Résultat Au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B est de 21. Notes Ne pas pénaliser l’élève qui n’a pas arrondi le résultat final ou qui a fait une erreur en l’arrondissant. L’élève qui utilise une stratégie pertinente pour déterminer les composantes du vecteur manquant montre une compréhension partielle du problème. %CE% Guide 19 Page 8 Exemple d'une démarche appropriée Mesure de l'angle A m A = 180 80 = 100 car deux angles consécutifs dans un parallélogramme sont supplémentaires. Frés 100 N A 100 Force résultante (grandeur) 2 Frés 50 N 120 40 = 502 + 1002 2(50)(100) cos 100 Frés 119,3N Orientation de la force résultante sin 100 sin θ 119,3 50 sin θ 0,412 74 θ 24,38 L'orientation est de 24,38 + 40, soit environ 64,38. Résultat %CE% Claude appliquera une force de 119,3N avec une orientation de 64,38. Guide 20 Exemple d'une démarche appropriée 100, 150 x, y 120, 160 100 x, 150 y 120, 160 Soit x, y le vecteur vent y (km) sans vent 100 avec vent d’où 100 + x = 120 150 + y = 160 Alors et et x = 20 y = 10 x, y 20, 10 20, 10 Résultat x (km) 100 Ville A Vitesse du vent 21 Page 9 20 2 10 2 22,36 La vitesse du vent est de 22,36 km/h. Exemple d'une démarche appropriée Soit u le vecteur résultant Norme du vecteur résultant 2 u = 82 + 502 2 8 50 cos 45 2 u 1998,31 u 44,7 θ u d Direction 44,7 8 sin 45 sin θ sin = 0,1266 = 7,3 270 - 7,3 = 262,7 Résultat %CE% v La vitesse réelle de la montgolfière est 44,7 km/h dans une direction de 262,7. Guide 22 Page 10 Exemple d'une démarche appropriée Traçons le vecteur w. Puisque les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires, 180 60 = 120 Calculons la norme. 2 w 2 2 12 + 32 2(1)(3) cos 120 2 13 w w u 3v w 13 3,6 Résultat %CE% La norme du vecteur w est de 3,6 unités. 120 w v 60 u %CE% Mat 5110 Mathématique, 5e sec. Exercices complémentaires Questionnaire Introduction aux vecteurs Questionnaire 1 Page 1 E Soit le prisme droit à base rectangulaire ci-contre. F B A H G D C Quel vecteur est égal à la résultante de l'expression AD + HE + AE ? A) DH C) FB B) BE D) BC %CE% Questionnaire 2 Page 2 Soit u , v et w , trois vecteurs. v = (-2, -3) u et w sont représentés dans le plan cartésien suivant : y w u x Parmi les affirmations suivantes, laquelle est VRAIE? A) v et - u sont des vecteurs opposés. B) u et v sont des vecteurs équipollents. C) w et ( v + w ) sont perpendiculaires. D) u et 3 v sont colinéaires. %CE% Questionnaire 3 Page 3 Soit le parallélogramme PQRS Q P Laquelle des propositions suivantes est FAUSSE? A) PQ QR PR B) RP SP RS C) PS SR RP D) SQ QR RS O %CE% R S Questionnaire 4 Page 4 Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme et M est le point de rencontre de ses diagonales. S Antoine fait les affirmations ci-dessous sur les opérations vectorielles : 1) ST SR 2MU 2) UT UR 2SM 3) RS RU RT 4) MT MR MS MU 0 5) SR ST RT T M R U Lesquelles de ces affirmations sont vraies? A) 1, 2 et 3 seulement C) 2, 4 et 5 seulement B) 1, 2 et 5 seulement D) 1, 3 et 4 seulement %CE% Questionnaire 5 Page 5 Soit u 9, 2 et v a, b , deux vecteurs qui constituent une base vectorielle. Le vecteur w = (24, 16) peut être exprimé par la combinaison linéaire suivante : w 2u 3v . Quelles sont les composantes du vecteur v? %CE% Questionnaire 6 Page 6 Soit u et v , deux vecteurs non nuls. Lequel des énoncés suivants est FAUX? A) uvvu C) 2 u v 2u 2v B) 2u 3v 6v u D) 2u 3v 3u 2v %CE% Questionnaire 7 En tenant compte des éléments ci-dessous, a et b sont des vecteurs non nuls du plan ab k est un scalaire non nul k1 Lequel des énoncés suivants est vrai? A) k(a b) ka kb B) k(a b) ka k b C) si a b 0 alors a et b sont colinéaires D) si a = k b alors a et b sont non colinéaires %CE% Page 7 Questionnaire 8 Page 8 Pour construire les pyramides, les Égyptiens utilisaient un système de poulie très ingénieux afin de transporter les blocs de pierre. Ils appliquaient une force orientée de 26 sur les blocs de pierre afin de minimiser le travail nécessaire à leur déplacement. (Le travail (Nm) est défini comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement.) 1500 N 26 200 m Quel travail, arrondi au Nm le plus près, est nécessaire pour déplacer un bloc de pierre horizontalement, sur une distance de 200 m, si on lui applique une force de 1500 N orientée de 26? A) 131 511 Nm C) 228 768 Nm B) 194 076 Nm D) 269 638 Nm %CE% Questionnaire 9 Soit les vecteurs u et v définis ci-dessous. u AB où A(-2, 3) et B(6, 7) v (4, - 4) Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v? %CE% Page 9 Questionnaire 10 Page 10 Les vecteurs u et v sont représentés dans le plan cartésien ci-dessous. u AB où A(3, 4) et B(8, 14) y B v CD où C(8, 1) et D(5, -5) u A• •C v Quel est le produit scalaire des vecteurs u et v? %CE% D x Questionnaire 11 Page 11 Soit u et v , deux vecteurs représentés dans le plan cartésien ci-dessous. y 1 v 1 u Quelle est la mesure de l'angle, au centième près, entre ces vecteurs? Laissez les traces de votre démarche. %CE% x Questionnaire 12 Soit le prisme droit ci-contre. Page 12 H E D G F