REPRÉSENTATIONS LISSES DE GL m(D)

REPRÉSENTATIONS LISSES DE GLm (D)
IV : REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES
par
V. Sécherre & S. Stevens
Résumé. — Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit D une algèbre à division de centre F. Nous prouvons que
toute représentation irréductible supercuspidale du groupe GLm (D), de niveau
non nul, est l’induite compacte d’une représentation d’un sous-groupe ouvert
compact modulo le centre de GLm (D). Plus précisément, nous prouvons que
de telles représentations contiennent un type simple maximal au sens de [16].
Abstract. — Let F be a non Archimedean locally compact field and let D
be a central F-division algebra. We prove that any positive level supercuspidal
irreducible representation of the group GLm (D) is compactly induced from
a representation of a compact mod center open subgroup of GLm (D). More
precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in
the sense of [16].
Introduction
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit G
une forme intérieure de GLn (F), n > 1. C’est un groupe de la forme GLm (D),
où D est une F-algèbre à division, de dimension d2 sur son centre F, et où
n = md. Cet article, qui fait suite au travail entrepris par le premier auteur
dans [14, 15, 16], met un terme à la classification des blocs simples de la
catégorie des représentations lisses complexes de G au moyen de la théorie des
types de Bushnell et Kutzko.
Ce travail a bénéficié d’un financement de la part de l’EPSRC (grant GR/T21714/01).
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V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Notre résultat principal peut être formulé ainsi : si ρ est une représentation
irréductible supercuspidale de G, alors il existe un type pour la classe inertielle de ρ. En d’autres termes, nous prouvons qu’il existe un sous-groupe
ouvert compact J de G et une représentation irréductible λ de J telle que les
représentation irréductibles de G dont la restriction à J contient λ sont exactement celles qui sont équivalentes à ρ ⊗ χ pour un caractère non ramifié χ
de G. Plus précisément, nous prouvons qu’on peut choisir pour (J, λ) un type
simple maximal au sens de [16].
Le problème de la classification des représentations lisses complexes de G
par la théorie des types a déjà été abordé par plusieurs auteurs. Bien entendu,
il faut mentionner en premier lieu les travaux fondateurs de Bushnell et Kutzko
[7, 9] concernant le groupe déployé GLn (F), qui ont donné le ton à tous les
trauvaux ultérieurs sur le sujet. Ensuite, les premiers travaux concernant les
formes intérieures non déployées de GLn (F) sont ceux de E.-W. Zink [20] et
de Broussous [1] : tous deux donnent une classification des représentations de
GL1 (D), le premier lorsque F est de caractéristique nulle, le second sans restriction sur la caractéristique. Dans [12], Grabitz, Silberger et Zink traitent le cas
très particulier du niveau zéro, c’est-à-dire des représentations irréductibles de
GLm (D) possédant un vecteur non nul invariant par le sous-groupe 1+Mm (pD ),
où pD désigne l’idéal maximal de l’anneau des entiers de D. Concernant le
cas général, c’est-à-dire les représentations irréductibles de GLm (D) de niveau
quelconque, on trouve un certain nombre de résultats dans les travaux de
Broussous [2, 3, 4], Broussous-Grabitz [5] et Grabitz [10, 11].
Ce travail — les articles [14, 15, 16] auxquels vient s’ajouter le présent article — suit la méthode générale de construction de types élaborée par Bushnell
et Kutzko dans [7] et améliorée dans [8] par la théorie des paires couvrantes.
Décrivons-en brièvement l’organisation. On fixe une fois pour toutes une strate
simple [A, n, 0, β] de la F-algèbre Mm (D) (cf. Définition 1.18). Rappelons simplement ici que β est un élément de Mm (D) tel que la F-algèbre E = F[β] soit
un corps et que A est un OF -ordre héréditaire de Mm (D) normalisé par E× .
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
3
(i) Dans une première étape ([14]), on associe à la strate simple [A, n, 0, β]
un ensemble fini C (β, A) de caractères simples. Il s’agit de caractères définis
sur un certain sous-groupe ouvert compact H1 = H1 (β, A) de G jouissant de
remarquables propriétés de fonctorialité connues sous le nom de propriétés de
transfert. Plus précisément, si [A0 , n0 , 0, β] est n’importe quelle strate simple
d’une F-algèbre centrale simple dans laquelle est plongé E, il existe une bijection canonique de C (β, A) sur C (β, A0 ).
(ii) Dans une seconde étape ([15]), on construit, pour chaque caractère simple θ ∈ C (β, A), une famille finie de β-extensions. Il s’agit de représentations
irréductibles d’un sous-groupe ouvert compact J = J(β, A) de G dont la restriction à H1 (β, A) contient θ et — surtout — dont l’entrelacement est le même
que celui de θ.
(iii) Dans une troisième étape ([16]), lorsque A est un ordre principal, on
construit pour chaque β-extension κ d’un caractère simple θ ∈ C (β, A) une
famille finie de types simples. Ce sont des représentations irréductibles de
J(β, A) de la forme κ ⊗ σ, où σ est l’inflation à J(β, A) d’une représentation
irréductible supercuspidale du groupe réductif fini :
J(β, A)/J1 (β, A) ' GLs (k)r ,
où r, s sont des entiers > 1 tels que le produit rs divise m, où k est une
extension finie du corps résiduel de E et où σ est de la forme σ0⊗r , avec σ0
une représentation irréductible supercuspidale de GLs (k). Chaque type simple
(J(β, A), λ) ainsi construit est un type pour une classe inertielle simple de G de
la forme [Gr0 , ρ⊗r
0 ]G , où ρ0 est une représentation irréductible supercuspidale
du groupe G0 = GLm/r (D). L’algèbre de Hecke de G relative à λ est une
algèbre de Hecke affine. Plus précisément, elle est isomorphe à l’algèbre de
Hecke-Iwahori de GLr (K), où K est une extension non ramifiée de E dont le
corps résiduel est une extension de degré s de k.
(iv) La quatrième étape est celle qui occupe le présent article. L’objectif en
est l’exhaustion des représentations irréductibles supercuspidales par les types
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V. SÉCHERRE & S. STEVENS
simples. Plus précisément, nous prouvons le résultat suivant (cf. Théorème
5.21) :
Théorème : Soit ρ une représentation irréductible supercuspidale de niveau
non nul de G. Il existe un type simple maximal (J(β, A), λ), au sens de [16],
tel que la restriction de ρ à J(β, A) contienne λ.
On en déduit immédiatement, à partir de [16, Théorème 5.6], que si s =
[Gr0 , ρ⊗r
0 ]G est une classe inertielle simple de niveau non nul de G, c’est-à-dire
que r est un diviseur de m et ρ0 une représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul du groupe G0 = GLm/r (D), il existe un type simple
(J(β, A), λ) qui est un type pour s. La structure de l’algèbre de Hecke de G
relative à (J(β, A), λ) est donnée par [16, Théorème 4.6]. Comme mentionné
à l’étape (iii), elle est isomorphe à une algèbre de Hecke-Iwahori.
Nous passons maintenant à la description des méthodes utilisées. Notre
première tâche — qui est aussi la plus difficile — est de séparer les représentations irréductibles de niveau non nul de G en trois catégories, comme suit
(cf. Théorème 3.23) : une représentation irréductible de niveau non nul de
G contient ou bien une strate scindée, ou bien un caractère scindé, ou bien
un caractère simple θ ∈ C (β, A) pour une strate simple [A, n, 0, β] de A. (On
renvoie au §3.6 pour les définitions de strate scindée et de caractère scindé —
appelé type scindé dans [7].) Ce travail est déjà amorcé par Broussous [4],
qui prouve qu’une représentation irréductible de niveau non nul π de G ne
contenant pas de strate scindée contient un caractère simple de niveau m > 0,
c’est-à-dire la restriction d’un caractère simple θ ∈ C (β, A) à un sous-groupe
Hm+1 (β, A) éventuellement plus petit que H1 (β, A). Si m > 1, on cherche à
construire, en procédant par raffinement comme dans [7], un caractère simple
θ0 ∈ C (β, A0 ) relatif à une autre strate simple [A0 , n0 , 0, β] de A, contenu dans
π à un niveau (normalisé) strictement moindre. Mais, contrairement à ce qui
se passe dans le cas déployé, il n’est pas possible de passer de θ à θ0 en une
seule étape — techniquement, c’est [7, Proposition 1.2.8] qui fait défaut : voir
[16, §1.5.3]. En découpant le segment [A, A0 ] dans l’immeuble de Bruhat-Tits
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
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de G en morceaux suffisamment petits (cf. §3.5, Hypothèse (H)), on obtient
le résultat crucial 3.15, clef du processus de raffinement et analogue de [19,
Lemma 5.4]. Tout ceci est assez technique et nécessite :
(i) d’employer le langage des suites de réseaux, plus général que celui des
ordres héréditaires et qui permet une description des points rationnels de
l’immeuble de Bruhat-Tits de G (cf. [2]) ;
(ii) de définir les caractères simples relatifs à une suite de réseaux et d’étendre le transfert des caractères simples à ce cadre : c’est l’objet de la section 2
de cet article ;
(iii) de généraliser la notion de strate dérivée (cf. Définition 3.21), conduisant elle-même à celle de caractère scindé (cf. Définition 3.22).
Mentionnons un point important : l’introduction des caractères simples relatifs à une suite de réseaux a ceci de gênant que les niveaux normalisés deviennent des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas borné — ce qui
risquerait d’empêcher le processus de raffinement de terminer. Il est donc indispensable de vérifier que l’on passe de θ à un caractère simple θ0 qui, lui, est
relatif à un ordre héréditaire, même si les étapes intermédiaires peuvent mettre
en jeu des caractères simples relatifs à des suites de réseaux quelconques. Ceci
justifie le théorème 1.7, et tous les résultats préparatoires des §§3.1–3.3.
Remarquons également que la distinction entre strate scindée et caractère
scindé est assez superficielle : c’est à peu près la même que celle que l’on fait
entre types simples de niveau 0 et de niveau > 0.
Notre seconde tâche, qui occupe la section 4, est de montrer qu’une représentation irréductible de niveau non nul de G contenant une strate scindée ou
un caractère scindé a un module de Jacquet non trivial. Ceci implique automatiquement que toute représentation irréductible supercuspidale de niveau
non nul de G contient un caractère simple θ ∈ C (β, A) pour une strate simple
[A, n, 0, β] de A. Pour aboutir au théorème 5.21, il reste alors à décrire le
passage de H1 à J, ce qui fait l’objet de la section 5. Une représentation
irréductible supercuspidale de niveau non nul de G contient a priori une
représentation irréductible de J de la forme ϑ = κ ⊗ σ, où σ est l’inflation
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V. SÉCHERRE & S. STEVENS
à J d’une représentation irréductible de J/J1 . En s’inspirant de [12, §1], et en
utilisant la notion de cohérence déjà largement développée dans [15, 16], on
montre que ϑ est un type simple maximal, c’est-à-dire que A est principal, que
σ est cuspidale de la forme σ0⊗r et que A ∩ B est un ordre maximal de B.
Nous terminons cette introduction en mentionnant deux problèmes qui
restent à traiter au sujet des représentations lisses de G : (i) la construction
d’endoclasses et (ii) la construction de types pour n’importe quelle classe
inertielle de G. Le premier revient essentiellement à prouver un résultat de
type “entrelacement implique conjugaison” pour les caractères simples : si
deux caractères simples θ1 ∈ C (A, m1 , β1 ) et θ2 ∈ C (A, m2 , β2 ) s’entrelacent
dans G, alors ils sont conjugués sous G. Le second revient, de façon analogue
à [9], à construire des types semi-simples pour G.
Notations et conventions
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien. Toutes
les F-algèbres sont supposées unitaires et de dimension finie. Par F-algèbre à
division on entend F-algèbre centrale dont l’anneau sous-jacent est un corps
(pas nécessairement commutatif).
Si K est une extension finie de F, ou plus généralement une algèbre à division
sur une extension finie de F, on note OK son anneau d’entiers, pK son idéal
maximal et kK son corps résiduel.
Si A est une algèbre centrale simple sur une extension finie K de F, on note
NA/K (resp. trA/K ) la norme (resp. la trace) réduite de A sur K.
Si u est un nombre réel, on note due le plus petit entier > u et buc le plus
grand entier 6 u, c’est-à-dire la partie entière de u.
Un caractère d’un groupe topologique G est un homomorphisme continu de
G dans le groupe multiplicatif C× du corps des nombres complexes.
Toutes les représentations sont supposées lisses et à coefficients complexes.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
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1. Préliminaires
Dans cette section, on rappelle le langage des strates dans une F-algèbre
centrale simple. Pour plus de détails, on renvoie le lecteur à [4, 7, 9, 14].
1.1. — Soit A une F-algèbre centrale simple, et soit V un A-module à gauche
simple. L’algèbre EndA (V) est une F-algèbre à division dont l’algèbre opposée
est notée D. Aussi V est-il un D-espace vectoriel à droite, et on a un isomorphisme canonique de F-algèbres entre A et EndD (V).
Définition 1.1. — Une OD -suite de réseaux de V est une suite décroissante
Λ = (Λk )k∈Z de OD -réseaux de V pour laquelle il existe un entier e > 1 tel
que, pour tout k ∈ Z, on ait Λk+e = Λk pD . Cet entier e, unique, est appelé la
période de Λ sur OD et noté e(Λ|OD ).
Une OD -suite de réseaux est dite stricte si elle est strictement décroissante.
On emploie aussi le terme de chaı̂ne de réseaux pour suite de réseaux stricte.
On note L (V, OD ) l’ensemble des OD -suites de réseaux de V.
Si W est un sous-D-espace vectoriel de V, l’application k 7→ Λk ∩ W est une
OD -suite de réseaux de W de même période que Λ. On la note Λ ∩ W.
Si a est un entier > 1 et si Λ ∈ L (V, OD ), on note aΛ la suite k 7→ Λdk/ae .
Remarque 1.2. — Il est commode de prolonger les suites de réseaux à R tout
entier, en posant Λx = Λdxe pour x ∈ R. De cette façon, Λ devient une fonction
décroissante à valeurs dans l’ensemble des OD -réseaux de V, continue à gauche
pour la topologie discrète sur l’espace d’arrivée. Ses points de discontinuité
sont entiers. L’application x 7→ Λ(xe(Λ|OF )), définie sur R, est une OD -fonction de réseaux au sens de [2].
1.2. — À toute suite de réseaux Λ ∈ L (V, OD ) on associe une suite de
réseaux a(Λ) ∈ L (A, OF ) définie par :
ak (Λ) = {a ∈ A | aΛl ⊂ Λl+k , l ∈ Z},
k ∈ Z.
Elle caractérise la classe de translation de Λ. Deux OF -réseaux de cette suite
sont d’une importance particulière : A(Λ) = a0 (Λ) est un ordre héréditaire
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V. SÉCHERRE & S. STEVENS
de A, et son radical de Jacobson est P(Λ) = a1 (Λ). Ils ne dépendent que de
l’ensemble {Λk | k ∈ Z}.
On note K(Λ) le normalisateur de Λ dans A× . Si g ∈ K(Λ), on note υΛ (g)
l’entier n ∈ Z défini par g(Λk ) = Λk+n . L’application υΛ est un morphisme de
groupes de K(Λ) dans Z, dont le noyau, noté U(Λ), est le groupe multiplicatif
de l’ordre héréditaire A(Λ). On pose U0 (Λ) = U(Λ) et, pour k > 1, on pose
Uk (Λ) = 1 + ak (Λ).
1.3. — Soit E une extension finie de F telle qu’il existe un homomorphisme
de F-algèbres ι : E → A, qu’on suppose fixé dans la suite. On identifie ainsi E
à la sous-F-algèbre ιE de A.
Définition 1.3. — Une suite Λ ∈ L (V, OD ) est dite E-pure si elle est normalisée par E× , c’est-à-dire si c’est une OE -suite de réseaux de V.
Le commutant de E dans A, qu’on note B, est une E-algèbre centrale simple.
On fixe un B-module à gauche simple VE et on note DE l’algèbre opposée à
EndB (VE ). Si Γ est une ODE -suite de réseaux de VE , on note b(Γ) la OE -suite
de réseaux de B qu’elle définit.
