Exercice - Lycée Henri BECQUEREL

Correction du devoir commun de seconde
Exercice 1 : A) 1-a) - 3 x - 2  4  x²  9 car élever au carré des nombres négatifs change l’ordre
 5  x² + 1  10 car ajouter un nombre ne change pas l’ordre
2-b) 3 x 5 
Error!
Error!
Error!
car passer à l’inverse change l’ordre lorsque les nombres
sont de même signe
3-b) - 1 x 2  - 6  - 3x  3 car multiplier par un nombre négatif change l’ordre
 - 4  - 3x + 2  5 car ajouter un nombre ne change pas l’ordre
B) 4-d) La courbe représentative de f passe par le point de coordonnées ( - 3 ; 1) car f(- 3) = 1.
5-d) Si x [2 ; 5], alors f(x) 0 car f(2) = 0 et la fonction f est décroissante sur [2 ; 5].
6-d) Les solutions éventuelles de l’équation ( x – 1)2 = 4 sont – 1 et 3 car ((- 1) – 1)² = 4 et (3 – 1)² = 4
Exercice 2 :
1.
3 2 x - 3 x
Il faut que 3 – x 0  x 3.
0
x)- 3(3 x)-(3 2
-
x)- 3(3 3x 
0
x)- 3(3 x)-2(3-3x 
0
x)- 3(3 2x6-3x 
0
x)- 3(3 6-5x 
 5x – 6 = 0 avec x 3  x =
5
6
S = {
5
6
}
2. (2x + 4)(x + 1) – (x + 2)² = 0  2(x + 2)(x + 1) – (x + 2)(x + 2) = 0  (x + 2) [2(x + 1) – (x + 2)] = 0
 (x + 2)[2x + 2 – x – 2] = 0  (x + 2)x = 0  x + 2 = 0 ou x = 0  x = - 2 ou x = 0 S = {- 2 ; 0}
Exercice 3 :
1. x = AP longueur positive où P est un point de [AD] distinct de A et de D avec AD = 4. Donc x  ]0 ; 4[.
2. a) Par construction, (PI) et (MI) sont respectivement parallèles à (AM) et à (AP). AMIP est ainsi un
parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs AP et AM égaux avec un angle droit.
Donc AMPI est un carré.
b) Par construction, (IQ) et (IN) sont respectivement parallèles à (NC) et à (QC). CQIN est ainsi un
parallélogramme qui possède un angle droit QCN. Donc CQIN est un rectangle.
3. On note S1 l’aire du quadrilatère AMIP et S2 l’aire du quadrilatère CQIN.
a) S1 = AP ² = x² et S2 = QC x NC = (4 – x)(6 – x)
b) S1 = S2  (4 – x)(6 – x) = x²  24 – 4x – 6x + x² - x² = 0  24 – 10x = 0  x = 2,4
Le point P doit alors se trouver sur [AD] tel que AP = 2,4.
c) S1 < S2  (4 – x)(6 – x) < x²  24 – 4x – 6x + x² - x² < 0  24 – 10x < 0  -10x < - 24
 x > 2,4 avec x  ]0 ; 4[
Exercice 4 :
1. Dans le triangle ABC avec M point de (AB), N point de (AC) et (MN) parallèle à (AB), on peut appliquer
le théorème de Thalès :
MN
BC
AN
AC
AM
AB 
4
2x
6
AC
x
AB 
 4AB = = 2x² et 4AC = 12x  AB =
2
x²
et AC = 3x
Le périmètre du triangle ABC vaut alors p(x) = AB + BC + CA =
2
x²
+ 2x + 3x =
2 x²10x 
.
2. (x + 5)² - 49 = x² + 10x + 25 – 49 = x² + 10x – 24
3. p(x) = 12 
2 x²10x 
= 12  10x + x² = 24  x² + 10x – 24 = 0  (x + 5)² - 49 = 0
 (x + 5 – 7)(x + 5 + 7) = 0  (x – 2)(x + 12) = 0  x – 2 = 0 ou x + 12 = 0  x = 2 ou x = - 12
Comme x  ]0 ; 4[, alors il suffit que x = 2 pour que le périmètre du triangle ABC soit égal à 12.