C A B Laquelle de ces affirmations est FAUSSE? A) BC GF 0 C) AB AD 0 B) AB FE 0 D) EH HF FG EG 0 %CE% Questionnaire 13 Page 13 Considérons le rectangle ABCD illustré ci-dessous. A B D C Lequel des énoncés suivants est vrai? A) DA AB AC C) AB BC DC CB B) AB BC AC D) AB AD AB BC %CE% Questionnaire 14 Page 14 Soit l'hexagone régulier illustré ci-contre B C où AB = a et BC = b . A D F Démontrez l'identité suivante : AB AC DE EF a Laissez les traces de votre démarche. %CE% E Questionnaire 15 Page 15 Dans le quadrilatère ABCD représenté ci-dessous, les points M, N, O et P sont les points milieux respectifs des segments AB, BC, CD et DA. A M N C B P O D Soit la proposition suivante : les milieux des côtés de tout quadrilatère sont les sommets d'un parallélogramme. À l'aide de la figure ci-dessus, démontrez cette proposition. Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 16 Page 16 Dans le polygone ci-dessous, ABCDG est un carré. D et G sont respectivement les points milieu des côtés CG et AF. De plus, le côté AB est parallèle au côté EF. B C D A G E F À l'aide des propriétés des vecteurs, montrez que CB AC FE GF GE . Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 17 Page 17 Soit le losange ABCD ci-contre. À l'aide des vecteurs, démontrez la proposition suivante : « Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. » Laissez les traces de votre démarche. %CE% B A C D Questionnaire 18 Un avion quitte l’aéroport A et doit se rendre à l’aéroport B. Dans le plan cartésien ci-contre, ces aéroports sont représentés respectivement par les points A et B. Ce plan est gradué en kilomètres. Durant le vol, l’avion est soumis à un vent constant. Ce vent est représenté par le vecteur v = (20, -15). Page 18 N E O y S B (400, 200) A (150, 125) x Le pilote oriente donc l’avion de manière à annuler l’effet du vent. Quelle est, au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B? Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 19 Page 19 Pierre et Marie tirent sur un objet. Ils appliquent respectivement des forces de 100N et 50N, avec des orientations différentes, soit 40 et 120. La situation est représentée ci-dessous. 100 N 50 N 120 40 Claude leur propose de les remplacer. Quelle force Claude doit-il appliquer pour produire le même effet sur l'objet (grandeur et orientation)? Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 20 Page 20 Un bimoteur se déplace d’une ville A à une ville B. Dans un plan cartésien graduée en kilomètre, la ville A est située à l’origine et la ville B, au point (100, 150). S’il n’y a pas de vent, le vol entre les villes A et B dure une heure. Mais malheureusement, il y a du vent. Si le pilote du bimoteur ne corrige pas sa direction, il se retrouvera au point (120, 160) après une heure de vol. Quelle est la vitesse du vent? Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 21 Page 21 Un dirigeable se dirige vers le sud à une vitesse de 50 km/h. Il est dévié par un vent de 8 km/h provenant du sud-est. Quelle est la vitesse réelle du dirigeable et quelle est sa direction, si cette direction est celle de la résultante? N N-O N-E O E S-O S-E S Laissez les traces de votre démarche. %CE% Questionnaire 22 Deux vecteurs unitaires u et v forment un angle de 60 l’un par rapport à l’autre. Page 22 v Quelle est la norme du vecteur w si w u 3v ? Laissez les traces de votre démarche. %CE% 60 u %CE% Mat 5110 Mathématique, 5e sec. Exercices complémentaires Cahier de réponses Introduction aux vecteurs Nom de l'élève Groupe Date Cahier de réponses 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 Les composantes du vecteur v sont ______________________________________. 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 Le produit scalaire des vecteurs u et v est __________. 10 Le produit scalaire des vecteurs u et v est __________. 11 Démarche Résultat L'angle entre ces vecteurs mesure ____________. 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] %CE% Page 1 Cahier de réponses 14 Page 2 Démarche B C Hypothèses : 1. ABCDEF est un hexagone régulier A 2. D AB = a BC = b F E Conclusion : AB AC DE EF a . Affirmations %CE% Justifications Cahier de réponses 15 Démarche 16 Montrez que Page 3 CB AC FE GF GE B C D A %CE% G E F Cahier de réponses 17 Page 4 Démonstration B A C D %CE% Cahier de réponses 18 Page 5 Démarche N E O y S B (400, 200) A (150, 125) x Résultat %CE% Au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à l’avion pour atteindre l’aéroport B est de __________ . Cahier de réponses 19 Page 6 Démarche 100 N 50 N Résultat %CE% 120 40 Claude doit appliquer une force de ______ N avec une orientation de ______. Cahier de réponses 20 Page 7 Démarche y (km) 100 Ville A Résultat %CE% La vitesse du vent est de _______________ km/h. 100 x (km) Cahier de réponses 21 Démarche Résultat La vitesse réelle du dirigeable est __________ km/h. dans une direction de __________°. %CE% Page 8 Cahier de réponses 22 Page 9 Démarche v 60 u Résultat %CE% La norme du vecteur w est de _______________ unités.