Le théorème suivant traduit en termes de suites de réseaux la correspondance
[2] entre OD -fonctions de réseaux de V invariantes par E× et ODE -fonctions de
réseaux de VE . Il étend aux suites E-pures quelconques la correspondance
définie par [3, Théorème 1.3].
Théorème 1.4. — Soit Λ ∈ L (V, OD ) une suite E-pure. Il existe une ODE suite Γ de réseaux de VE , unique à translation près, telle que :
ak (Λ) ∩ B = bk (Γ),
k ∈ Z.
Le normalisateur de Γ dans B× est égal à K(Λ) ∩ B× .
Démonstration. — On se réfère à [2], qui utilise le langage des fonctions de
réseaux. On désigne par d le degré réduit de D sur F, par e l’indice de ramification de E/F et par r la période de Λ sur OD . À la suite Λ correspond
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
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la OD -fonction F : x 7→ Λ(rdx) (cf. Remarque 1.2). Il lui correspond une
ODE -fonction G de réseaux de VE , unique à translation près, telle que :
(1.1)
ax (F ) ∩ B = bex (G ),
x∈R
(cf. [2, Theorem II.1.1]). On note dE le degré réduit de DE sur E. C’est un
diviseur de d, et le quotient de d par dE est égal au pgcd de d et [E : F] (voir
par exemple [21]). Puisque Λ est E-pure, l’entier e divise rd, donc edE divise
rd. On en déduit que Γ : k 7→ G (ke/rd) est une ODE -suite de réseaux de VE
qui satisfait à la condition voulue. L’unicité est immédiate.
Remarque 1.5. — En particulier, l’intersection B(Λ) = A(Λ) ∩ B est un
ordre héréditaire de B.
1.4. — L’inconvénient de la correspondance Λ 7→ Γ définie par le théorème
1.4 est qu’elle n’est pas normalisée, ce qui fait que son image ne contient pas,
en général, toutes les ODE -chaı̂nes.
Exemple 1.6. — Soit A = M2 (D) et soit E/F une extension quadratique non
ramifiée incluse dans D. Une chaı̂ne E-pure de période 2 a pour image une
suite non stricte (de période 4), une chaı̂ne E-pure de période 1 a pour image
une suite de période 2, et une suite E-pure non stricte a pour image une suite
non stricte. Donc, si Γ est une ODE -chaı̂ne de période 1, il ne lui correspond
aucune OD -suite E-pure Λ.
Si l’on veut récupérer toutes les ODE -chaı̂nes, il est nécessaire de rajouter un
facteur de normalisation. Le résultat suivant complète [2, Proposition II.5.4].
Théorème 1.7. — Soit Γ une ODE -suite stricte de VE . Il existe un unique
entier ρ > 1 et une suite Λ ∈ L (V, OD ) stricte et E-pure, unique à translation
près, tels que :
ak (Λ) ∩ B = bk/ρ (Γ),
k ∈ Z.
Le normalisateur de Γ dans B× est égal à K(Λ) ∩ B× .
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V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Remarque 1.8. — Autrement dit, il existe un unique entier ρ tel que ρΓ soit
dans l’image de la correspondance définie par le théorème 1.4 et ait une chaı̂ne
pour antécédent.
Démonstration. — On reprend en partie les notations de la preuve précédente.
On note s le pgcd de d et du degré résiduel de E/F et r la période de Γ sur
OE . À la suite Γ correspond la ODE -fonction G : x 7→ Γ(rx). L’ensemble de ses
points de discontinuité est r−1 Z. Il lui correspond une OD -fonction E-pure F
de réseaux de V, unique à translation près, vérifiant (1.1). Plus précisément,
la fonction F est définie en [2, Lemma II.3.1], où l’on voit que ses points de
discontinuité sont les nombres réels de la forme :
a
b
+ ,
d er
0 6 a 6 s − 1 et b ∈ Z.
On va voir qu’ils forment un idéal fractionnaire de Z. Le quotient de d par dE
divise se. On en déduit que l’ensemble des points de discontinuité de F est :
1
1
(d, er)
Z+ Z=
Z,
d
er
der
où (a, b) désigne le pgcd de deux entiers > 1. Si on pose ρ = d/(d, er),
l’application Λ : k 7→ F (k/ρer) est une OD -suite de réseaux stricte qui répond
à la question.
Il reste à prouver l’unicité. Si le couple (ρ0 , Λ0 ) est une autre solution, alors
ak (ρΛ0 ) ∩ B = ak (ρ0 Λ) ∩ B pour k ∈ Z. Les suites ρ0 Λ et ρΛ0 définissent la
même fonction de réseaux F et ont la même période : elles sont donc dans la
même classe de translation. Puisque Λ et Λ0 sont toutes les deux strictes, on en
déduit que ρ = ρ0 , puis que Λ et Λ0 sont dans la même classe de translation.
Exemple 1.9. —
(i) On reprend l’exemple 1.6. Si Γ est une chaı̂ne de
période 2, alors Λ est de période 1 et ρ = 1. Si Γ est une chaı̂ne de période 1,
alors Λ est de période 1 et ρ = 2.
(ii) Dans le cas déployé, c’est-à-dire lorsque D = F, la chaı̂ne Λ est simplement Γ vue comme une OF -chaı̂ne et on a ρ = 1.
Remarque 1.10. — L’entier ρ est égal au rapport de e(Λ|OF ) sur e(Γ|OF ).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
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1.5. — Soit :
V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vl
(1.2)
une décomposition de V en une somme directe de l > 1 sous-D-espaces vectoriels. Pour chaque 1 6 i 6 l, on note ei le projecteur sur Vi parallèlement à
L
j
ij
i
j
j
i
i
ii
i
j6=i V . On pose A = e Ae = HomD (V , V ) et A = A = EndD (V ). On
note :
M = AutD (V1 ) × . . . × AutD (Vl )
le stabilisateur de la décomposition (1.2) dans A× . C’est un sous-groupe de
Levi de A× . Soit P un sous-groupe parabolique de A× de facteur de Levi
M, et écrivons P = MN, où N est le radical unipotent de P. On note P− le
sous-groupe parabolique opposé à P, et N− son radical unipotent.
Définition 1.11 ([8], 6.1). — Soit K un sous-groupe de A× .
(i) On dit que K est décomposé, ou qu’il admet une décomposition d’Iwahori,
relativement à (M, P), si :
K = (K ∩ N− ) · (K ∩ M) · (K ∩ N).
(ii) Soit τ une représentation de K. La paire (K, τ ) est dite décomposée
relativement à (M, P) si K est décomposé relativement à (M, P) et si K ∩ N,
K ∩ N− sont dans le noyau de τ .
On utilisera le lemme suivant pour prouver que certains sous-groupes de A×
admettent une décomposition d’Iwahori.
Lemme 1.12 ([6], 10.4). — Soit R un OF -réseau dans A tel que 1 + R soit
un sous-groupe de A× . On suppose que ei Rej ⊂ R pour chaque paire (i, j).
Alors 1 + R admet une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour
tout sous-groupe parabolique P de A× de facteur de Levi M.
Soit Λ une OD -suite de réseaux de V. Pour chaque i, on pose Λi = Λ ∩ Vi .
12
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Définition 1.13. — On dit que (1.2) est conforme à Λ, ou encore que Λ est
décomposée par (1.2), si :
Λ = Λ1 ⊕ . . . ⊕ Λl .
(1.3)
Une décomposition (1.2) est conforme à Λ si, et seulement si ei ∈ A(Λ) pour
chaque i. Dans ce cas, on a Λi = ei Λ et a(Λ) ∩ Ai = a(Λi ).
Exemple 1.14. — On suppose que (1.2) est conforme à Λ. Pour k > 1, le
groupe Uk (Λ) admet une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour
tout sous-groupe parabolique P de A× de facteur de Levi M.
1.6. — Soit A une F-algèbre centrale simple, soit V un A-module à gauche
simple et soit D l’algèbre opposée à EndA (V). On reprend les notations des
paragraphes précédents.
Définition 1.15. — Une strate de A est un quadruplet [Λ, n, r, β] constitué
d’une OD -suite Λ de V, de deux entiers r, n vérifiant 0 6 r 6 n − 1 et d’un
élément β ∈ a−n (Λ). Deux strates [Λ, n, r, βi ], i ∈ {1, 2}, sont dites équivalentes
si β2 − β1 ∈ a−r (Λ).
Exemple 1.16. — Soit un caractère additif ψF : F → C× trivial sur pF mais
pas sur OF . Soit [Λ, n, r, β] une strate de A telle que bn/2c 6 r. Le caractère
ψβ de Ur+1 (Λ) défini par :
ψβ : x 7→ ψF ◦ trA/F (β(x − 1)),
ne dépend que de la classe d’équivalence de [Λ, n, r, β].
Étant donnée une strate [Λ, n, r, β] de A, on note E la F-algèbre engendrée
par β.
Définition 1.17. — La strate [Λ, n, r, β] est dite pure si E est un corps, si la
suite Λ est normalisée par E× et si υΛ (β) = −n.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
13
Soit [Λ, n, r, β] une strate pure. On note B le commutant de E dans A. Pour
tout entier k ∈ Z, on pose :
nk (β, Λ) = {x ∈ a0 (Λ) | βx − xβ ∈ ak (Λ)}.
Le plus petit entier k > υΛ (β) pour lequel le réseau nk+1 (β, Λ) est inclus dans
a0 (Λ) ∩ B + a1 (Λ) est noté k0 (β, Λ) et porte le nom d’exposant critique de la
strate [Λ, n, r, β]. (Il s’agit de la convention adoptée dans [19] : dans le cas où
E = F, on a k0 (β, Λ) = −n, tandis qu’avec la convention d’usage dans [7, 14],
on aurait k0 (β, Λ) = −∞.)
Définition 1.18. — La strate [Λ, n, r, β] est dite simple si elle est pure et si
r 6 −k0 (β, Λ) − 1.
1.7. — Soit [Λ, n, r, β] une strate simple de A. On pose q = −k0 (β, Λ).
Définition 1.19. —
(i) Si q = n, on dit que β est minimal sur F.
(ii) Si q 6 n − 1, une approximation de β relativement à Λ est un élément
γ ∈ A tel que [Λ, n, q, γ] soit une strate simple équivalente à [Λ, n, q, β].
Selon [16, Théorème 2.2], un élément β qui n’est pas minimal sur F admet
des approximations relativement à n’importe quelle suite de réseaux E-pure, et
on peut même choisir γ de façon que la sous-extension non ramifiée maximale
de F(γ) soit incluse dans E. (Par exemple, si E/F est non ramifiée, on peut
choisir γ ∈ E.) Ceci permet d’avoir accès à la machinerie, développée dans [7],
des constructions par récurrence sur l’exposant critique.
Proposition 1.20. — Soit V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vl une décomposition de V en
sous-E ⊗F D-modules, qui soit conforme à Λ.
(i) Pour tout 1 6 i 6 l, la strate [Λi , n, r, ei β] est une strate simple de Ai .
(ii) Si β n’est pas minimal sur F, il existe une approximation de β relativement à Λ commutant aux ei .
Démonstration. — Pour le (i), voir [14, Proposition 2.28]. Pour le (ii), c’est
ce que dit la preuve de [16, Théorème 2.2] (voir aussi ibid., §1.3).
14
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
1.8. — Soit (k, β) une paire simple sur F au sens de [6], et soit E = F(β).
On appelle donnée admissible pour la paire (k, β) un quintuplet (A, ι, V, Λ, m)
constitué d’une F-algèbre centrale simple A, d’un plongement de F-algèbres
ι : E → A, d’un A-module à gauche simple V, d’une OD -suite E-pure Λ de
réseaux de V et d’un entier m vérifiant :
m
= k.
e(Λ|OE )
On pose n = −vΛ (ιβ). D’après [14, §2.3.3], la strate [Λ, n, m, ιβ] est une strate
simple de A.
Définition 1.21. — La strate simple [Λ, n, m, ιβ] est appelé une réalisation
de la paire simple (k, β).
2. Caractères simples
Soit A une F-algèbre centrale simple. Dans cette section, on associe à toute
strate simple [Λ, n, m, β] de A un ensemble C (Λ, m, β) de caractères simples,
jouissant de propriétés remarquables de transfert et d’entrelacement. Cette
construction généralise les constructions effectuées dans [9, 14, 19] lorsque
A est déployée (c’est-à-dire lorsque D = F) et celles effectuées dans [10, 14]
lorsque Λ est une OD -chaı̂ne de réseaux.
L’idée suivie est la même que dans [9] : on rajoute à Λ une OD -chaı̂ne Λ◦ d’un
D-espace vectoriel adéquat V◦ , et on définit C (Λ, m, β) comme la projection
de C (Λ ⊕ Λ◦ , m, β) sur le facteur AutD (V).
On fixe une fois pour toutes un caractère additif ψF : F → C× trivial sur pF
mais pas sur OF . Toutes les constructions de caractères simples dépendent du
choix de ψF .
2.1. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A et soit q = −k0 (β, Λ). Dans ce
paragraphe et le suivant, on suppose que Λ est stricte. Dans [14], on associe
à une telle strate les objets suivants :
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
15
(i) Deux sous-OF -ordres J(β, Λ) et H(β, Λ) de A(Λ). Ils ne dépendent que
de la classe d’équivalence de [Λ, n, 0, β]. Chacun d’eux est filtré par une suite
décroissante d’idéaux bilatères :
Jk (β, Λ) = J(β, Λ) ∩ ak (Λ),
Hk (β, Λ) = H(β, Λ) ∩ ak (Λ),
k > 0.
Ces idéaux bilatères sont en particulier (avec les notations du §1.3) des sousB(Λ)-bimodules de A. On note J(β, Λ) (resp. H(β, Λ)) le groupe multiplicatif
de J(β, Λ) (resp. de H(β, Λ)). De façon similaire, chacun d’eux est filtré par
une suite décroissante de sous-groupes ouverts compacts :
Jk (β, Λ) = J(β, Λ) ∩ Uk (Λ),
Hk (β, Λ) = H(β, Λ) ∩ Uk (Λ),
k > 0.
(ii) Pour tout entier 0 6 m 6 q − 1, un ensemble fini C (Λ, m, β) de caractères de Hm+1 (β, Λ) appelés caractères simples de niveau m. Ces caractères
vérifient une propriété de fonctorialité appelée propriété de transfert, dont
l’établissement était l’un des principaux objectifs de [14]. On reviendra largement dessus plus bas.
2.2. — Dans ce paragraphe, on décrit, pour Λ stricte, le comportement de
C (Λ, m, β) par passage à une strate simple équivalente, puis par augmentation
du niveau. On pose r = bq/2c + 1.
Proposition 2.1. — Soit un entier 0 6 l 6 q, et soit [Λ, n, l, γ] une strate
simple équivalente à [Λ, n, l, β]. L’application θ 7→ θψγ−β induit des bijections :
C (Λ, m, β) → C (Λ, m, γ),
bl/2c 6 m 6 q − 1.
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7], corollaire 3.3.18 si
l = q, et corollaire 3.3.20(ii) si l 6= q. Dans les deux cas, il suffit de remplacer
[7, Proposition 3.3.9] par la proposition [14, 3.30] et [7, Proposition 2.4.11]
par [10, Lemma 1.9].
Proposition 2.2. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A.
16
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
(i) On suppose que m 6 bq/2c. Si deux caractères de C (Λ, m, β) coı̈ncident
sur Hr (β, Λ), ils sont tordus l’un l’autre par un caractère de Um+1 (Λ) ∩ B×
trivial sur Ur (Λ) ∩ B× et se factorisant par NB/E .
(ii) On suppose que m 6 q−2. La restriction de C (Λ, m, β) à C (Λ, m+1, β)
est surjective.
Démonstration. — Le (i) est une conséquence de [14, Lemme 3.24]. Pour le
(ii), on procède par récurrence comme pour [7, Corollary 3.3.21]. Si q = n, on
sépare deux cas. Pour bn/2c 6 m, on a :
C (Λ, m, β) = {ψβ }
(2.1)
(cf. [14, Lemme 3.23]). Pour m 6 bn/2c, on utilise (i). Ensuite, si q 6 n − 1,
on choisit une strate simple [Λ, n, q, γ] équivalente à [Λ, n, q, β] et on applique
la proposition 2.1.
2.3. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. Maintenant, Λ est une OD suite quelconque. On note e sa période sur OD et on pose q = −k0 (β, Λ).
