probabilites et analyse

Kholles ECE1 exercices de probabilité 1
ENSEMBLE ET PROBABILITE.
Cours:
Soit E un ensemble, qu‘appelle-t-on partition de E. Donner un exemple de partition
de E que l‘on peut construire avec un élément x de E, une partie A de E. Donner une
partition à 3 éléments de .
Exercice1:
Deux urnes U1 et U2 de même apparence extérieure contiennent des boules rouges
et des boules vertes indiscernables au toucher.
L’urne U1 contient 3 rouges et 2 vertes et l’urne U2 2 rouges et 1 verte.
On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne.
a) Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge?
b) On suppose que la boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle
provienne de l'urne U1?
Exercice2
Un système d'alarme fonctionne de la manière suivante: .
S'il y a danger, la probabilité que l'alarme se déclenche est 0,99 ; .
s'il n'y a aucun danger, l'alarme se déclenche(<< fausse alerte») avec une probabilité
de 0,005.
La probabilité qu'un danger se présente est 0,001.
L'alarme se déclenche.
Quelle est la probabilité que ce soit une fausse alerte?
Exercice3
Une urne contient trois pièces équilibrées.
Deux d'entre elles sont normales: elles possèdent une face «FACE»et une face
«PILE». La troisième, truquée, possède deux faces « FACE ».
On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante
des lancers successifs de cette pièce.
On considère les événements suivants:
P : « "PILE" au premier lancer» ;
Fn: « on obtient "FACE" pour les n premiers lancers».
a) Calculer la probabilité de l'événement P.
b) Donner l’expression de la probabilité de Fn en fonction de n.
c) Sachant que l'on a obtenu «FACE» pour les n premiers lancers, quelle est la
probabilité d'avoir pris la pièce truquée?
d) Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers +.

Kholles ECE1 exercices de probabilité 2
Cours:
A partir de l’expérience aléatoire : Le lancer d’un dé cubique (à six faces) et lecture
du chiffre de la face supérieure.
Donner l’ensemble , un événement élémentaire, un événement possible non
élémentaire, un événement impossible, un événement certain.
Si A et B sont 2 événements, comment représente-t-on en terme d’ensemble
l’évènement A et B est réalisé, A est réalisé mais pas B, A et B sont incompatibles.
Qu’appelle t-on système complet d’évènements ?
Exercice4
Un fumeur impénitent décide d'essayer de ne plus fumer. On admet que s'il ne fume
pas un jour donné, alors la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est 0,3. Par
contre, s'il succombe un jour donné, la probabilité qu'il ne fume pas le lendemain est
0,9.
On se propose de calculer la probabilité pn que cette personne ne fume pas le nième
jour en fonction de n et de p1 (probabilité qu'elle ne fume pas le 1erjour) et
d'examiner le comportement de pn lorsque n devient grand.
Soit Fn l'événement<<la personne fume le nième jour» et pn la probabilité de
l'événement contraire
Fn
.
1) Que vaut p(
Fn
/Fn-1) et p(
Fn
/
1n
F
)?
2) Déterminer une relation entre pn et pn-1 pour n>1.
3) Déterminer la limite de pn quand n tend vers +.
Exercice5
Aux échecs, Bobby bat ses amis: Xavier 7 fois sur 10 et Youri 6 fois sur 10. Le
tournoi suivant est organisé:
Bobby joue trois parties de suite alternativement contre ses deux amis. Il a la
possibilité de choisir l'ordre dans lequel il affronte ses adversaires. Il sera déclaré
vainqueur du tournoi s'il gagne deux parties consécutives. Quelle est la meilleure
stratégie à adopter par Bobby?

Kholles ECE1 exercices de probabilité 3
Cours:
Rappeler la définition de la probabilité conditionnelle. Qu’appelle t-on système
complet d’évènements? Rappeler la formule des probabilités totales.
Exercice 6
Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable ou baisser.
Dans un modèle mathématique, on considère que:
- le premier jour le titre est stable.
- si un jour n le titre monte, le jour n + 1 il montera avec la probabilité 1 -2a, restera
stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité a.
- si un jour n le titre est stable, le jour n+ 1 il montera avec la probabilité a, restera
stable avec la probabilité 1 - 2a et baissera avec la probabilité a.
- si un jour n le titre baisse, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera
stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité 1 - 2a.
On note Mn (resp. Sn, resp. Bn) l'événement "le titre donné monte (resp. reste
stable, resp. baisse) le jour n ".
(a) Exprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n + 1 en
fonction de ces mêmes probabilités au jour n.
(b) On pose pn = P(Mn), qn= P(Sn), rn=P(Bn).
Expliciter pn+1 (resp. qn+1) en fonction de pn, qn, rn.
(c) Que vaut pn + qn + rn?
En déduire l'expression de rn en fonction de pn et qn.
2. Montrer que la suite p (resp.q) est arithmético-géométrique.
En déduire pn, qn puis rn en fonction de n, p1, q1 et r1
3. Quelle est la limite de la suite p (resp. q, resp. r)?
Dans ce modèle, faut-il faire confiance à des analyses très pointues des pros de la
finance ou au bon vieux dicton normand « p’ete bien qu’oui, p’ete bien qu’non « ?

Kholles ECE1 exercices de probabilité 4
Cours:
Rappeler la définition de la probabilité conditionnelle. Qu’appelle t-on système
complet d’évènements? Rappeler la formule des probabilités totales.
Exercice 7 L’efficacité du vaccin
Le tiers d'une population a été vacciné contre une maladie. Au cours d'une épidémie,
on constate que, sur quinze malades, il y a deux personnes vaccinées.
1. Le vaccin est-il efficace ?
2. On suppose de plus que sur cent personnes vaccinées, huit sont malades.
Quelle est la proportion de malades dans la population ?
Exercice 8 Le feu tricolore
Un automobiliste arrive à proximité -disons une dizaine de mètres- d'un feu
tricolore. On suppose qu'aucun véhicule ne le précède. On suppose que, si le feu est
vert à ce moment là, l'automobiliste décide de passer avec une probabilité de
99/100. Si le feu est orange, l'automobiliste décide de passer avec une probabilité
de 3/10 et enfin si le feu est rouge, l'automobiliste décide de passer avec une
probabilité de 1/100 (quelques fous...). Le cycle du feu tricolore dure une minute :
vert : 25s, orange : 5s et rouge : 30s.
Soient A l'événement "l'automobiliste passe sans s'arrêter au feu" et V (resp O et
R) = "le feu est vert (resp orange et rouge)".
Quelle est la probabilité que l'automobiliste passe sans s'arrêter à ce feu tricolore ?
Exercice 8 Le test du sida
Un individu est tiré au hasard d'une population dans laquelle une personne sur 10000
est séropositive. On lui fait passer un test de dépistage de séropositivité.
Données :
· Si on est séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,99.
· Si on n'est pas séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,001.
On notera S l'événement "l'individu est séropositif" et T "le test est positif"
Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit
effectivement séropositive ?

Kholles ECE1 exercices de probabilité 5
Exercice 9
Une urne U1 contient trois boules noires et sept boules blanches.
Une urne U2 contient cinq boules noires et cinq boules blanches.
On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux
boules, avec remise, dans l'urne choisie. On note :
B1 l'événement "obtenir une boule blanche au premier tirage"
B2 l'événement "obtenir une boule blanche au second tirage"
Les événements B1 et B2 sont-ils indépendants ?