Travaux dirigés de mécanique des fluides (1)
publicité
Master STE Mécanique des fluides 2007 / 2008 Travaux dirigés de mécanique des fluides (1) 1 Cinématique : le tenseur taux de déformation Dij (~x, t) ⇒→ = Le tenseur D (− x , t) joue un rôle important en mécanique des fluides. L’objectif de cet exercice est de rappeler son sens physique en le reliant à la notion simple de « vitesse de déformation relative », ce qui justifie son appellation de « taux de déformation ». Pour cela, on rappelle qu’un milieu idéal indéformable est tel que deux « particules de matière »quelconques qui lui sont liées gardent une distance constante au cours du temps. À l’inverse, cela cesse d’être vrai quand le milieu peut se déformer. En outre, la déformation du milieu peut être différente d’une portion de matière à une autre, de sorte que cette notion a nécessairement un caractère local. Considérons, de ce point de vue, deux particules fluides situées à l’instant t aux points M et → → → → → M ′ repérés respectivement par les vecteurs − x et − x + d− x , où le champ de vitesse est − v (− x , t) − → − → − → et v ( x + d x , t). Leur distance ds est définie par → ds2 = (d− x )2 = dx dx , i i −−−→ → où d− x = M M ′ . Si le milieu se déforme au cours du temps au voisinage de M , il existe des points M ′ pour lesquels cette distance varie lorsque les particules fluides sont suivies pendant dt, ce qui conduit à la variation : → → d(ds2 ) = 2d− x · d(d− x ). 1. En notant M1 et M1′ les nouvelle positions des particules fluides à l’instant t + dt, qui −−−−→ → → définissent M1 M1′ = d− x + d(d− x ), montrer que → → d(d− x ) = d− v dt, où les différentielles des champs sont purement spatiales. 2. (a) En déduire qu’alors : d 2 ds = 2Dij dxi dxj , dt où on a posé ∂vj 1 ∂vi Dij = + , 2 ∂xj ∂xi qui représente la partie symétrique du gradient de vitesse en coordonnées cartésiennes. (b) Dans le cas particulier où les particules fluides sont telles qu’à l’instant t, on ait → → d− x = ds− x 1 , justifier l’interprétation de la composante D11 comme « taux de déformation relative ». 2 Cinématique : le tenseur taux de rotation et la vorticité L’exercice 1 interprète la partie symétrique du gradient de vitesse comme un taux local de déformation. Nous souhaitons montrer ici que la partie antisymétrique du gradient de vitesse est associée à un taux local de rotation. Raisonnons en coordonnées cartésiennes, et posons ∂vj 1 ∂vi − → − → − . Ωij ( x , t) = −Ωji ( x , t) = 2 ∂xj ∂xi 1/2 [email protected] Master STE Mécanique des fluides 2007 / 2008 Les notations sont celles de l’exercice 1. La différentielle spatiale du champ de vitesse à un instant t fixé s’écrit ⇒→ = ⇒→ = → → → → → → → → → → d− v = D(− x , t) · d− x + Ω (− x , t) · d− x =− v (− x + d− x , t) − − v (− x , t) = − v (M ′ , t) − − v (M, t), et représente la vitesse relative de la particule fluide située au point M ′ , vis-à-vis de celle qui est située au point M . On pose ⇒→ = → → d− v = Ω (− x , t) · d− x Ω ⇒ = pour la partie de cette vitesse relative qui est associée à Ω . 1. Montrer que l’on peut écrire 1 −→→ → → → → → → d− vΩ=− ω (− x , t) ∧ d− x , où − ω (− x , t) = rot− v. 2 → → 2. Dans le plan perpendiculaire en M à − ω (− x , t), considérons les quatre points de la figure → ci-dessous, équidistants et infiniment voisins de M . En raisonnant avec d− v Ω en chacun − → − → de ces points, en déduire que ω ( x , t) représente le taux de rotation local autour du point M du domaine matériel lié à ces quatre points. → ∀d− x, − → → → ω (− x , t) = − ω (M, t) • M2′ • M3′ • M • M4′ 3 • M1′ Outils mathématiques : manipulation d’opérateurs → → Soit un champ scalaire A(x, y, z) = 3x−z 2 et un champ vectoriel − u = (7y−4x2 ) − x 1 − (3z 2 + − → − → 4y + 5x) x 2 − (8z 3 − 6y 2 ) x 3 . −−→ →→ −→→ − → 1. Calculer gradA, div− u , rot− u et ∆ − u. 2. Vérifier 3. Vérifier −−→ → → → div(A− u ) = Adiv− u +− u · gradA. − →→ → div ∆ − u = ∆div− u. −−→→ → 4. Calculer − u · grad− u. Répéter cet exercice dans un système de coordonnées cylindriques (s, φ, z) avec les champs → → → e φ. A(s, φ, z) = s sin2 φ et − u (s, φ, z) = s cos φ− e s + z2− 4 Outils mathématiques : formule de Lamb Démontrer l’égalité suivante −→→ − −−→→ −−→ − − → v · grad− v = grad → v 2 /2 + rot− v ∧→ v. 2/2 [email protected]