Soit (V◦ , Λ◦ ) un couple constitué d’un E ⊗F D-module de type fini V◦ et
d’une OD -suite stricte E-pure Λ◦ de réseaux de V◦ , de période e. On pose :
(2.2)
V̄ = V ⊕ V◦ ,
Λ̄ = Λ ⊕ Λ◦ .
La F-algèbre E se plonge naturellement dans Ā = EndD (V̄) et Λ̄ est une OD suite stricte E-pure de réseaux de V̄. La strate [Λ̄, n, 0, β] est une strate simple
de Ā. (On renvoie à [9, §5] pour ce procédé.)
On note B̄ le commutant de E dans Ā. Par construction, la décomposition
(2.2) est une décomposition de V̄ en E ⊗ D-modules, qui est conforme à Λ,
c’est-à-dire que les projecteurs e : V̄ → V et e◦ : V̄ → V◦ appartiennent tous
deux à B(Λ̄) = A(Λ̄) ∩ B̄.
On pose :
M = AutD (V) × AutD (V◦ ).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
17
Pour k > 1, les OF -réseaux Jk (β, Λ̄) et Hk (β, Λ̄) sont des sous-B(Λ̄)-bimodules
de Ā. D’après le lemme 1.12, les groupes Jk (β, Λ̄), Hk (β, Λ̄) admettent chacun une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour tout sous-groupe
parabolique P de AutD (V̄) de facteur de Levi M.
On pose enfin G = A× et Ḡ = Ā× .
Théorème 2.3. — On suppose que Λ est stricte.
(i) Pour k > 0, on a Jk (β, Λ̄) ∩ G = Jk (β, Λ) et Hk (β, Λ̄) ∩ G = Hk (β, Λ).
(ii) Pour 0 6 m 6 q − 1 et pour θ ∈ C (Λ̄, m, β), la paire (Hm+1 (β, Λ̄), θ) est
décomposée par (M, P) pour tout sous-groupe parabolique P de Ḡ de facteur
de Levi M, et la restriction de θ à Hm+1 (β, Λ) est égale au transfert de θ à
C (Λ, m, β).
Démonstration. — La preuve est analogue à celles de [7, Proposition 7.1.12]
et [7, Proposition 7.1.19]. Dans le cas où q 6 n − 1, il suffit de choisir une
approximation de β commutant à e et e◦ (cf. Proposition 1.20(ii)) et, pour le
(ii), on peut remplacer [7, Corollary 3.3.21] par la proposition 2.2.
Remarque 2.4. — On a en fait un résultat un peu plus général que 2.3(i).
L’analogue de [7, Proposition 7.1.12] est :
Jk (β, Λ̄) ∩ A = Jk (β, Λ),
Hk (β, Λ̄) ∩ A = Hk (β, Λ),
k > 0.
On vérifie également que nk (β, Λ̄) ∩ A = nk (β, Λ), pour k ∈ Z.
2.4. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A, et soit Λ̄ défini comme dans
la section précédente. On lui associe deux OF -ordres :
J(β, Λ) = J(β, Λ̄) ∩ A,
H(β, Λ) = H(β, Λ̄) ∩ A.
De façon similaire au §2.1, chacun d’eux est filtré par une suite décroissante
d’idéaux bilatères Jk (β, Λ) et Hk (β, Λ). Ces idéaux bilatères sont en particulier
des sous-B(Λ)-bimodules de A.
18
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
On note J(β, Λ) (resp. H(β, Λ)) le groupe multiplicatif de J(β, Λ) (resp. de
H(β, Λ)), et chacun d’eux est filtré par une suite décroissante de sous-groupes
ouverts compacts Jk (β, Λ), Hk (β, Λ). Si aucune confusion n’en résulte, on
notera Jk plutôt que Jk (β, Λ). La même remarque vaut pour Jk (β, Λ), Hk (β, Λ)
et Hk (β, Λ).
Proposition 2.5. — Pour k > 0, les groupes Jk et Hk sont normalisés par J
et K(Λ) ∩ B× .
Démonstration. — C’est une conséquence de [14, Proposition 3.43].
Définition 2.6. — Pour un entier 0 6 m 6 q −1, on appelle caractère simple
de niveau m attaché à la strate simple [Λ, n, 0, β] la restriction à Hm+1 (β, Λ)
d’un caractère simple de C (Λ̄, m, β). Ces caractères forment un ensemble noté
C (Λ, m, β).
D’après le théorème 2.3, (voir aussi la remarque 2.4), cette définition coı̈ncide
avec celle de [14, §3.3] lorsque Λ est stricte. Dans le cas contraire, elle dépend
a priori de (V◦ , Λ◦ ). On va voir que ce n’est pas le cas.
Proposition 2.7. — Les groupes Hk (β, Λ) et Jk (β, Λ), ainsi que l’ensemble
C (Λ, m, β), sont indépendants du choix de (V◦ , Λ◦ ).
Démonstration. — Soit (V• , Λ• ) un autre couple comme au §2.3. On pose
Λ† = Λ ⊕ Λ◦ ⊕ Λ• . On note R◦ la restriction de Hm+1 (β, Λ ⊕ Λ◦ ) à Hm+1 (β, Λ)
et S◦ la restriction de Hm+1 (β, Λ† ) à Hm+1 (β, Λ ⊕ Λ◦ ). On définit R• et S• de
façon analogue en substituant Λ• à Λ◦ . D’après le théorème 2.3(ii), et puisque
les applications de transfert sont surjectives, on peut écrire C (Λ, m, β) comme
l’image de C (Λ† , m, β) par R◦ ◦ S◦ = R• ◦ S• . Ceci prouve que C (Λ, m, β), et
a fortiori Hm+1 (β, Λ), sont indépendants du choix de (V◦ , Λ◦ ) pour un entier
0 6 m 6 q − 1.
Pour Hk (β, Λ) et Jk (β, Λ), avec k > 1, on raisonne de façon analogue à partir
du point (i) du théorème 2.3.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
19
2.5. — On rappelle brièvement le procédé de changement de base non ramifié
décrit en détail dans [14]. Soit L/F une extension non ramifiée maximale
dans D. La L-algèbre A ⊗F L est centrale simple déployée, et s’identifie canoniquement à EndL (V). On note ΛL la suite Λ vue comme une OL -suite de
réseaux de V. On a une décomposition :
E ⊗F L = E1 ⊕ . . . ⊕ El
de la L-algèbre E ⊗F L en une somme finie de l > 1 extensions de L, où l est
le pgcd de [L : F] et du degré résiduel de E/F. On note ei l’idempotent de
E ⊗F L correspondant à la projection sur Ei , ce qui définit une décomposition
de V en une somme de E ⊗F L-modules Vi = ei V, qui est conforme à ΛL . On
pose ΛiL = ei ΛL et β i = ei β. Le résultat suivant vient de [14] (cf. §2.3.4) :
Théorème 2.8. — [ΛiL , n, m, β i ] est une strate simple de EndL (Vi ).
Remarque 2.9. — Signalons une erreur dans la preuve qui en est donnée
dans [14] (cf. Théorème 2.30). Avec les notations de loc. cit., on n’a pas en
général égalité entre k0 (ei β, Λi ) et k0 (ei β, Λ̄i ) (le corollaire 2.21 ne s’applique
pas à ei β). Par contre, puisque le réseau nk (ei β, Λ̄i ) ∩ Ai est égal à nk (ei β, ei Λ)
(cf. Proposition 2.20), on a k0 (ei β, Λi ) 6 k0 (ei β, Λ̄i ), ce qui suffit pour conclure. Voici un cas où l’égalité n’a pas lieu. Choisissons par exemple E/F non
ramifiée, β non minimal sur F (i.e. q 6= n) et L contenant E. Alors chaque Ei
est de degré 1 sur L, c’est-à-dire que β i est scalaire, donc minimal sur L.
2.6. — Dans ce paragraphe, on étend le transfert aux caractères simples
attachés à une suite de réseaux (cf. §2.4).
Proposition 2.10. — La restriction de Hm+1 (β, Λ̄) à Hm+1 (β, Λ) induit une
bijection de C (Λ̄, m, β) sur C (Λ, m, β).
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [14, Théorème 3.12]. Il
suffit de remplacer [7, Proposition 3.2.4] par (2.1) et [7, Proposition 3.2.5] par
la proposition 2.2(i) et, dans le cas où q 6 n − 1, de choisir une approximation
de β commutant à e et e◦ (cf. Proposition 1.20(ii)).
20
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Soit (k, β) une paire simple sur F et soit E = F(β) (cf. §1.8). On note [k, β]
la strate simple de EndF (E) correspondant à (k, β), c’est-à-dire correspondant
à l’unique ordre héréditaire de EndF (E) normalisé par E× (voir par exemple
[14, §2.3.3]), et on note C (k, β) l’ensemble des caractères simples (de niveau
k) attaché à la strate simple [k, β].
Soit [Λ, n, m, ιβ] une réalisation de (k, β) dans A. Lorsque la suite Λ est
stricte, on a une bijection canonique de C (k, β) dans C (Λ, m, ιβ) appelée application de transfert (cf. [14, §3.3.3]) et notée τΛ,m,ιβ . Lorsque Λ est quelconque,
on pose la définition suivante.
Définition 2.11. — L’application de transfert de C (k, β) à C (Λ, m, ιβ) est
l’application bijective composée de τΛ̄,m,ιβ avec la restriction de Hm+1 (ιβ, Λ̄) à
Hm+1 (ιβ, Λ). On la note τΛ,m,ιβ .
D’après le théorème 2.3, cette définition du transfert coı̈ncide avec celle de
[14, §3.3] lorsque Λ est stricte. Dans le cas contraire, elle dépend a priori de
(V◦ , Λ◦ ). Un raisonnement analogue à celui de la preuve de la proposition 2.7
montre que ce n’est pas le cas.
Si [Λ, n, m, ιβ] et [Λ0 , n0 , m0 , ι0 β] sont deux réalisations d’une même paire,
on définit une application de transfert entre C (Λ, m, ιβ) et C (Λ0 , m0 , ι0 β) en
−1
composant τΛ,m,ιβ
avec τΛ0 ,m0 ,ι0 β . On a une propriété de transitivité évidente.
Exemple 2.12. — Dans la situation du §2.3, l’application de transfert de
C (Λ̄, m, β) à C (Λ, m, β) est la restriction de Hm+1 (β, Λ̄) à Hm+1 (β, Λ).
Voici une première propriété du transfert (qu’on peut qualifier de transfert
interne, dans la mesure où on change la suite Λ, mais pas le groupe G).
Théorème 2.13. — Soient [Λ, n, m, β] et [Λ0 , n0 , m0 , β] deux strates simples
de A. On suppose que :
j
m k j m0 k
=
.
e(Λ|OE )
e(Λ0 |OE )
Alors pour tout θ ∈ C (Λ, m, β), le transfert de θ à C (Λ0 , m0 , β) coı̈ncide avec
0
θ sur Hm+1 (β, Λ) ∩ Hm +1 (β, Λ0 ).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
21
Remarque 2.14. — Dans le cas où Λ et Λ0 sont strictes, ce résultat, quoique
annoncé dans [14] (cf. Exemple 3.54) et déjà utilisé dans [15], n’y est pas
démontré. On donne ici une démonstration dans le cas général, lorsque Λ et
Λ0 sont quelconques.
Démonstration. — La preuve s’effectue en quatre étapes.
(i) On choisit un caractère simple θ ∈ C (Λ, m, β) et on note θ0 son transfert
à C (Λ0 , m0 , β). On fixe un couple (V◦ , Λ◦ ) pour Λ et un couple (V0◦ , Λ0◦ ) pour
Λ0 (cf. §2.3), de telle sorte que V0◦ = V◦ . On pose Λ̄ = Λ ⊕ Λ◦ et Λ̄0 = Λ0 ⊕ Λ0◦ .
On note θ̄ (resp. θ̄0 ) le caractère simple de C (Λ̄, m, β) (resp. de C (Λ̄0 , m, β))
qui prolonge θ (resp. θ0 ). Ainsi θ̄0 est le transfert de θ̄.
(ii) On suppose momentanément que A est déployée. Alors θ̄ et θ̄0 coı̈ncident
0
sur l’intersection Hm+1 (β, Λ̄) ∩ Hm +1 (β, Λ̄0 ) d’après [7, Theorem 3.6.1]. Par
0
restriction à G, les caractères θ et θ0 coı̈ncident sur Hm+1 (β, Λ) ∩ Hm +1 (β, Λ0 ).
(iii) La F-algèbre A est à nouveau quelconque, mais on suppose maintenant
que Λ et Λ0 sont strictes. On choisit une extension non ramifiée L/F maximale
dans D (cf. §2.5). Pour chaque 1 6 i 6 l, on a une strate simple [ΛiL , n, m, β i ]
de EndL (Vi ). On fixe un caractère additif ψL : L → C× trivial sur pL mais
pas sur OL , dont la restriction à F est ψF . On choisit un caractère simple
θi ∈ C (ΛiL , m, β i ) de telle sorte que la famille {θi } définisse un caractère quasisimple dont la restriction à Hm+1 (β, Λ) soit θ (cf. [14], §3.2.4). On note θ0i
le transfert de θi à C (Λ0i , m0 , β i ). D’après [14, Théorème 3.53], la famille
{θ0i } définit un caractère quasi-simple dont la restriction à Hm+1 (β, Λ0 ) est θ0 .
0
D’après (ii), les caractères θi et θ0i coı̈ncident sur Hm+1 (β i , Λi ) ∩ Hm +1 (β i , Λ0i ).
Ceci prouve le théorème dans le cas où Λ et Λ0 sont strictes.
(iv) On revient maintenant au cas général. Les caractères θ̄ et θ̄0 coı̈ncident
0
sur l’intersection Hm+1 (β, Λ̄) ∩ Hm +1 (β, Λ̄0 ) d’après (iii). Par restriction à G,
0
les caractères θ et θ0 coı̈ncident sur Hm+1 (β, Λ) ∩ Hm +1 (β, Λ0 ).
Ceci termine la preuve du théorème 2.13.
22
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
2.7. — Dans ce paragraphe, on décrit le comportement de C (Λ, m, β) par
passage à une strate simple équivalente, puis par augmentation du niveau. On
pose r = bq/2c + 1.
Proposition 2.15. — Soit un entier 0 6 l 6 q, et soit [Λ, n, l, γ] une strate
simple équivalente à [Λ, n, l, β]. L’application θ 7→ θψγ−β induit des bijections :
C (Λ, m, β) → C (Λ, m, γ),
bl/2c 6 m 6 q − 1.
Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄, on se ramène au cas où Λ est stricte,
puis on applique la proposition 2.1.
Proposition 2.16. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A.
(i) On suppose que m 6 bq/2c. Si deux caractères de C (Λ, m, β) coı̈ncident
sur Hr (β, Λ), ils sont tordus l’un l’autre par un caractère de Um+1 (Λ) ∩ B×
trivial sur Ur (Λ) ∩ B× et se factorisant par NB/E .
(ii) On suppose que m 6 q−2. La restriction de C (Λ, m, β) à C (Λ, m+1, β)
est surjective.
Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄, on se ramène au cas où Λ est stricte,
puis on applique la proposition 2.2.
On termine par le résultat suivant.
Théorème 2.17. — Soit V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vl une décomposition de V en sousE ⊗F D-modules, qui soit conforme à Λ. Soit M le sous-groupe de Levi de G
correspondant. Soit un entier 1 6 i 6 l.
(i) Pour k > 0, on a :
Jk (β, Λ) ∩ AutD (Vi ) = Jk (β, Λi ),
Hk (β, Λ) ∩ AutD (Vi ) = Hk (β, Λi ).
(ii) Pour 0 6 m 6 q − 1 et pour θ ∈ C (Λ, m, β), la paire (Hm+1 (β, Λ), θ) est
décomposée par (M, P) pour tout sous-groupe parabolique P de G de facteur
de Levi M, et la restriction de θ à Hm+1 (β, Λi ) est égale au transfert de θ à
C (Λi , m, β).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
23
Démonstration. — On fixe un couple (V◦ , Λ◦ ) comme au §2.3, et on applique
L
le théorème 2.3 à la décomposition Λ ⊕ Λ◦ ⊕ Λ◦ = (Λi ⊕ Λ◦ ) ⊕ (( j6=i Λj ) ⊕ Λ◦ ).
