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Formalisme tensoriel
Denis Gialis∗
Ces pr´ eliminaires math´ ematiques n’ont pour but que de pr´ eparer le lecteur au lan-
gage de la th´ eorie de la Relativit´ e (Restreinte et G´ en´ erale). Ils essaient de faire une
synth` ese des notions, d´ efinitions, et th´ eor` emes qu’il faut connaˆ ıtre avant de pouvoir
aller plus loin.
1Les espaces vectoriels et affines
Les vecteurs sont parmi les objets math´ ematiques les plus utilis´ es par les physi-
ciens. Ils permettent, notamment, d’exprimer des grandeurs physiques auxquelles on
associe une direction (et un sens) dans l’espace.
1.1 D´ efinition
Un espace vectoriel sur K(avec K=Rou Cg´ en´ eralement...) est un ensemble non
vide Emuni :
1. D’une loi de composition interne, not´ e+et appel´ ee addition , telle que (E, +)
soit un groupe commutatif.
2. D’une loi de composition externe, application de K×Edans E, not´ ee ·et appel´ ee
produit externe , qui est commutative, associative et distributive par rapport ` a
l’addition. Elle poss` ede en outre un ´ el´ ement neutre, not´ e 1.
C’est ainsi que l’on d´ efinit les vecteurs comme les ´ el´ ements d’un tel ensemble muni
d’une structure d’espace vectoriel.
Supposons que l’on ne puisse trouver au maximum qu’un nombre fini, n, de vecteurs
lin´ eairement ind´ ependants . L’espace vectoriel est alors de dimension finie, cette dimen-
sion
´
etant, par d´ efinition, ´ egale ` an. Par ailleurs, ces nvecteurs, que l’on notera eiavec
i∈J1, nK, constituent une base B, not´ ee {ei}i∈J1,nK, de l’espace vectoriel, dont on
dira qu’il est isomorphe ` aKn. Aussi, il est facile de montrer que la d´ ecomposition d’un
vecteur quelconque de Esuivant la base {ei}i∈J1,nKest unique. Un vecteur xde E
s’´ ecrira :
x=x1e1+... +xnen=
n
X
i=1
xiei,(1)
∗Docteur en Astrophysique - Universit´
e J. Fourier, Grenoble.
1

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o` u les ´ el´ ements {xi}i∈J1,nKappartiennent ` aKet sont appel´ es coordonn´ ees contrava-
riantes du vecteur x.
Enfin, les vecteurs sont souvent associ´ es ` a des points d’un espace quelconque. On ap-
pelle espace affine ou espace ponctuel , un couple (E, E)dans lequel Eest un ensemble
non vide dont les ´ el´ ements s’appellent les points , et Eest un espace vectoriel sur K, tel
qu’il existe une loi E × E→ E, not´ ee +telle que ;
(1) Pour tout M∈ E, l’application x7→ M+xest une bijection de Esur E,
(2) Pour tout M∈ E et (x,y)∈E2,(M+x) + y=M+ (x+y).
Eest l’espace vectoriel associ´ e` a l’espace affine (E, E). L’espace affine sera not´ e abu-
sivement Eet pourra mˆ eme ˆ etre confondu avec E. Tout couple de points (M, N)de E
est un bi-point : un unique vecteur xde Elui est associ´ e, on le note −−→ MN.
1.2 La notation d’Einstein
La notation d’Einstein permet d’all´ eger l’´ ecriture de l’´ equation (1) qui devient sim-
plement
x=xiei.(2)
Autrement dit, la r` egle est la suivante : la r´ ep´ etition de la lettre i, une et une seule fois en
exposant et, une et une seule fois en indice, implique automatiquement une sommation
pour iallant de 1 ` an. Nous allons voir, dans les paragraphes suivants, la diff´ erence de
sens entre une lettre plac´ ee en indice et une lettre plac´ ee en exposant. Dans la suite,
nous utiliserons cette notation.
