Travaux dirigés de mécanique des fluides (1)

Master STE M´ecanique des fluides 2007 / 2008
Travaux dirig´es de m´ecanique des fluides (1)
1 Cin´ematique : le tenseur taux de d´eformation Dij(~x, t)
Le tenseur =⇒ D(−→ x , t) joue un rˆole important en m´ecanique des fluides. L’objectif de cet exercice
est de rappeler son sens physique en le reliant `a la notion simple de «vitesse de d´eformation
relative », ce qui justifie son appellation de «taux de d´eformation ».
Pour cela, on rappelle qu’un milieu id´eal ind´eformable est tel que deux «particules de
mati`ere »quelconques qui lui sont li´ees gardent une distance constante au cours du temps.
`
A l’inverse, cela cesse d’ˆetre vrai quand le milieu peut se d´eformer. En outre, la d´eformation
du milieu peut ˆetre diff´erente d’une portion de mati`ere `a une autre, de sorte que cette notion
a n´ecessairement un caract`ere local.
Consid´erons, de ce point de vue, deux particules fluides situ´ees `a l’instant taux points Met
M′rep´er´es respectivement par les vecteurs −→ xet −→ x+d−→ x, o`u le champ de vitesse est −→ v(−→ x , t)
et −→ v(−→ x+d−→ x , t). Leur distance ds est d´efinie par
ds2= (d−→ x)2=dxidxi,
o`u d−→ x=−−−→ MM′. Si le milieu se d´eforme au cours du temps au voisinage de M, il existe des
points M′pour lesquels cette distance varie lorsque les particules fluides sont suivies pendant
dt, ce qui conduit `a la variation :
d(ds2) = 2d−→ x·d(d−→ x).
1. En notant M1et M′
1les nouvelle positions des particules fluides `a l’instant t+dt, qui
d´efinissent −−−−→ M1M′
1=d−→
x+d(d−→ x), montrer que
d(d−→ x) = d−→ v dt,
o`u les diff´erentielles des champs sont purement spatiales.
2. (a) En d´eduire qu’alors :
d
dtds2= 2Dij dxidxj,
o`u on a pos´e
Dij =1
2∂vi ∂xj
+∂vj
∂xi
,
qui repr´esente la partie sym´etrique du gradient de vitesse en coordonn´ees cart´esiennes.
(b) Dans le cas particulier o`u les particules fluides sont telles qu’`a l’instant t, on ait
d−→ x=ds−→ x1, justifier l’interpr´etation de la composante D11 comme «taux de
d´eformation relative ».
2 Cin´ematique : le tenseur taux de rotation et la vorticit´e
L’exercice 1 interpr`ete la partie sym´etrique du gradient de vitesse comme un taux local de
d´eformation. Nous souhaitons montrer ici que la partie antisym´etrique du gradient de vitesse
est associ´ee `a un taux local de rotation. Raisonnons en coordonn´ees cart´esiennes, et posons
Ωij (−→ x , t) = −Ωji(−→ x , t) = 1
2∂vi ∂xj
−∂vj
∂xi.
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Les notations sont celles de l’exercice 1. La diff´erentielle spatiale du champ de vitesse `a un
instant tfix´e s’´ecrit
d−→ v==⇒ D(−→ x , t)·d−→ x+=⇒ Ω (−→ x , t)·d−→ x=−→ v(−→ x+d−→ x , t)−−→ v(−→ x , t) = −→ v(M′, t)−−→ v(M, t),
et repr´esente la vitesse relative de la particule fluide situ´ee au point M′, vis-`a-vis de celle qui
est situ´ee au point M. On pose
d−→ vΩ==⇒ Ω (−→ x , t)·d−→ x
pour la partie de cette vitesse relative qui est associ´ee `a =⇒ Ω .
1. Montrer que l’on peut ´ecrire
∀d−→ x , d−→ vΩ=−→ ω(−→ x , t)∧d−→ x , o`u −→ ω(−→ x , t) = 1
2
−→
rot−→ v .
2. Dans le plan perpendiculaire en M`a −→ ω(−→ x , t), consid´erons les quatre points de la figure
ci-dessous, ´equidistants et infiniment voisins de M. En raisonnant avec d−→ vΩen chacun
de ces points, en d´eduire que −→ ω(−→ x , t) repr´esente le taux de rotation local autour du
point Mdu domaine mat´eriel li´e `a ces quatre points.
•
•
•
•
•
M′
4
M′
1
M′
2
M′
3
M
−→
ω(−→ x , t) = −→ ω(M, t)
3 Outils math´ematiques : manipulation d’op´erateurs
Soit un champ scalaire A(x, y, z) = 3x−z2et un champ vectoriel −→ u= (7y−4x2)−→ x1−(3z2+
4y+ 5x)−→ x2−(8z3−6y2)−→ x3.
1. Calculer −−→ gradA, div−→ u,−→ rot−→ uet −→ ∆−→ u.
2. V´erifier
div(A−→ u) = Adiv−→ u+−→ u·−−→ gradA.
3. V´erifier
div−→ ∆−→ u= ∆div−→ u .
4. Calculer −→ u·−−→ grad−→ u.
R´ep´eter cet exercice dans un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (s, φ, z) avec les champs
A(s, φ, z) = ssin2φet −→ u(s, φ, z) = scos φ−→ es+z2−→ eφ.
4 Outils math´ematiques : formule de Lamb
D´emontrer l’´egalit´e suivante
−→
v·−−→ grad−→ v=−−→ grad −→ v2/2+−→ rot−→ v∧−→ v .
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