D’abord, on a :
Jk (β, Λ ⊕ Λ◦ ⊕ Λ◦ ) ∩ AutD (Vi ⊕ V◦ ) = Jk (β, Λi ⊕ Λ◦ ).
Si on projette sur AutD (Vi ), on obtient l’égalité voulue pour Jk . Avec un raisonnement analogue, on obtient l’égalité pour Hk . Ensuite, soit θ un caractère
simple de C (Λ, m, β), et soit θ̃ ∈ C (Λ ⊕ Λ◦ ⊕ Λ◦ , m, β) prolongeant θ. La restriction de θ̃ à Hm+1 (β, Λi ⊕ Λ◦ ) est égale au transfert de θ à C (Λi ⊕ Λ◦ , m, β).
Si on restreint à Hm+1 (β, Λi ), on obtient l’égalité voulue entre restriction de θ à
Hm+1 (β, Λi ) et transfert de θ à C (Λi , m, β). Enfin, il reste à prouver que θ est
trivial sur chaque sous-groupe de la forme 1 + Hom(Vi , Vj ), avec i 6= j. C’est
L
vrai pour θ̃ sur 1 + Hom(Vi ⊕ V◦ , ( j6=i Vj ) ⊕ V◦ ), et on obtient le résultat
par restriction à 1 + Hom(Vi , Vj ).
2.8. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A et soit q = −k0 (β, Λ). On pose
s = dq/2e. Pour k > 1, on pose :
mk (β, Λ) = ak (Λ) ∩ n−q+k (β, Λ) + Js (β, Λ)
et on pose Ωk (β, Λ) = 1 + mk (β, Λ), qui est un sous-groupe ouvert compact de
Uk0 (Λ), avec k0 = min{k, s}. Souvent, on notera simplement Ωk (Λ), ou même
Ωk . Remarquer que la convention de notation est différente de celle utilisée
dans [14, 19] (dont le mk correspond à notre mq−k ).
Soit (V◦ , Λ◦ ) un couple comme au §2.3, dont on reprend les notations.
L’objectif de ce paragraphe et du suivant est de prouver le résultat suivant.
Proposition 2.18. — Soit k > 1. On a :
Ωk (β, Λ̄)B̄× Ωk (β, Λ̄) ∩ G = Ωk (β, Λ)B× Ωk (β, Λ).
La démonstration se fait, comme dans [14, §3.1] (cf. [14, Lemme 3.7]), par
changement de base non ramifié.
24
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Lemme 2.19. — Soit k > 1. Pour tout b ∈ B× , on a :
Ωk (Λ)bΩk (Λ) ∩ B× = Ωk (Λ) ∩ B× b Ωk (Λ) ∩ B× .
Démonstration. — Si l’on pose k0 = min{k, s}, c’est une conséquence de :
Uk0 (Λ) ∩ B× ⊂ Ωk (Λ) ⊂ Uk0 (Λ)
et de la propriété d’intersection simple [14, Corollaire 3.3]. La majoration
est immédiate. Pour la minoration, il faut remarquer d’une part que B(Λ) est
inclus dans J(β, Λ), ce qui implique ak0 (Λ) ∩ B ⊂ Js (β, Λ) dans le cas où k > s,
et d’autre part que ak0 (Λ) ∩ B est inclus dans ak (Λ) ∩ n−q+k (β, Λ) dans le cas
où k 6 s.
Lemme 2.20. — On a Ωk (β, Λ̄) ∩ G = Ωk (β, Λ) pour k > 1.
Démonstration. — On vérifie que :
ak (Λ̄) ∩ n−q+k (β, Λ̄) ∩ A = ak (Λ) ∩ n−q+k (β, Λ).
Le résultat est une conséquence de la définition de Jk (β, Λ) et du fait que, si
R, S sont des sous-B(Λ̄)-bimodules de Ā, on a (R + S) ∩ A = R ∩ A + S ∩ A.
2.9. — Soit F] une extension finie non ramifiée de F, de degré premier au
degré résiduel de E/F et à la dimension de D sur F, et de groupe de Galois
noté G . On pose :
A] = A ⊗F F] ,
V] = V ⊗F F] ,
Λ] = Λ ⊗OF OF]
D] = D ⊗F F] .
Ainsi F] [β] est un corps, D] est une F] -algèbre à division, V] est un A] -module
simple et A] s’identifie naturellement à EndD] (V] ).
Proposition 2.21. — La strate [Λ] , n, r, β ⊗ 1] de A] est simple.
Démonstration. — La démonstration suit formellement [14, §2] (voir notamment la proposition 2.9 et les corollaires 2.10 et 2.11), le fait que F] /F déploie
A n’y jouant aucun rôle.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
25
On suppose en outre que l’extension F] /F est non triviale, et on choisit dans
F] une racine de l’unité ξ, non triviale et d’ordre premier à la caractéristique
résiduelle p de F. On note ∆ le groupe cyclique engendré par ξ · e + e◦ et M]
son centralisateur dans AutD] (V̄] ), c’est-à-dire le groupe des points fixes de
AutD] (V̄] ) par ∆. Si on identifie A à la F-algèbre A]G des G -invariants de A] ,
on a M]G = M.
Remarque 2.22. — Ce procédé permet de calculer l’intersection de certaines
parties de Ḡ avec M par des méthodes de descente comme en [14, §2.4]. Le
changement de base est nécessaire dans le cas où le corps résiduel de F n’a que
deux éléments.
Preuve de la proposition 2.18. — On note B̄] le commutant de E dans Ā] . Si
on applique le lemme 2.19 à la strate simple [Λ̄] , n, 0, β], alors, compte tenu de
[14, Proposition 2.36] et de [14, Lemme 2.35], on obtient :
Ωk (Λ̄] )B̄]× Ωk (Λ̄] ) ∩ M] = Ωk (Λ̄] ) ∩ M]
B̄]× ∩ M]
Ωk (Λ̄] ) ∩ M]
puis, en projetant sur A]× :
(2.3)
Ωk (Λ̄] )B̄]× Ωk (Λ̄] ) ∩ A]× = Ωk (Λ] )B]× Ωk (Λ] ).
Il reste à calculer les points fixes de (2.3) par G . Pour le membre de gauche,
on applique [14, Lemme 2.35] en tenant compte de [14, Proposition 2.41] et
du lemme 2.19 appliqué à la strate simple [Λ̄] , n, 0, β]. On obtient :
Ωk (Λ̄] )B̄]× Ωk (Λ̄] ) ∩ G = Ωk (Λ̄)B̄× Ωk (Λ̄) ∩ G.
Pour le membre de droite, on applique [14, Lemme 2.35] en tenant compte de
[14, Proposition 2.41] et du lemme 2.19 appliqué à la strate simple [Λ] , n, 0, β].
On obtient :
Ωk (Λ] )B]× Ωk (Λ] ) ∩ G = Ωk (Λ)B× Ωk (Λ),
ce qui termine la démonstration.
26
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
2.10. — On fixe un entier 0 6 m 6 q − 1 et un caractère simple θ ∈
C (Λ, m, β). On rappelle que, si K est un sous-groupe de G, et si χ est un
caractère de K, l’entrelacement de χ dans G, noté IG (χ), est l’ensemble des
éléments g ∈ G pour lesquels χ et son caractère conjugué χg coı̈ncident sur
K ∩ g −1 Kg.
Théorème 2.23. — On a IG (θ) = Ωq−m (β, Λ)B× Ωq−m (β, Λ).
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [19, Proposition 2.5].
Soit θ̄ ∈ C (Λ̄, m, β) le caractère prolongeant θ. D’après [14, Théorème 3.50],
[19, Lemma 2.1] et la proposition 2.17 appliquée à (2.2), on a :
IḠ (θ̄|Hm+1 (β,Λ̄)∩M ) ∩ M = IḠ (θ̄) ∩ M
= Ωq−m (Λ̄)B̄× Ωq−m (Λ̄) ∩ M.
On applique la proposition 2.18, puis on projette sur G, ce qui donne :
IḠ (θ̄|Hm+1 (β,Λ̄)∩M ) ∩ G = Ωq−m (β, Λ)B× Ωq−m (β, Λ).
Le membre de gauche vaut IG (θ), ce qui termine la démonstration.
Proposition 2.24. — Tout caractère simple de C (Λ, m, β) est normalisé par
(K(Λ) ∩ B× )Ωq−m (β, Λ).
Démonstration. — Soit θ̄ ∈ C (Λ̄, m, β) le caractère prolongeant θ. D’après
le théorème 2.23 et [14, Théorème 3.50], le caractère θ̄ est normalisé par le
groupe (K(Λ̄) ∩ B̄× )Ωq−m (Λ̄) et θ est entrelacé par (K(Λ) ∩ B× )Ωq−m (Λ).
2.11. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. On pose Ã = EndF (V),
qu’on identifie à A ⊗F EndA (V).
Définition 2.25. — Une corestriction modérée sur A relative à E/F est un
homomorphisme de B-bimodules s : A → B tel que s̃ = s ⊗ idEndA (V) soit une
corestriction modérée sur Ã relative à E/F au sens de [7, Definition 1.3.3].
Bien entendu, lorsque A est déployée sur F, cette définition coı̈ncide avec
celle de [7], puisque, dans ce cas, on a EndA (V) = F.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
27
D’après [4, Lemma 4.2.1], on a un moyen de construire des corestrictions modérées sur A relatives à E/F, ce qui prouve qu’il en existe. On a les propriétés
suivantes.
Proposition 2.26. — Soit s une corestriction modérée sur A relative à E/F.
(i) Si s0 est une corestriction modérée sur A relative à E/F, il existe u ∈ OE×
tel que s0 = us.
(ii) Soit V = V1 ⊕ V2 une décomposition de V en sous-E ⊗F D-modules,
qui soit conforme à Λ. Pour i ∈ {1, 2}, la restriction si de s à Ai est une
corestriction modérée sur Ai relative à E/F.
Démonstration. — Les deux sont vrais lorsque la F-algèbre A est déployée.
Pour (i), il existe donc u ∈ OE× tel que s̃0 = us̃, ce qui implique s0 = us. Pour
(ii), la restriction s̃i de s̃ à Ãi est une corestriction modérée sur Ãi relative à
E/F égale à si ⊗ idEndAi (Vi ) .
Soit V = V1 ⊕ V2 une décomposition de V en sous-E ⊗F D-modules, qui soit
conforme à Λ. On note M le sous-groupe de Levi correspondant. Si l est un
sous-OF -réseau de A, on pose lij = l ∩ Aij pour i, j ∈ {1, 2}.
Soit s une corestriction modérée sur A relative à E/F. Pour x ∈ A, on pose
aβ (x) = βx − xβ. On pose ψA = ψF ◦ trA/F . Pour toute partie R de A, on
note :
R∗ = {a ∈ A | ψA (ax) = 1, x ∈ R}
le dual de R relativement à ψA .
Proposition 2.27. — Pour 0 6 m 6 q − 1, la suite :
(2.4)
aβ
s
0 → aq−m (Λ) ∩ B → mq−m (β, Λ)→(Hm+1 (β, Λ))∗ →a−m (Λ) ∩ B → 0
est exacte. Si on désigne cette suite par 0 → l1 → l2 → l3 → l4 → 0, alors la
suite :
(2.5)
ij
ij
ij
ij
−1 ij
−1 ij
−1 ij
0 → h−1 lij
1 h + l1 → h l2 h + l2 → h l3 h + l3 → h l4 h + l4 → 0
est exacte pour tout h ∈ B× ∩ M et tous i, j ∈ {1, 2}.
28
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Démonstration. — On note Λ̃ la OF -suite de V sous-jacente à Λ. On note B̃
le commutant de E dans Ã, on note ∗ la dualité relativement à ψF ◦ trÃ/F , on
note ãβ l’application x 7→ βx − xβ définie sur Ã et on pose s̃ = s ⊗ idEndA (V) .
La strate [Λ̃, n, m, β] est une strate simple de Ã de même exposant critique
que [Λ, n, m, β] (cf. [14, 2.23]). On lui applique [9, Lemma 6.3]. La suite :
(2.6)
ãβ
s̃
0 → aq−m (Λ̃) ∩ B̃ → mq−m (β, Λ̃)→(Hm+1 (β, Λ̃))∗ →a−m (Λ̃) ∩ B̃ → 0
est exacte. Si on désigne cette suite par 0 → l̃1 → l̃2 → l̃3 → l̃4 → 0, alors la
suite :
(2.7)
ij
ij
ij
ij
−1 ij
−1 ij
−1 ij
0 → h−1 l̃ij
1 h + l̃1 → h l̃2 h + l̃2 → h l̃3 h + l̃3 → h l̃4 h + l̃4 → 0
est exacte pour tout h ∈ B× ∩ M et tous i, j ∈ {1, 2}.
Lemme 2.28. — On a l̃k ∩ A = lk pour 1 6 k 6 4.
Démonstration. — Pour k ∈ {1, 4}, c’est immédiat. Pour les autres cas, on
choisit un couple (V◦ , Λ◦ ) comme au §2.3. Par définition (cf. [14, (54) et (64)]
et §2.3), on a :
Hm+1 (β, Λ) = Hm+1 (β, Λ̃ ⊕ Λ̃◦ ) ∩ A
et le membre de droite est égal à Hm+1 (β, Λ̃) ∩ A d’après (2.4). On en déduit
que l̃3 ∩A = l3 à l’aide de [14, Lemme 2.45]. Un raisonnement analogue permet
d’obtenir l̃2 ∩ A = l2 .
Pour terminer la démonstration de la proposition 2.27, il reste à vérifier que
l’exactitude de (2.4) et (2.5) est conservée par restriction à A. Ceci se fait,
comme dans [4, §4], en choisissant une extension non ramifiée L/F maximale
dans D, et en appliquant successivement le foncteur des L-invariants puis le
foncteur des Gal(L/F)-invariants (voir aussi [14, §2.4]).
De façon analogue, on démontre à partir de [7, Corollary 1.4.10] :
Proposition 2.29. — Pour k ∈ Z, la suite :
aβ
s
0 → aq+k (Λ) ∩ B → aq+k (Λ) ∩ nk (β, Λ)→ak (Λ)→ak (Λ) ∩ B → 0
est exacte.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
29
2.12. — On établit une propriété de non-dégénérescence des caractères simples, qui généralise [7, Theorem 3.4.1]. Pour x, y ∈ G, on note [x, y] le commutateur de x et y.
Lemme 2.30. — Soit θ ∈ C (Λ, m, β) avec bq/2c 6 m 6 q − 1. Soient deux
entiers k, l > 1 tels que k + l > m + 1 et k + 2l > q + 1. On suppose qu’on est
dans l’une des situations suivantes :
(1) x ∈ 1 + ak (Λ) ∩ nk−q (β, Λ) et y ∈ 1 + al (Λ) ∩ nl−q (β, Λ).
(2) x ∈ 1 + ak (Λ) ∩ nk−q (Λ) et y ∈ Jl (β, Λ).
(3) x ∈ Jk (β, Λ) et y ∈ Jl (β, Λ).
Alors [x, y] ∈ Hm+1 (β, Λ), et on a θ([x, y]) = ψx−1 βx−β (y).
Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄ (cf. §2.3), on se ramène au cas où
Λ est stricte. Puis on applique [14, Lemmes 3.25–3.27].
Proposition 2.31. — Soit θ ∈ C (Λ, m, β) avec m 6 bq/2c. L’application :
(x, y) 7→ θ([x, y]),
x, y ∈ Jm+1 ,
induit une forme alternée non dégénérée :
kθ : Jm+1 /Hm+1 × Jm+1 /Hm+1 → C× .
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [14, Proposition 3.9]. Il
suffit de remplacer [7, Theorem 3.4.1] par [14, Théorème 3.52] et [7, Proposition 3.2.12] par le lemme 2.30.
3. Le processus de raffinement
Soit A une F-algèbre centrale simple, soit G son groupe multiplicatif et soit
π une représentation irréductible de niveau non nul de G. Dans cette section,
on prouve que trois cas seulement peuvent se produire (cf. Théorème 3.23) :
(a) ou bien il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] de A, avec Λ stricte, telle que
π contienne un caractère simple θ ∈ C (Λ, 0, β), (b) ou bien π contient une
strate scindée (cf. Définition 3.9), (c) ou bien π contient un caractère scindé
(cf. Définition 3.22).