1.3 Les changements de bases
Consid´ erons une seconde base B0de Ed´ efinie par B0={e0
i}i∈J1,nK. La matrice
de passage P, ou matrice de changement de base , de la base Bvers la base B0est
telle que sa j-i` eme colonne (j∈J1, nK) repr´ esente le j-i` eme vecteur de la base B0
d´ ecompos´ e dans la base B. En notant P= (Pi
j)(i,j)∈J1,nK2cette matrice, on aura, pour
tout j∈J1, nK,
e0
j=Pi jei(3)
De mˆ eme, la matrice inverse de P, not´ ee Λ, permet d’´ ecrire, avec les mˆ emes notations,
ej= Λi
je0 i(4)
Pour un vecteur quelconque xde E, la d´ ecomposition dans chacune des bases donne
x=xiei=x0ie0
i.(5)
On d´ eduit donc facilement les relations suivantes :
xi=Pi
jx0j,(6)
x0i= Λi
jxj.(7)
Si une grandeur physique a des composantes qui ob´ eissent ` a ces deux derni` eres rela-
tions, alors cette grandeur peut ˆ etre repr´ esent´ ee par un vecteur.
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1.4 Les applications lin´ eaires
Soient Eet Fdeux K-espace vectoriel, une application fde Edans Fest dite
lin´ eaire si et seulement si, ∀(x,y)∈E2et ∀λ∈K,
(1) f(x+y) = f(x) + f(y),(8)
(2) f(λx) = λx.(9)
Si E=F, l’application lin´ eaire fest un endomorphisme. Sa matrice associ´ ee, M=
(Mi
j)(i,j)∈J1,nK2, relativement `
a une base B={ei}i∈J1,nKde Eest telle que sa j-i` eme
colonne (j∈J1, nK) repr´ esente f(ej). Avec les notations du paragraphe pr´ ec´ edent, un
changement de base aura pour cons´ equence de modifier tous les coefficients Mi
jde M.
Suivant la nouvelle base B0={e0
i}i∈J1,nK, la nouvelle matrice associ´
ee ` af, not´ ee M0,
sera d´ efinie par la relation :
M0= Λ M P . (10)
1.5 Les formes lin´ eaires
Par d´ efinition, une forme lin´ eaire sur Eest une application lin´ eaire de Edans K.
L’ensemble des formes lin´ eaires sur Eest un espace vectoriel. Cet espace est appel´ e
dual de E, et il est souvent not´ eE?. Une forme lin´ eaire φde E?s’´ ecrira, par exemple,
φ:E→K
x7→ φ(x) =< φ, x>(11)
Si Eest de dimension nalors E?est ´ egalement de dimension n, et, ` a toute base B=
{ei}i∈J1,nKde Eest associ´ ee une base B?={φi}i∈J1,nKde E?, dite base duale , telle
que, pour tout (i, j)∈J1, nK2:
φi(ej) = δi
j,(12)
avec δi
j, le symbole de Kronecker, qui est ´
egal ` a 1 si i=jet 0 sinon.
Pour un vecteur quelconque de E,x=xiei, on a donc
φi(x) = xi.(13)
La forme lin´ eaire φisera tr` es souvent not´ ee dxi.
Enfin, toute forme lin´ eaire ωde E?peut se d´ ecomposer dans la base B?,
ω=ωiφi,(14)
o` u les ωisont appel´ es coordonn´ ees covariantes de la forme lin´ eaire ω.
Tout changement de base dans E, comme celui du paragraphe (1.3), entraˆ ınera un
changement de la base duale. Les nouveaux vecteurs de la base duale B?associ´ ee ` a la
nouvelle base de Eseront d´ efinis par
φ0i= Λi
jφi,(15)
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pour tout i∈J1, nK. Ainsi, les coordonn´ ees covariantes d’une forme lin´ eaire ωde E?
se transformeront, pour tout j∈J1, nK, suivant la relation
ω0
j=Pi jωi.(16)
Elles suivent donc la mˆ eme loi de transformation que les vecteurs de la base B: cela
justifie l’adjectif co -variantes.
La matrice M= (Mi
j)(i,j)∈J1,nK2, associ´
ee ` a un endomorphisme fde E, sera simple-
ment telle que
Mi
j=< φi, f(ej)> , (17)
et, ∀x∈E, l’image de xpar fsera
f(x) = Mi
jφj(x)ei.(18)
Enfin, on d´ eduit les coefficients de la nouvelle matrice, M0, issue d’un changement de
base :
M0i
j= Λr iPj sMs r.(19)
2Les espaces tensoriels
La notion de tenseurs constitue une g´ en´ eralisation des notions de vecteurs et de
formes lin´ eaires. L’utilisation de tels objets math´ ematiques est l’une des premi` eres dif-
ficult´ es que l’on rencontre lorsque l’on souhaite manipuler les ´ equations de la th´ eorie
de la relativit´ e et, plus g´ en´ eralement, les ´ equations pr´ esentes dans de nombreux do-
maines de la physique th´ eorique. Les lecteurs souhaitant une pr´ esentation tr` es formelle
des tenseurs et des d´ emonstrations rigoureuses concernant les r´ esultats que nous allons
donner dans ce paragraphe, pourront consulter l’excellent ouvrage de L. Schwartz [1].