30
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
3.1. — On fixe un A-module à gauche simple V. L’ensemble L (V, OD ) des
OD -suites de réseaux de V est muni d’une structure affine provenant de celle
de l’immeuble de G sur F, qu’on peut décrire de la façon suivante (voir [2]).
Dans ce paragraphe, on note n la dimension de V sur D.
Remarque 3.1. — Sauf mention explicite du contraire, dans ce qui suit, les
suites de réseaux sont des OD -suites, et on note e(Λ) la période sur OD d’une
suite Λ.
À chaque base b de V sur D correspond d’une part un isomorphisme V ' Dn
de D-espaces vectoriels à droite, d’autre part l’ensemble L b (V, OD ) des OD suites de réseaux décomposées par b. Pour chaque entier i, on a une fonction
affine ai : L b (V, OD ) → R telle que, pour Λ ∈ L b (V, OD ) et k ∈ R, on ait :
(3.1)
Λk =
n
M
dk/e(Λ)−ai (Λ)e
pD
.
i=1
Cette base permet d’identifier les F-algèbres A et Mn (D), donc de faire de A
un D-espace vectoriel à droite par transport de structure. Pour chaque couple
d’entiers (i, j), on pose αij = ai − aj . Pour Λ ∈ L b (V, OD ), la OF -suite a(Λ)
est munie d’une structure de OD -suite et, pour k ∈ R, on a :
(3.2)
ak (Λ) =
n
M
dk/e(Λ)−αij (Λ)e
pD
.
i,j=1
En d’autres termes, un élément a ∈ A appartient à ak (Λ) si et seulement si,
pour chaque 1 6 i, j 6 n, la valuation normalisée de aij est supérieure ou égale
à k/e(Λ) − αij (Λ).
3.2. — On établit une liste de lemmes techniques. La remarque 3.1 vaut
toujours.
Lemme 3.2. — Soit Λ ∈ L (V, OD ) et soit un entier m ∈ Z. Il existe une
suite Λ0 ∈ L (V, OD ) stricte et un entier m0 ∈ Z tels qu’on ait :
(3.3)
a−m (Λ) ⊂ a−m0 (Λ0 ),
m0
m
6
.
0
e(Λ )
e(Λ)
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
31
Démonstration. — La démonstration est très proche de celle de [13, Proposition 2.3]. On se contente d’en donner les grandes lignes, et on renvoie à loc.
cit. pour les détails. D’abord, on remarque que, pour i ∈ Z, l’application
naturelle :
e(Λ)−1
(3.4)
a−m (Λ)/a−m+1 (Λ) →
M
HomkD (Λi+l /Λi+l+1 , Λi+l−m /Λi+l−m+1 )
l=0
est un isomorphisme de kD -espaces vectoriels. Donc si Λi 6= Λi+1 , on a l’égalité
a−m (Λ)Λi = Λi−m . En d’autres termes, la partie a−m (Λ) est taut par rapport
à Λ au sens de [13], c’est-à-dire que que a−m (Λ) opère sur l’ensemble L =
{Λi | i ∈ Z}. Comme Λ n’est pas nécessairement stricte, a−m (Λ) n’est pas
0
nécessairement completely taut. On note L la plus grande partie de L sur
laquelle l’action de a−m (Λ) est bijective, et on choisit une OD -suite stricte Λ0
0
de classe de translation L . Soit m0 ∈ Z l’entier défini par :
a−m (Λ)Λ0i = Λ0i−m0 ,
(3.5)
i ∈ Z.
En raisonnant comme dans la preuve de [13, Proposition 2.3], on obtient :
m
m0
6
.
0
e(Λ )
e(Λ)
D’après (3.5), on a l’inclusion cherchée.
Remarque 3.3. — (3.3) reste vrai si l’on remplace m0 par me(Λ0 )/e(Λ) ∈ Q.
Lemme 3.4. — Soient Λ, Λ0 ∈ L (V, OD ), et soient m, m0 ∈ Q. On pose :
(3.6) Λ(t) = (1 − t)Λ + tΛ0 ,
e(t) = e(Λ(t)),
m(t)
m
m0
= (1 − t)
+t
e(t)
e(Λ)
e(Λ0 )
pour t ∈ [0, 1] rationnel. Alors :
a−m (Λ) ∩ a−m0 (Λ0 ) ⊂ a−m(t) (Λ(t)).
Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ0 . Pour
1 6 i, j 6 n, on pose :
(3.7)
ρij (t) = −
m(t)
− αij (Λ(t)),
e(t)
32
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
qui est une application affine. Compte tenu de (3.2), il suffit de prouver que :
max(dρij (0)e, dρij (1)e) > d(1 − t)ρij (0) + tρij (1)e,
ce qui est immédiat.
Corollaire 3.5. — Sous les hypothèses de 3.4, on suppose que :
a−m (Λ) ⊂ a−m0 (Λ0 ).
Alors, pour tous 0 6 s 6 t 6 1 rationnels, on a :
a−m(s) (Λ(s)) ⊂ a−m(t) (Λ(t)).
Démonstration. — L’hypothèse implique que ρij (0) > ρij (1), c’est-à-dire que
chacune des fonctions affines ρij est décroissante. Le résultat s’ensuit.
Corollaire 3.6. — Soient Λ1 , . . . , Λr ∈ L (V, OD ) et soit m ∈ Q. On pose :
r
1X
Λ =
Λi ,
r i=1
0
Alors :
r
\
r
m0
1X m
=
.
e(Λ0 )
r i=1 e(Λi )
am (Λi ) ⊂ am0 (Λ0 ).
i=1
Démonstration. — Par récurrence sur r à partir du lemme 3.4.
Lemme 3.7. — Soient Λ, Λ0 ∈ L (V, OD ), et soient m, m0 ∈ Z. Il existe des
couples (Λ0 , m0 ), . . . , (Λl , ml ) ∈ L (V, OD ) × Q tels que :
abmk+1 c+1 (Λk+1 ) ⊂ amk (Λk ),
0 6 k 6 l − 1,
et tels que (Λ0 , m0 ) = (Λ, m) et (Λl , ml ) = (Λ0 , m0 ).
Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ0 , et
on reprend les notations (3.6) et (3.7). Chaque ρij est une application affine,
de sorte que t 7→ dρij (t)e ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Donc, compte
tenu de (3.2), l’application :
(3.8)
t 7→ am(t) (Λ(t))
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
33
ne prend qu’un nombre fini de valeurs sur l’intervalle rationnel [0, 1] ∩ Q. On
choisit une suite strictement croissante t0 , . . . , tl de cet intervalle telle que les
réseaux am(tk ) (Λ(tk )) décrivent les valeurs successives prises par (3.8). On pose
Λk = Λ(tk ) et mk = m(tk ). Pour prouver l’inclusion, il suffit de montrer que :
dρij (tk )e 6 bρij (tk+1 )c + 1
pour 1 6 i, j 6 m et 0 6 k 6 l − 1, ce qui est immédiat.
Lemme 3.8. — Soient Λ, Λ0 ∈ L (V, OD ), soient m, m0 ∈ Z et soit ε ∈ R×
+.
Il existe des couples (Λ0 , m0 ), . . . , (Λl , ml ) ∈ L (V, OD ) × Q tels que :
amk+1 (Λk+1 ) ⊂ amk −e(Λk )ε (Λk ),
0 6 k 6 l − 1,
et tels que (Λ0 , m0 ) = (Λ, m) et (Λl , ml ) = (Λ0 , m0 ).
Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ0 , et
on reprend les notations (3.6) et (3.7). Compte tenu de (3.2), l’inclusion :
am(t) (Λ(t)) ⊂ am(s)−e(s)ε (Λ(s))
a lieu, pour s, t ∈ [0, 1] rationnels, si et seulement si on a dρij (t)e > dρij (s)−εe.
Puisque ρij est affine, il suffit de choisir un entier l > 1 suffisamment grand et
de poser tk = k/l, pour 0 6 k 6 l, puis Λk = Λ(tk ) et mk = m(tk ).
3.3. — Soit [Λ, m, m − 1, b] une strate de A. On pose e = e(Λ|OF ) et on
note g le plus grand diviseur commun à e et m. On choisit une uniformisante
m/g
$F de F, et on pose yb = $F be/g , que l’on considère comme un élément
de EndF (V). Son polynôme caractéristique est à coefficients dans OF , et la
réduction modulo pF de celui-ci est appelée le polynôme caractéristique de la
strate. On le note ϕb . Il est à coefficients dans kF (cf. [18, §2.2]).
Définition 3.9. — La strate [Λ, m, m − 1, b] est dite fondamentale (resp.
scindée) si son polynôme caractéristique ϕb ∈ kF [X] n’est pas une puissance
de X (resp. a au moins deux facteurs irréductibles distincts).
Remarque 3.10. — Le polynôme ϕb dépend de l’uniformisante choisie, mais
pas les notions de strate fondamentale et de strate scindée.
34
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Les résultats suivants généralisent respectivement [4, Proposition 1.2.2] et
[4, Theorem 1.2.5].
Proposition 3.11. — Soit [Λ, m, m − 1, b] une strate non fondamentale de
A. Il existe un entier m0 ∈ Z et une OD -suite stricte Λ0 tels que :
b + a1−m (Λ) ⊂ a
−m0
0
(Λ ),
m
m0
<
.
0
e(Λ )
e(Λ)
Démonstration. — On procède par changement de base non ramifié.
◦
On
◦
choisit un couple (V , Λ ) comme au §2.3 et une extension non ramifiée F]
de F comme au §2.9, dont on reprend les notations. On pose b̄ = b ⊕ 0, de
sorte que la strate [Λ̄] , m, m − 1, b̄] de Ā] est non fondamentale. On peut donc
appliquer [4, Proposition 1.2.2]. On en tire une OD] -suite stricte L de V̄] et
un entier k ∈ Z tels que :
b̄ + a1−m (Λ̄] ) ⊂ a−k (L ),
(3.9)
k
m
<
.
e(L |OD] )
e(Λ)
Puisque le membre de gauche est stable par le groupe fini G n ∆, la relation
(3.9) est toujours valable si l’on remplace L par un de ses conjugués par ce
groupe. Si on applique le corollaire 3.6 à la famille des conjugués de L , on
obtient :
(3.10)
b̄ + a1−m (Λ̄] ) ⊂ a−k0 (L 0 ),
k
m
k0
=
<
,
0
e(L |OD] )
e(L |OD] )
e(Λ)
où L 0 désigne la moyenne de L relativement à G n ∆, c’est-à-dire l’isobarycentre des conjugués de L . La suite L 0 est à la fois invariante par G et
invariante par ∆, c’est-à-dire que ∆ est contenu dans U(L 0 ), donc que L 0 est
décomposée par la décomposition V̄] = V] ⊕ V◦] . En projetant (3.10) sur A,
on obtient :
b + a1−m (Λ) ⊂ a−k0 (L 0 ∩ V),
m
k0
<
.
0
e(L ∩ V)
e(Λ)
Enfin, on applique le lemme 3.2 à la suite L 0 ∩V : il existe une OD -suite stricte
Λ0 de V et un entier m0 ∈ Z vérifiant l’inclusion et l’inégalité voulues.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
35
Proposition 3.12. — Soit [Λ, m, m−1, b] une strate fondamentale non scindée de A. Il existe une strate simple [Λ0 , m0 , m0 −1, b0 ] avec Λ0 stricte, vérifiant :
b + a1−m (Λ) ⊂ b0 + a1−m0 (Λ0 ),
m
m0
=
.
0
e(Λ )
e(Λ)
Démonstration. — On note Λ̃ la OF -suite sous-jacente à Λ. L’élément caractéristique yb est dans A(Λ̃), et sa réduction modulo P(Λ̃) est inversible, puisque
son polynôme caractéristique ϕb est une puissance d’un polynôme irréductible
distinct de X. D’après (3.4), on en déduit que yb ∈ U(Λ̃), puis que b ∈ K(Λ).
Soit L une OD -suite stricte de V telle que a0 (L ) = a0 (Λ). En particulier,
b normalise L . D’après [4, Lemma 2.1.9(i)], si on pose k = −υL (b), la strate
[L , k, k − 1, b] est fondamentale non scindée, et on a :
(3.11)
a−m (Λ) = a−k (L ),
a1−m (Λ) = a1−k (L ).
D’après [4, Theorem 1.2.5], il existe une strate simple [Λ0 , m0 , m0 − 1, b0 ] avec
Λ0 stricte, telle que :
b + a1−k (L ) ⊂ b0 + a1−m0 (Λ0 ).
Compte tenu de (3.11), ceci met fin à la démonstration.
3.4. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. On pose q = −k0 (β, Λ) et on
fixe un entier 1 6 m 6 q − 1. On pose r = bq/2c + 1 et s = dq/2e.
Lemme 3.13. — Soit m0 = min{m, s} et soit ϑ un caractère de Hm0 dont
la restriction à Hm+1 est dans C (β, m, Λ). Il existe une unique représentation
irréductible τ de Um0 (Λ) dont la restriction à Hm0 contient ϑ.
Démonstration. — La démonstration est similaire à celle de [7, Lemma 8.1.8].
D’après la proposition 2.30, la forme alternée :
(x, y) 7→ ϑ([x, y]),
x, y ∈ Jm0 ,
ne dépend que de la restriction de ϑ à Hm+1 . D’après la proposition 2.31,
c’est donc une forme non dégénérée. Il existe donc une unique représentation
36
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
irréductible µ de Jm0 dont la restriction à Hm0 contient ϑ. Il reste à prouver
que l’entrelacement de µ dans Um0 (Λ) est contenu dans Jm0 , et l’induite :
U
τ = IndJmm00
(Λ)
(µ)
sera irréductible. L’entrelacement de µ est contenu dans :
IG (θ) = Ωq−m (β, Λ)B× Ωq−m (β, Λ)
par le théorème 2.23. Il faut donc montrer que :
Ωq−m (β, Λ) ∩ Um0 (Λ) ⊂ Jm0 (β, Λ),
ce qui revient à montrer :
(3.12)
aq−m (Λ) ∩ n−m (β, Λ) ∩ am0 (Λ) ⊂ Jm0 (β, Λ).
On continue par récurrence sur k0 (β, Λ). Si m < r, l’équation (3.12) est
impliquée par [7, Proposition 3.1.10(i)] dans le cas déployé D = F, d’où le cas
général en appliquant le lemme 2.28.
On suppose donc que m > r (et m0 = s). Si β est minimal sur F, alors
J
m0
(β, Λ) = am0 (Λ) et il n’y a rien à démontrer. Sinon, soit [Λ, n, q, γ] une
strate simple équivalente à [Λ, n, q, β], soit B1 le commutant de γ dans A et
soit q1 = −k0 (γ, Λ). Alors on a :
aq−m (Λ) ∩ n−m (β, Λ) = aq−m (Λ) ∩ n−m (γ, Λ)
= aq−m (Λ) ∩ B1 + aq1 −m (Λ) ∩ n−m (γ, Λ).
On a aq−m (Λ) ∩ Bγ ⊂ Jm0 (γ, Λ) et, puisque m0 < r1 = bq1 /2c + 1, on a :
aq1 −m (Λ) ∩ n−m (γ, Λ) ∩ am0 ⊂ Jm0 (γ, Λ)
par récurrence. Puisque Jm0 (γ, Λ) = Jm0 (β, Λ), la preuve est terminée.
Lemme 3.14. — Soit m0 = min{m, s} et soit ϑ un caractère de Hm0 dont la
restriction à Hm+1 est dans C (Λ, m, β). Soit K un sous-groupe ouvert compact
de Um0 (Λ), et soit ρ une représentation irréductible de K dont la restriction
à Hm0 ∩ K contient ϑ|Hm0 ∩K . Alors toute représentation irréductible de G
contenant ϑ contient ρ.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
37
Démonstration. — La preuve est similaire à celle de [7, Proposition 8.1.7]. Il
suffit de remplacer [7, Lemma 8.1.8] par le lemme 3.13.
3.5. — Soit π une représentation irréductible de G et soit s une corestriction
modérée sur A relative à E/F.
Proposition 3.15. — Soient θ̃ ∈ C (Λ, dme − 1, β) et c ∈ ad−me (Λ) tels que
π contienne le caractère ϑ = θ̃ψc de Hdme (β, Λ). Soit Λ0 une OD -suite E-pure
de période e(Λ0 ) et soit m0 = me(Λ0 )/e(Λ). Soit α0 ∈ ad−me (Λ) ∩ ad−m0 e (Λ0 ) ∩ B
tel que :
s(c) + a1−dme (Λ) ∩ B ⊂ α0 + a1−dm0 e (Λ0 ) ∩ B.
Alors il existe θ̃0 ∈ C (Λ0 , dm0 e − 1, β) et c0 ∈ ad−m0 e (Λ0 ) tels que s(c0 ) = α0 et
0
tels que π contienne le caractère ϑ0 = θ̃0 ψc0 de Hdm e (β, Λ0 ). Si α0 = 0, on peut
choisir c0 = 0.
Démonstration. — Soit m0 = min{dme, s}. Puisque Hm0 (β, Λ)/Hdme (β, Λ) est
abélien, π contient un caractère ϑ̃ de Hm0 (β, Λ) qui prolonge ϑ. En prolongeant
θ̃ en un caractère simple de Hm0 (β, Λ), que l’on note aussi θ̃, et en changeant
c dans sa classe modulo a1−dme (Λ), on a encore ϑ̃ = θ̃ψc .
Nous démontrons la proposition dans un premier temps sous l’hypothèse
supplémentaire :
(H)
0
Hdm e (β, Λ0 ) ⊂ Um0 (Λ).
On commence par prouver le lemme suivant.
Lemme 3.16. — Pour tous k, k 0 ∈ Z, on a :
s(ak (Λ) ∩ ak0 (Λ0 )) = s(ak (Λ)) ∩ s(ak0 (Λ0 )).
Démonstration. — Dans le cas où A est déployée sur F et où Λ, Λ0 sont strictes,
c’est une conséquence de [7, §1.3] et du fait que ak (Λ) et ak0 (Λ0 ) sont des réseaux
E-exacts. Dans le cas général, on choisit un couple (V◦ , Λ◦ ) comme au §2.3.
L’égalité est valable pour les OF -suites sous-jacentes à Λ̄ et à Λ̄0 , appliquée
avec une corestriction modérée de EndF (V ⊕ V◦ ) dont la restriction à A est s.
On obtient le lemme 3.16 par projection sur A.
38
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Puisque α0 appartient à ad−me (Λ) ∩ ad−m0 e (Λ0 ) ∩ B, il existe, d’après le
lemme 3.16, un élément c0 ∈ ad−me (Λ) ∩ ad−m0 e (Λ0 ) tel que s(c0 ) = α0 , et on
peut prendre c0 = 0 si α0 = 0. On pose δ = c0 − c ∈ ad−me (Λ).
Lemme 3.17. — Il existe x ∈ aq−bmc (Λ) ∩ n−bmc (β, Λ) tel que :
δ − (1 + x)−1 aβ (x) − (1 + x)−1 (cx − xc) ∈ a1−dm0 e (Λ0 ).
Démonstration. — On démontre par récurrence que, pour t > 0, il existe
xt ∈ aq−bmc (Λ) ∩ n−bmc (β, Λ) tel que :
(3.13) δ − (1 + xt )−1 aβ (xt ) − (1 + xt )−1 (cxt − xt c) ∈ a1−dm0 e (Λ0 ) + at−bmc (Λ).
Le lemme s’ensuit puisque at−bmc (Λ) ⊂ a1−dm0 e (Λ0 ) pour t suffisamment grand.
Puisque δ ∈ a−bmc (Λ), on peut prendre x0 = 0. Supposons donc que t > 0 et
qu’on ait trouvé xt ∈ aq−bmc (Λ) ∩ n−bmc (β, Λ) tel que (3.13) soit satisfaite. Il
existe alors δt ∈ at−bmc (Λ) tel que :
δ − (1 + xt )−1 aβ (xt ) − (1 + x)−1 (cxt − xt c) ∈ δt + a1−dm0 e (Λ0 ).
On impose δ0 = δ dans le cas t = 0 et, dans ce cas :
s(δ0 ) = α0 − s(c) ∈ a1−dm0 e (Λ0 ) ∩ B.
Également, pour t > 0, on a :
s(δt ) ∈ at−bmc (Λ) ∩ B ⊂ a1−dme (Λ) ∩ B ⊂ a1−dm0 e (Λ0 ) ∩ B.
Donc δt ∈ at−bmc (Λ) ∩ a1−dm0 e (Λ0 ) + aβ (A) .
Lemme 3.18. — Pour tous k, k 0 ∈ Z, on a :
ak (Λ) ∩ (ak0 (Λ0 ) + aβ (A)) = ak (Λ) ∩ ak0 (Λ0 ) + ak (Λ) ∩ aβ (A).
Démonstration. — Dans le cas où A est déployée sur F et où Λ, Λ0 sont strictes,
c’est une conséquence de [7, 8.1.13]. On traite le cas général comme au lemme
3.16.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
39
D’après le lemme 3.18, on a :
at−bmc (Λ)∩ a1−dm0 e (Λ0 ) + aβ (A) = at−bmc (Λ)∩a1−dm0 e (Λ0 )+at−bmc (Λ)∩aβ (A).
D’après la proposition 2.29, il existe yt ∈ aq+t−bmc (Λ) ∩ nt−bmc (β, Λ) tel que :
δt − aβ (yt ) ∈ at−bmc (Λ) ∩ a1−dm0 e (Λ0 ),
et xt+1 = xt + yt est comme il faut.
Revenons à la démonstration de la proposition 3.15 sous l’hypothèse (H).
Soit x comme dans le lemme 3.17. Par le lemme 2.30, l’élément 1+x normalise
Hm0 (β, Λ) et :
ϑ̃1+x = ϑ̃ψ(1+x)−1 aβ (x) ψ(1+x)−1 (cx−xc) .
Soit θ̃0 le caractére simple dans C (Λ0 , dm0 e − 1, β) qui coı̈ncide avec θ̃ sur
0
Hdm e (β, Λ0 ) ∩ Hm0 (β, Λ). Le lemme 3.17 implique que, comme caractère du
0
groupe Hdm e (β, Λ0 ) ∩ Hm0 (β, Λ), on a :
ϑ̃1+x = θ̃0 ψc0 .
Puisque l’hypothèse (H) est satisfaite, on déduit du lemme 3.14 que π contient
ϑ0 = θ̃0 ψc0 .
Traitons maintenant le cas général.
Supposons d’abord que m 6 q/2.
D’après le lemme 3.7, il existe une famille finie (Λi )06i6l vérifiant :
Udmi e (Λi ) ⊃ Ubmi+1 c+1 (Λi+1 ),
0 6 i 6 l − 1,
avec (Λ0 , m0 ) = (Λ, m), (Λl , ml ) = (Λ0 , m0 ) et mi = mei /e, où ei est la période
de Λi . Par le lemme 3.4, on a s(c) ∈ a−bmi c (Λi ) ∩ B, pour chaque i, et :
s(c) + a1−dmi e (Λi ) ∩ B ⊂ s(c) + a1−dmi+1 e (Λi+1 ) ∩ B,
0 6 i 6 l − 1.
Par dualité, on obtient :
Udmi e (Λi ) ∩ B ⊃ Udmi+1 e (Λi+1 ) ∩ B.
Soit qi = −k0 (β, Λi ) = qei /e. Puisque m 6 q/2, on a mi 6 qi /2 et donc :
Hdmi+1 e (β, Λi+1 ) = Udmi+1 e (Λi+1 ) ∩ B Hbmi+1 c+1 (β, Λi+1 ) ⊂ Udmi e (Λi ).
40
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Appliquant le cas où l’hypothèse (H) est vérifiée, on voit que, pour chaque i,
il existe θ̃i ∈ C (Λi , dmi e − 1, β) et ci ∈ ad−mi e (Λi ) tels que s(ci ) = s(c) et π
contienne le caractère ϑi = θ̃i ψci de Hdmi e (β, Λi ). À la dernière étape, on peut
remplacer s(c) par α0 et on en déduit le résultat.
Finalement, supposons que m > q/2 et fixons ε > 0 tel que eε < m − q/2.
Par le lemme 3.8, il existe une famille finie (Λi )06i6l vérifiant :
Udmi+1 e (Λi+1 ) ⊂ Udmi −ei εe (Λi ),
0 6 i 6 l − 1,
avec (Λ0 , m0 ) = (Λ, m), (Λl , ml ) = (Λ0 , m0 ) et mi = mei /e, où ei est la période
de Λi . On a :
ei
ei q
qi
(m − eε) >
= ,
e
e2
2
donc dmi − ei εe > dqi /2e = si et :
mi − ei ε =
Hdmi+1 e (β, Λi+1 ) ⊂ Udmi+1 e (Λi+1 ) ⊂ Udmi −ei εe (Λi ) ⊂ Udsi e (Λi ).
La démonstration se termine maintenant comme dans le cas précédent.
3.6. — Soit π une représentation irréductible de niveau non nul de G.
Proposition 3.19. — On est dans l’un des deux cas suivants :
(1) Il existe une strate scindée [Λ, n, n − 1, b] de A, avec n > 1 et Λ stricte,
telle que la restriction de π à Un (Λ) contienne ψb ;
(2) Il existe une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte, et un caractère simple θ ∈ C (Λ, m, β), tels que la restriction de π à Hm+1 (β, Λ) contienne
θ.
Remarque 3.20. — Dans le cas (1), on dit que π contient une strate scindée.
Démonstration. — D’abord, d’après [4, Theorem 1.2.1(i)], la représentation π
contient une strate fondamentale [Λ, n, n − 1, b] de A, avec Λ stricte, c’est-àdire que la restriction de π à Un (Λ) contient ψb . Si elle est scindée, alors on
est dans le premier cas. Si elle ne l’est pas, alors, d’après [4, Theorem 1.2.4],
la représentation π contient une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte,
c’est-à-dire que la restriction de π à Hm+1 (β, Λ) contient un caractère simple
θ ∈ C (Λ, m, β).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
41
Il est commode d’introduire la définition suivante. Soit [Λ, n, m, β] une strate
simple de A avec m > 1. Soit VE un B-module à gauche simple, soit DE
l’algèbre opposée à EndB (VE ), soit Γ une ODE -suite de réseaux de VE vérifiant
la condition du théorème 1.4 et soit s une corestriction modérée sur A relativement à E/F (cf. §2.11).
Définition 3.21. — Une strate dérivée de [Λ, n, m, β] est une strate de B de
la forme [Γ, m, m − 1, s(c)] avec c ∈ a−m (Λ).
On définit maintenant les caractères scindés de G. C’est ce qui est appelé,
dans [7], les types scindés de niveau (x, y), avec x > y > 0.
Définition 3.22. — Un couple (K, ϑ) est un caractère scindé de G s’il existe
une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec m > 1 et Λ stricte, un caractère simple
θ ∈ C (Λ, m − 1, β) et c ∈ a−m (Λ) tels que :
(i) On a K = Hm (β, Λ) et ϑ = θψc .
(ii) La strate dérivée [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée, pour n’importe quelle
corestriction modérée s sur A relativement à E/F.
La distinction entre strate scindée et caractère scindé est assez superficielle :
c’est à peu près la même que celle qu’on fait entre types simples de niveau 0
et de niveau > 0 (cf. [16]).
On est maintenant en mesure de formuler le résultat principal de cette section.
Théorème 3.23. — Soit π une représentation irréductible de niveau non nul
de G. Alors :
(1) ou bien il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] de A, avec Λ stricte, telle
que π contienne un caractère simple θ ∈ C (Λ, 0, β) ;
(2) ou bien π contient une strate scindée.
(3) ou bien π contient un caractère scindé.
Le reste du paragraphe est consacré à la démonstration du théorème 3.23.
D’après la proposition 3.19, si π ne contient pas de strate scindée, il existe
une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte, et un caractère simple θ ∈
42
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
C (Λ, m, β), tels que la restriction de π à Hm+1 (β, Λ) contienne θ. On choisit
[Λ, n, m, β] et θ tels que le rapport m/e(Λ|OF ) soit minimal. Si m = 0, alors
on est dans le cas (1) du théorème 3.23. Dans toute la suite du §, on suppose
que m > 1. On fixe un B-module à gauche simple VE et on note DE l’algèbre
opposée à EndB (VE ). On fixe une ODE -suite Γ de réseaux de VE vérifiant la
condition du théorème 1.4. On fixe un caractère ϑ de Hm (β, Λ) contenu dans
π et prolongeant θ, un caractère simple θ̃ ∈ C (Λ, m − 1, β) prolongeant θ
et un élément c ∈ a−m (Λ) tel que ϑ = θ̃ψc . Enfin, on fixe une corestriction
modérée s sur A relativement à E/F. Il s’agit de prouver que la strate dérivée
[Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée.
Proposition 3.24. — La strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est fondamendale.
Remarque 3.25. — Pour simplifier les notations, on calcule toutes les périodes de suites de réseaux sur OF et, si Λ est une suite de réseaux, on note e(Λ)
pour e(Λ|OF ). Cette remarque se substitue donc à la remarque 3.1. Pour une
OD -suite de réseaux Λ, on a e(Λ|OF ) = e(Λ|OD )d, où d désigne le degré réduit
de D sur F. Pour une ODE -suite de réseaux Γ, on a e(Γ|OF ) = e(Γ|OE )eE/F ,
où eE/F désigne l’indice de ramification de E/F.
Démonstration. — On raisonne par l’absurde. D’après la proposition 3.11, il
existe un entier k 0 ∈ Z et une ODE -suite stricte Γ0 de VE tels que :
(3.14)
s(c) + a1−m (Λ) ∩ B = s(c) + b1−m (Γ) ⊂ b−k0 (Γ0 )
et :
k0
m
<
.
0
e(Γ )
e(Γ)
(3.15)
On fixe un couple (ρ0 , Λ0 ) correspondant à Γ0 par le théorème 1.7 et on pose
m0 = me(Λ0 )/e(Λ).
Lemme 3.26. — On a :
(3.16)
s(c) + a1−m (Λ) ∩ B ⊂ a1−dm0 e (Λ0 ) ∩ B
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
43
et :
(3.17)
dm0 e − 1
m
<
.
0
e(Λ )
e(Λ)
Démonstration. — À partir de (3.15) et de la remarque 1.10, on écrit :
ρ0 k 0 <
e(Λ0 )
m = m0 .
e(Λ)
Compte tenu du fait que ρ0 k 0 est entier, on en déduit :
−ρ0 k 0 > 1 − dm0 e,
ce qui, avec (3.14), donne (3.16). Ensuite, on écrit m0 = dm0 e − 1 + a/e(Λ),
avec 1 6 a 6 e(Λ). On obtient :
dm0 e − 1
m0
a
m
=
−
<
,
0
0
0
e(Λ )
e(Λ ) e(Λ)e(Λ )
e(Λ)
ce qui termine la démonstration.
D’après le lemme 3.15 appliqué avec α0 = 0, il existe un caractère simple de
C (Λ0 , dm0 e−1, β) contenu dans π, ce qui contredit la minimalité de m/e(Λ).
Proposition 3.27. — La strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée.
Démonstration. — On raisonne par l’absurde. D’après la proposition 3.12, il
existe un entier k 0 ∈ Z, une ODE -suite stricte Γ0 de VE et α0 ∈ B tels que :
s(c) + a1−m (Λ) ∩ B ⊂ α0 + b1−k0 (Γ0 )
et tels que la strate [Γ0 , k 0 , k 0 − 1, α0 ] soit simple. On fixe un couple (ρ0 , Λ0 )
correspondant à Γ0 par le théorème 1.7 et on pose m0 = ρ0 k 0 ∈ Z. On a donc :
s(c) + a1−m (Λ) ∩ B ⊂ α0 + a1−m0 (Λ0 ) ∩ B.
Avant d’appliquer à nouveau le lemme 3.15, on a besoin des deux lemmes
suivants.
Lemme 3.28. — On a m/e(Λ) = m0 /e(Λ0 ).
44
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Démonstration. — Puisque la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est fondamentale, on a
s(c) ∈ K(Γ). Ensuite, on a s(c) − α0 ∈ a1−k0 (Γ0 ) et α0 ∈ a−k0 (Γ0 ), c’est-à-dire
que les strates [Γ0 , k 0 , k 0 − 1, s(c)] et [Γ0 , k 0 , k 0 − 1, α0 ] sont équivalentes. Elles
ont donc le même polynôme caractéristique, de sorte que [Γ0 , k 0 , k 0 − 1, s(c)]
est fondamentale. Ainsi s(c) ∈ K(Γ0 ). On en déduit que m/e(Γ) = k 0 /e(Γ0 ), ce
qui implique l’égalité voulue.