2.1 Produit tensoriel d’espaces
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie. On montre qu’il existe un
ensemble unique (` a un isomorphisme pr` es) , que l’on note E⊗Fet qui est appel´ e es-
pace produit tensoriel , tel que, pour tout espace vectoriel G, l’espace des applications
lin´ eaires de E⊗Fdans Gest isomorphe ` a l’espace, not´ eB(E×F, G), des applications
bilin´ eaires de E×Fdans G(voir une d´ emonstration dans [2]).
Ainsi, lorsque G=K, l’espace produit tensoriel E?⊗F?est isomorphe ` aB(E×F, K).
De mˆ eme, d’apr` es les propri´ et´ es du dual, l’espace produit tensoriel E⊗Fest isomorphe
`
aB(E?×F?,K).
Par d´ efinition, les ´ el´ ements appartenant ` a un espace produit tensoriel tel que G=K
sont appel´ es tenseurs .
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Par exemple, si {ei}i∈J1,nKest une base de Eet si {fj}j∈J1,mKest une base de F, alors
un tenseur Tde E?⊗F?peut ˆ etre d´ efini comme une application ou forme bilin´ eaire
T:E×F→K
(x,y)7→ T(x,y)(20)
telle que
T(x,y) = Tab < φa,x> < ψb,y>
=Tab xayb(21)
o` u{φi}i∈J1,nKet {ψj}j∈J1,mKsont respectivement les bases duales des bases de E
et Fpr´ ec´ edemment d´ efinies. Une base de E?⊗F?, not´ ee {²ij }(i,j)∈J1,nK×J1,mK, sera
telle que, ∀(i, j)∈J1, nK×J1, mK, on a
²ij =φi⊗ψj=< φi, . > < ψj, . > . (22)
Les nombres Tij sont donc les coordonn´ ees du tenseur Tdans la base {²ij }(i,j)∈J1,nK×J1,mK;
T=Tij φi⊗ψj=Tij ²ij .(23)
On peut aussi ´ ecrire que Tij =T(ei,fj).
Dans la suite, nous consid` ererons uniquement le cas o ` uE=F.
Remarque : La loi ⊗est, par d´ efinition, distributive par rapport ` a l’addition des vec-
teurs ou des formes lin´ eaires et associative avec la multiplication par un scalaire. En
revanche, cette loi n’est pas commutative.
2.2 D´ efinition g´ en´ erale d’un tenseur
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Une forme multilin´ eaire est, par
d´ efinition, une application de Endans K(o` unun entier >1) qui est lin´ eaire par
rapport ` a chacune de ses variables. Autrement dit, pour tout n > 1entier, une forme
multilin´ eaire fsur Enest telle que, ∀k∈J1, nK,∀(x1, . . . , xn)∈En,
f(x1, . . . , a xk+bx0
k, . . . , xn) = a f(x1, . . . , xn) + b f(x1, . . . , x0 k,...,xn),(24)
pour tout (a, b)∈Ket tout x0
k∈E. On dit ´
egalement que fest une forme n-lin´ eaire .
Remarque : il ne faut pas confondre les formes multilin´ eaires sur Enavec les formes
lin´ eaires de Endans K. Pour une application f:En→Klin´ eaire, on aura
f(ax1+bx0
1, . . . , a xn+bx0 n) = a f(x1, . . . , xn) + b f(x0 1, . . . , x0 n).(25)
Par d´ efinition, un tenseur Tde type (ou d’ordre) (`
k)est une application ou
forme
multilin´ eaire telle que
T:E?×. . . ×E?
| {z }
`fois
×E×...×E
| {z }
kfois
→K
(ω1, . . . , ω`,x1, . . . , xk)7→ T(ω1, . . . , ω`,x1, . . . , xk)(26)
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