Lemme 3.29. — On a a−m0 (Λ0 ) ∩ B ⊂ a−m (Λ) ∩ B.
Démonstration. — En prenant le dual de l’inclusion :
a1−m (Λ) ∩ B ⊂ a1−m0 (Λ0 ) ∩ B,
on obtient am0 (Λ0 ) ∩ B ⊂ am (Λ) ∩ B. Puis, en multipliant par s(c)2 et en tenant
compte du lemme 3.28, on obtient l’inclusion voulue.
D’après le lemme 3.15, il existe un caractère simple θ̃0 ∈ C (Λ0 , m0 − 1, β) et
c0 ∈ a−m0 (Λ0 ) tels que s(c0 ) = α0 et que π contienne le caractère ϑ0 = θ̃0 ψc0 .
Pour terminer la preuve de la proposition 3.27, on a besoin du résultat suivant,
analogue de [7, Theorem 2.2.8].
Proposition 3.30. — La strate [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ] est équivalente à une
strate simple.
On reporte la preuve de la proposition 3.30 au paragraphe suivant. En attendant, on termine la preuve de la proposition 3.27. On choisit une strate simple
[Λ0 , n0 , m0 − 1, β 0 ] équivalente à [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ]. La strate [Λ0 , n0 , m0 , β 0 ] est
équivalente à la strate simple [Λ0 , n0 , m0 , β]. On applique la proposition 2.15.
On a une bijection :
C (Λ0 , m0 − 1, β) → C (Λ0 , m0 − 1, β 0 )
envoyant θ̃0 sur ϑ0 ψβ 0 −β−c0 . Mais β 0 − β − c0 ∈ a1−m0 (Λ0 ). Ceci implique que
ϑ0 ∈ C (Λ0 , m0 − 1, β 0 ), et contredit la minimalité de m/e(Λ|OF ).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
45
3.7. — Dans ce paragraphe, on démontre la proposition 3.30. D’après [16,
Théorème 2.2], il suffit de prouver que [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ] est équivalente à
une strate pure.
On pose K = E(α0 ) et on note C le commutant de K dans A. On fixe un
K ⊗F D-module à droite simple S et on pose A(K) = EndD (S). On note DK le
commutant de K dans A(K). C’est une K-algèbre à division. On choisit une
décomposition de V en somme de K ⊗F D-modules qui soit conforme à Λ0 . On
en déduit un plongement de F-algèbres ι : A(K) → A et un isomorphisme de
(A(K), C)-bimodules (cf. [16, §1.3]) :
A(K) ⊗DK C → A.
(3.18)
On a besoin du lemme suivant.
Lemme 3.31. — Soit s0 une corestriction modérée sur A(K) relativement à
E/F. Alors s0 ⊗ idC est une corestriction modérée sur A relativement à E/F.
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7, Proposition 1.3.9],
compte tenu de [4, Lemmas 4.2.1–4.2.2].
On note s0 la corestriction modérée sur A(K) relativement à E/F telle que
s0 ⊗ idC corresponde à s via (3.18). On note A(K) l’unique ordre héréditaire
de A(K) normalisé par K× et P(K) son radical de Jacobson. On note e le
rapport de e(Λ0 |OD ) sur e(A(K)|OD ). On pose n00 = n0 /e et m00 = m0 /e. Ce
sont des entiers, égaux respectivement à −υA(K) (β) et à −υA(K) (α0 ). Soit enfin
00
un élément c0 ∈ P(K)−m tel que s0 (c0 ) = α0 .
Lemme 3.32. — La strate [A(K), n00 , m00 − 1, β + c0 ] est pure.
Démonstration. — La preuve est très proche de celle de [7, Proposition 2.2.3].
D’après le théorème 1.4, le normalisateur de A(K) dans DK est égal au normalisateur de l’unique OK -ordre de DK , qui est ODK . Donc A(K) est normalisé
par D×
K . On note B(K) le commutant de E dans A(K).
Soit x ∈ A(K)× commutant à β + c0 et soit t ∈ Z le plus grand entier tel
que x ∈ P(K)t . En raisonnant comme dans le preuve de [7, Proposition 2.2.3]
46
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
et en remplaçant [7, Corollary 1.4.10] par la proposition 2.29, on obtient :
x ∈ P(K)t ∩ DK + P(K)t+1 \P(K)t+1 ⊂ K(A(K)).
Donc le centralisateur de F[β + c0 ] dans A(K)× est compact modulo le centre.
Ainsi la F-algèbre F[β +c0 ] est un corps dont le groupe multiplicatif est contenu
dans K(A(K)), ce qui termine la démonstration du lemme 3.32.
Ainsi l’image par ι de la strate pure [A(K), n00 , m00 − 1, β + c0 ] est une strate
pure [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ]. On a s(β + c0 ) = s(β + c0 ). D’après la proposition
2.29, il existe un élément y ∈ aq0 −m0 (Λ) ∩ n−m0 (Λ) tel que :
c0 − c0 ≡ aβ (y)
mod a1−m0 (Λ0 ).
On en déduit que [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ] est équivalente à la conjuguée de la
strate [Λ0 , n0 , m0 − 1, β + c0 ] par 1 + y, ce qui met fin à la fois à la preuve de la
proposition 3.30 et à celle du théorème 3.23.
4. Modules de Jacquet
Soit π une representation irréductible de niveau non nul de G. Par le
théorème 3.23, on sait que π contient soit un caractère simple d’un groupe
H1 (β, Λ) avec Λ stricte, soit un caractère scindé, soit une strate scindée. Le
but principal de cette section est de démontrer le théorème suivant :
Théorème 4.1. — Soit π une representation irréductible supercuspidale de
niveau non nul de G. Il existe une strate simple [Λ, n, 0, β], avec Λ stricte, et
un caractère simple θ ∈ C (Λ, 0, β) tels que π|H1 (β,Λ) contienne θ.
L’idée est d’utiliser la notion de paire couvrante pour démontrer que, dans
le cas où la représentation π contient un caractère scindé ou une strate scindée,
elle a un module de Jacquet non nul.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
47
4.1. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A avec m > 1 et avec Λ stricte.
Soit V = V1 ⊕V2 une décomposition de V en E⊗F D-modules, qui est conforme
à Λ, et soit :
M = AutD (V1 ) × AutD (V2 ),
qui est un sous-groupe de Levi de G. Soient N = 1 + A12 et N− = 1 + A21 , et
soient P = MN et P− = MN− . Donc P est un sous-groupe parabolique avec
facteur de Levi M, et P− est le sous-groupe parabolique opposé.
Soit B le commutant de E dans A. On fixe un B-module à gauche simple VE
et on note DE l’algèbre opposée à EndB (VE ). Soit Γ une ODE -suite de réseaux
telle que ak (Λ) ∩ B = bk (Γ) pour k ∈ Z, donnée par le théorème 1.4. La
décomposition V = V1 ⊕ V2 correspond à une décomposition VE = VE1 ⊕ VE2
telle que :
M ∩ B = AutDE (VE1 ) × AutDE (VE2 ).
C’est une décomposition conforme à Γ, et on pose Γi = Γ ∩ VEi . On fixe aussi
une corestriction modérée s : A → B. Alors les restrictions si = s|Ai : Ai → Bi
sont aussi des corestrictions modérées.
Soient ci ∈ Ai ∩ a−m (Λ). On pose c = c1 + c2 ∈ A. On suppose que la
strate [Γ, m, m − 1, s(c)] de B est (fondamentale) scindée par la décomposition,
c’est-à-dire que les polynômes caracteristiques des strates [Γi , m, m − 1, s(ci )],
pour i ∈ {1, 2}, sont premier entre eux. On suppose aussi que s(c1 ) normalise
Γ1 et que υΓ1 (s(c1 )) = −m.
Lemme 4.2. — On a :
IB× (ψc |Um (Λ)∩B ) ⊂ (U1 (Λ) ∩ B) · (M ∩ B) · (U1 (Λ) ∩ B).
Démonstration. — L’entrelacement de ψc |Um (Λ)∩B est le même que l’entrelacement de la strate [Γ, m, m − 1, s(c)]. La démonstration est alors presque
identique à celle de [17, Theorem 4.9] : il suffit de remplacer [17, Lemma 4.11]
par [4, Lemma 2.3.4].
48
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Soit maintenant θ un caractère simple dans C (Λ, m − 1, β). On considère le
caractère ξ = θψc de Hm (β, Λ). On pose :
Ω = (U1 (Λ) ∩ B)Ωq−m+1 (β, Λ).
D’après la proposition 2.24, le caractère θ est normalisé par Ω. Puisque Ω ⊂
U1 (Λ) normalise ψc , le caractère ξ est lui aussi normalisé par Ω.
Théorème 4.3. — On a IG (ξ) ⊂ ΩMΩ.
Démonstration. — Si g ∈ G entrelace ξ, alors g entrelace a fortiori sa restriction ξ|Hm+1 (β,Λ) = θ|Hm+1 (β,Λ) . D’après le théorème 2.23, l’élément g appartient
donc à Ωq−m (β, Λ)B× Ωq−m (β, Λ).
On écrit γ = (1 + x)t(1 + y)−1 , avec x, y ∈ mq−m (β, Λ) et t ∈ B× . Puisque
1 + x est dans (1 + aq−m (Λ) ∩ n−m (β, Λ))Js (β, Λ), on a, d’après la proposition
2.30 :
(4.1)
ξ 1+x = ξψ(1+x)−1 β(1+x)−β = ξψaβ (x) .
L’élément t entrelace ξ 1+x et ξ 1+y , donc leur restriction au groupe Hm (β, Λ) ∩
B = Um (Λ) ∩ B. Puisque les restriction de ψaβ (x) et ψaβ (y) à Um (Λ) ∩ B sont
triviales, et puisque t entrelace certainement θ|Um (Λ)∩B , on voit que t entrelace
aussi le caractère ψc |Um (Λ)∩B . D’après le lemme 4.2, on a :
t ∈ (U1 (Λ) ∩ B)(M ∩ B)(U1 (Λ) ∩ B).
Puisque U1 (Λ) ∩ B normalise ξ et le groupe Ωq−m (β, Λ), on peut donc supposer
que t ∈ M ∩ B.
Par la décomposition d’Iwahori de Ωq−m (β, Λ) par rapport à (M, P), on
−
−
écrit 1 + x = n−
x mx nx , avec nx ∈ Ωq−m (β, Λ) ∩ N , mx ∈ Ωq−m (β, Λ) ∩ M et
nx = 1 + xn ∈ Ωq−m (β, Λ) ∩ N. On écrit 1 + y = n−
y my ny de la même manière.
On pose :
H− =
!
Hm+1 (β, Λ) Hm+1 (β, Λ)
Hm (β, Λ)
Hm+1 (β, Λ)
et H− = 1 + H− = Hm+1 (β, Λ)(Hm (β, Λ) ∩ N− ). L’élément t entrelace les
restrictions ξ 1+x |H− et ξ 1+y |H− et, puisque n−
x mx normalise ξ|H− , on a l’égalité
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
49
ξ 1+x |H− = ξ nx |H− . Puisque ξ|H− = θ|H− est entrelacé par t, on déduit de (4.1)
que t entrelace les caractères ψaβ (xn ) et ψaβ (yn ) , c’est-à-dire que :
t−1 aβ (xn )t ≡ aβ (yn )
mod t−1 H∗− t + H∗− .
Cette équivalence est certainement satisfaite dans tous les blocs sauf peut-être
le bloc A12 , où la condition est :
aβ (t−1 xn t − yn ) ∈ (t−1 (Hm (β, Λ))∗ t + (Hm (β, Λ))∗ ) ∩ A12 .
D’après le lemme 2.27, il existe x0n , yn0 dans mq−m+1 (β, Λ) ∩ A12 tels que :
aβ (t−1 x0n t − yn0 ) = aβ (t−1 xn t − yn ).
Donc (t−1 x0n t − yn0 ) − (t−1 xn t − yn ) appartient au (1, 2)-bloc de :
t−1 mq−m (β, Λ)t + mq−m (β, Λ) ∩ B ⊂ t−1 (a1 (Λ) ∩ B) t + (a1 (Λ) ∩ B) .
Il existe donc x00n , yn00 ∈ (a1 (Λ) ∩ B + mq−m+1 ) ∩ A12 tels que t−1 x00n t − yn00 =
t−1 xn t − yn et donc :
(1 + x00n )t(1 + yn00 )−1 = nx tn−1
y .
Puisque (1 + x00n ), (1 + yn00 ) ∈ Ω ∩ N qui normalise ξ, et puisque le groupe
−
−1
Ωq−m (β, Λ) normalise Ω, on peut supposer que g = n−
x mx t(ny my ) . De la mê-
me manière, en regardant la restriction de ξ à H+ = Hm+1 (β, Λ)(Hm (β, Λ)∩N),
on se ramène au cas g = mx tm−1
y ∈ M, ce qui démontre le théorème.
On pose K = Hm (β, Λ)(Ω ∩ N), qui est un sous-groupe ouvert compact de
G, puisque Ω normalise Hm (β, Λ). Comme Ω normalise aussi ξ, on obtient :
Lemme 4.4. — Il existe un unique caractère ξ˜ de K qui est trivial sur K ∩ N
et qui prolonge ξ.
˜ alors g ∈ K ∩ N.
Corollaire 4.5. — Si g ∈ N entrelace ξ,
Démonstration. — Supposons que g ∈ N entrelace ξ. D’après le théorème 4.3,
il existe m ∈ M et γ1 , γ2 ∈ Ω tels que g = γ1−1 mγ2 . Puisque Ω possède un
50
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
décomposition d’Iwahori par rapport à (M, P), on peut écrire γi = γi− γiM γi+ ,
pour i = 1, 2, avec γi− ∈ Ω ∩ N− , γiM ∈ Ω ∩ M et γi+ ∈ Ω ∩ N. On a donc :
γ1+ g(γ2+ )−1 = (γ1− γ1M )−1 mγ2− γ2M ∈ N ∩ P− = {1},
d’où on déduit que g = (γ1+ )−1 γ2+ ∈ Ω ∩ N = K ∩ N.
4.2. — Pour i ∈ {1, 2}, on suppose donnés d’une part un sous-groupe ouvert
K̃i de U(Λ)Gi qui contient et normalise le groupe Hm (β, Λ) ∩ Gi , d’autre part
une représentation irréductible %i de K̃i dont la restriction à K̃i ∩K est multiple
de ξ|K̃i ∩Hm (β,Λ) .
Corollaire 4.6. —
(i) L’ensemble K̃ = (K̃1 × K̃2 ) · K est un groupe.
(ii) Il existe une unique représentation irréductible % de K̃ telle que les restrictions %|K̃∩N et %|K̃∩N− soient triviales, et que %|K̃∩M ' %1 ⊗ %2 .
(iii) La paire (K̃, %) est une paire couvrante de (K̃1 × K̃2 , %1 ⊗ %2 ).
Démonstration. — Avec l’élément fortement (P, K̃)-positif :
ζ=
!
$F 0
0
1
,
où $F désigne une uniformisante de F, la démonstration est identique à celle
de [9, Corollary 6.6].
4.3. — On rappelle que r = bq/2c + 1 et s = dq/2e. On définit trois entiers
m0 = max{q − m, m}, ms = max{q − m + 1, s} et mr = max{q − m, r − 1}.
Soit ε = ms − mr . On pose :



Hm (β, Λ)(Hl−ε+1 (β, Λ) ∩ N), ms 6 l < m0 + ,


Kl = Hm (β, Λ)(Ωl+1 (β, Λ) ∩ N),
q − m 6 l < ms ,



K
0 6 l < q − m,
q−m (Ul+1 (Λ) ∩ B ∩ N),
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
51
et :


((Um−l+ε (Λ) ∩ B)Ωq−l+ε (β, Λ)) ∩ N− , ms 6 l 6 m0 + ε,


Ξl = ((Um−l (Λ) ∩ B)Hq−l (β, Λ)) ∩ N− ,
q − m < l < ms ,



(U (Λ) ∩ B) ∩ N− ,
0 < l 6 q − m.
m−l
On a le lemme suivant.
Lemme 4.7. — Pour 0 < l < m + ε, le groupe Ξl agit transitivement sur les
caractères de Kl−1 qui prolongent ξ˜|K
l
Démonstration. — On considére le cas ms 6 l < m + ε, les autres cas étant
similaires. Comme le quotient Kl−1 /Kl est abélien, tout caractère de Kl−1
qui étend ξ˜|K est de la forme ξ˜|K ψb , pour b ∈ Hl−ε+1 (β, Λ)∗ ∩ A21 . Donc
l
l−1
21
s(b) ∈ a−l+ε (Λ) ∩ B .
D’après [4, Lemma 2.3.8], il existe x ∈ am−l+ε (Λ) ∩ B21 tel qu’on ait s(b) =
s(c)x − xs(c) = s(ac (x)). Pour h ∈ Kl−1 , le commutateur [1 + x, h] appartient
à Hm (β, Λ) et, comme x ∈ B, la proposition 2.30 implique :
˜ + x, h]) = ψc ([1 + x, h]) = ψa (x) (h).
ξ([1
c
D’après le lemme 2.27 il existe un élément y ∈ mq−l+ε ∩ A21 tel que aβ (y) =
b − ac (x). D’aprés la proposition 2.30, pour h ∈ Kl−1 , le commutateur [1 + y, h]
appartient à Hm+1 (β, Λ) et :
˜ + y, h]) = θ([1 + y, h]) = ψ(1+y)−1 a (y) (h).
ξ([1
β
On a yaβ (y) = 0 et ψa1+y
= ψac (x) , car y ∈ a1 (Λ). On obtient donc :
c (x)
(1+x)(1+y)
ξ˜|Kl−1
= ξ˜|Kl−1 ψaβ (y) ψac (x) = ξ˜|Kl−1 ψb ,
d’où le lemme.
Corollaire 4.8. — Soit π une représentation lisse de G qui contient le caractère ξ de Hm (β, Λ). Alors π n’est pas supercuspidale.
Démonstration. — En appliquant le lemme 4.7, on voit que π contient aussi
˜ est une paire
le caractère ξ˜ de K = K0 . Par le corollaire 4.6, la paire (K, ξ)
couvrante de (K ∩ M, ξ|Hm (β,Λ)∩M ). D’après [8, Theorem 7.9], la composante
52
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
ξ
isotypique πN|H
m (β,Λ)∩M
du module de Jacquet de π par rapport à P est non
nulle.
4.4. — Soit π une représentation lisse de niveau non nul de G qui ne contient aucun caractère simple d’un groupe H1 (β, Λ) avec Λ stricte. D’après le
théorème 3.23, la représentation π contient alors un caractère scindé ou une
strate scindée. Le cas de la strate scindée est déjà réglé par [4, Theorem 1.2.3].
On suppose donc qu’il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] avec Λ stricte, un
caractère simple θ ∈ C (Λ, m, β), et un c ∈ a−m (Λ), tels que π contienne le
caractère ϑ = θψc et que la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] soit scindée, où, avec les
notations habituelles, Γ est une ODE -suite de réseaux de VE qui correspond à
Λ par le théorème 1.4.
Proposition 4.9. — Il existe une décomposition VE = VE1 ⊕ VE2 conforme à
Γ telle que :
(i) la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée par cette décomposition ;
(ii) l’élément s(c)1 ∈ B1 normalise Γ1 et υΓ1 (s(c)1 ) = −m.
Démonstration. — Bien sûr, B1 et Γ1 désignent respectivement la E-algèbre
EndDE (VE1 ) et la suite Γ∩VE1 . Dans le cas où Γ est stricte, c’est [3, Proposition
2.2.1]. La démonstration dans le cas général est identique.
Soit V = V1 ⊕ V2 la décomposition qui correspond à celle de VE donnée par
la proposition 4.9. Comme s(c) stabilise la décomposition VE = VE1 ⊕ VE2 , on
a s(ei cej ) = 0, pour i 6= j, où ei est le projecteur sur Vi . D’après le lemme
2.27, il existe x ∈ mq−m tel que ei aβ (x)ej = −ei cej , pour i 6= j. D’aprés la
proposition 2.30, l’élément 1 + x normalise Hm (β, Λ) et :
ϑ1+x = θψ(1+x)−1 β(1+x)−β ψc = θψc0 ,
où c0 = c + aβ (x). Remplaçant c par c0 , on voit qu’on est dans la situation des
§§4.1–4.3. Par le corollaire 4.8, on conclut que π n’est pas supercuspidale, ce
qui termine la démonstration du théorème 4.1.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
53
5. Le niveau zéro
Soit A une F-algèbre centrale simple et soit G son groupe multiplicatif.
Désormais, toute les strates sont relatives à une suite de réseaux stricte. On
peut donc remplacer le langage des suites de réseaux par celui des ordres
héréditaires. Par commodité, on fixe tout de même, comme d’habitude, un
A-module à gauche simple V, et on note D l’algèbre opposée à EndA (V).
Dans cette section, on prouve que toute représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G contient un type simple maximal au sens de
[16].
5.1. — Soit [A, n, 0, β] une strate simple de A. Soit :
V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vl
(5.1)
une décomposition de V en sous-E ⊗F D-modules, qui soit conforme à A. Soit
M le sous-groupe de Levi de G correspondant et soit P un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M. On écrit P = MN, où N est le radical
unipotent de P. On note N− le radical unipotent du sous-groupe parabolique
opposé à P. On pose :
H1P = H1 (β, A) J1 (β, A) ∩ N ,
J1P = H1 (β, A) J1 (β, A) ∩ P .
Ce sont des sous-groupes ouverts compacts de J1 (β, A) contenant H1 (β, A).
Pour simplifier les notations, on note H1 , J1 respectivement pour les groupes
H1 (β, A), J1 (β, A). Soit θ ∈ C (A, 0, β) un caractère simple. On note θP le
caractère de H1P défini par θP (hu) = θ(h), pour h ∈ H1 et u ∈ J1 ∩ N.
5.2. — Soit B le commutant de E dans A et soit VE un B-module à gauche
simple. On note DE l’algèbre opposée à EndB (VE ) et mE la dimension de VE
sur DE . Soient ei les idempotents de B = A ∩ B définis par la décomposition
(5.1) et soit ni la dimension de ei VE .
Définition 5.1. — La décomposition (5.1) est dite subordonnée à B s’il existe un isomorphisme de E-algèbres Ψ : B → MmE (DE ) tel que :
54
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
(i) Pour chaque 1 6 i 6 l, l’idempotent Ψ(ei ) est égal à :
Ii = diag(0, . . . , Idni , . . . , 0),
où la matrice identité Idni ∈ Mni (DE ) apparaı̂t à la i-ième place.
(ii) L’ordre héréditaire Ψ(B) est la sous-OE -algèbre de MmE (ODE ) constituée des matrices dont la réduction modulo pDE est triangulaire supérieure par
blocs de taille (n1 , . . . , nl ).
Remarque 5.2. — Si (5.1) est subordonnée à B, alors l est égal à la période
E
de B. Les Ii définissent une décomposition de Dm
E conforme à Ψ(B), et l’ordre
Ii Ψ(B)Ii est un ordre maximal de Mni (DE ) égal à Mni (ODE ).
5.3. — On suppose désormais que la décomposition (5.1) est subordonnée à
B. On note e la période de B.
Proposition 5.3. —
(i) On a des décompositions d’Iwahori :
J1P = (H1 ∩ N− ) · (J1 ∩ M) · (J1 ∩ N),
H1P = (H1 ∩ N− ) · (H1 ∩ M) · (J1 ∩ N).
(ii) On a des isomorphismes de groupes :
J1P /H1P
1
1
' J ∩ M/H ∩ M '
e
Y
J1 (β, Ai )/H1 (β, Ai ).
i=1
(iii) L’application (x, y) 7→ θP ([x, y]) définit un espace symplectique non
dégénéré (J1P /H1P , kθP ) isomorphe à la somme directe des espaces symplectiques
(J1 (β, Ai )/H1 (β, Ai ), kθi ), où θi est le transfert de θ à C (Ai , 0, β).
Démonstration. — Voir [7, Proposition 7.2.3]. Cela découle des décompositions d’Iwahori existant pour J1 et H1 , du théorème 2.17 et enfin de la proposition 2.31.
Proposition 5.4. — On a IG (θP ) = J1P B× J1P .
Démonstration. — Il suffit de vérifier que IG (θP ) contient B× . Soit :
(5.2)
V = W 1 ⊕ . . . ⊕ W l0
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
55
une décomposition de V en E⊗F D-modules simples, qui soit plus fine que (5.1)
et conforme à A. Soit M0 ⊂ M le stabilisateur de (5.2) et soit P0 = M0 N0 un
sous-groupe parabolique de sous-groupe de Levi M0 et contenu dans P. Alors :
U = (U(B) ∩ P0 )U1 (B)
est un sous-groupe d’Iwahori de B× . Puisque P0 est inclus P, le groupe U
est inclus dans (U(B) ∩ P)J1P , qui normalise θP . D’après la décomposition de
Bruhat de B× en doubles classes modulo U, il suffit donc de montrer que tout
élément du normalisateur de M0 dans B× entrelace θP . Soit donc y dans ce
normalisateur. Le groupe H1P a des décompositions d’Iwahori relativement à
(M0 , P0 ) et à (M0 , Py0 ). Le groupe H1P ∩ yH1P y −1 admet donc lui-même une
décomposition d’Iwahori relativement à (M0 , P0 ). Puisque θP est trivial sur
H1P ∩ N0 et sur H1P ∩ Ny0 , chacun des deux caractères θP et y θP est trivial sur
H1P ∩ yH1P y −1 ∩ N0 . On a un résultat analogue pour le radical unipotent opposé
N−
0 . Il reste donc à vérifier que y entrelace :
θP|H1P ∩M0 = θ|H1 ∩M0 ,
ce qui est le cas puisque y entrelace θ.
5.4. — On rappelle (cf. [15, §2.2]) qu’il existe une représentation irréductible
η de J1 , unique à isomorphisme près, dont la restriction à H1 contient θ. Elle
est normalisée par (K(A) ∩ B× )J, son entrelacement vaut IG (η) = J1 B× J1 et,
pour tout y ∈ B× , on a dim HomJ1 ∩(J1 )y (η, η y ) = 1.
Proposition 5.5. — Il existe une représentation irréductible ηP de J1P , unique à isomorphisme près, dont la restriction à H1P contient θP . En outre :
1
(i) Les représentations IndJJ1 (ηP ) et η sont isomorphes.
P
(ii) Pour tout y ∈ B× , il existe une unique (J1P , J1P )-double classe dans J1 yJ1
entrelaçant ηP et dim HomJ1 ∩J1y (ηP , ηPy ) = 1.
P
P
Remarque 5.6. — En particulier, on a IG (ηP ) = J1P B× J1P .
Démonstration. — Pour le point (i), l’argument est identique à celui utilisé
pour [7, Proposition 7.2.4]. Pour le (ii), voir [7, Corollary 4.1.5].
56
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
Remarque 5.7. — Les propositions 5.3 à 5.5 sont valables pour une décomposition (5.1) quelconque, c’est-à-dire conforme mais pas nécessairement subordonnée. Il suffit, dans la propositions 5.3, de remplacer Ai par Λi , où Λ est
une OD -chaı̂ne définissant A.
5.5. — On suppose que la décomposition (5.1) est subordonnée à B. On
rappelle (cf. [15, §2.4]) qu’une β-extension de η est une représentation de
J = J(β, A) prolongeant η dont l’entrelacement contient B× . On pose :
JP = H1 (β, A) (J(β, A) ∩ P) .
On fixe une β-extension κ de η et on note κP la représentation de JP sur les
(J ∩ N)-invariants de κ.
Proposition 5.8. —
(i) On a IG (κP ) = JP B× JP .
(ii) Les représentations IndJJP (κP ) et κ sont isomorphes.
Démonstration. — Le point (ii) découle directement du fait que la restriction
de κP à J1P est égale à ηP . Traitons le point (i). D’après (ii), pour chaque
élément y ∈ B× , il existe une unique double classe JP xJP dans JyJ entrelaçant
κP . Par décomposition d’Iwahori, on peut supposer que x appartient à :
(J ∩ N− )y(J ∩ N− ) = (J1 ∩ N− )y(J1 ∩ N− ),
donc à J1 yJ1 . Puisque κP prolonge ηP , l’élément x entrelace ηP . D’après les
propositions 5.4 et 5.5, la double classe J1P yJ1P est la seule double classe dans
J1 yJ1 qui entrelace ηP . Ainsi x ∈ J1P yJ1P et JP xJP = JP yJP , de sorte que y
entrelace κP .
Remarque 5.9. — Si la décomposition (5.1) n’est pas subordonnée, les groupes U(B) et J(β, A) n’admettent pas, en général, de décomposition d’Iwahori
relativement à (M, P).
Proposition 5.10. — Soit ξ une représentation irréductible de JP triviale
sur J1P . On a IG (κP ⊗ ξ) = JP IB× (ξ)JP .
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
57
Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7, Proposition 5.3.2]. Il
suffit de remplacer [7, Proposition 5.1.8] par la proposition 5.5.
5.6. — Soit κ une β-extension de η et soit σ l’inflation à J d’une
représentation irréductible du groupe J/J1 .
On pose ϑ = κ ⊗ σ.
Le
1
quotient J/J est isomorphe à U(B)/U1 (B), qui est le groupe des points
rationnels d’un groupe réductif sur le corps fini kDE .
Soit A0 un ordre héréditaire E-pur de A tel que l’intersection de B avec
l’ordre B0 = A0 ∩ B soit un ordre héréditaire. On note θ0 le transfert de θ à
C (A0 , 0, β) et η 0 l’unique représentation irréductible de J1 (β, A0 ) contenant θ0 .
On rappelle comment, dans [16], on associe à A0 une β-extension κ0 de η 0 . En
procédant comme dans [16, Proposition 4.5], on construit une famille finie :
(5.3)
(A0 , . . . , Ak ),
k > 0,
d’ordres E-purs de A, avec A0 = A et Ak = A0 , et telle que pour tout 0 6 i < k,
l’ordre Ai ou bien contienne ou bien soit contenu dans Ai+1 . (Il suffit de tracer,
dans l’immeuble de Bruhat-Tits de G, le segment joignant A et A0 .) Soit θi
le transfert de θ à C (Ai , 0, β) et soit ηi l’unique représentation irréductible de
J1 (β, Ai ) contenant θi . On définit par récurrence une famille finie :
(5.4)
(κ0 , . . . , κk ),
k > 0,
de β-extensions, en posant κ0 = κ et, pour 0 6 i < k, en prenant pour κi+1
l’unique β-extension de ηi+1 qui soit cohérente avec κi au sens de [16, §2.4.4].
On pose enfin κ0 = κk .
Définition 5.11. — Une représentation ϑ0 de J(β, A0 ) est dite cohérente avec
ϑ si elle est de la forme ϑ0 = κ0 ⊗ σ 0 , où σ 0 est l’inflation à J(β, A0 ) d’une représentation irréductible de J(β, A0 )/J1 (β, A0 ) telle que σ et σ 0 s’entrelacent sur
U(B ∩ B0 ).
Remarque 5.12. —
(i) Par exemple, si B0 contient B, on peut considérer
σ comme une représentation du sous-groupe parabolique U(B)/U1 (B0 ) de
58
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
U(B0 )/U1 (B0 ). La condition sur σ 0 signifie alors que σ 0 est l’inflation à J(β, A0 )
d’une composante irréductible de l’induite de σ à U(B0 )/U1 (B0 ).
(ii) Si B0 est contenu dans B, la condition sur σ 0 signifie que σ 0 est l’inflation
à J(β, A0 ) d’une composante irréductible de la restriction de σ à U(B0 )/U1 (B).
Proposition 5.13. — Soit π une représentation irréductible de G contenant
ϑ. Alors π contient une représentation ϑ0 de J(β, A0 ) cohérente avec ϑ.
Démonstration. — On procède en trois étapes.
(i) On considère d’abord le cas où A0 ou bien contient, ou bien est contenu
dans A. La démonstration est analogue à celle de [7, Proposition 8.3.5] : voir
op. cit. p.296. Il suffit de remplacer [7, (5.2.14)] par [15, Proposition 2.29]
et [7, Proposition 5.3.2] par [16, Lemme 4.2]. Dans le cas où A0 est contenu
dans A, on a même un résultat plus précis : on voit que toute représentation
de J(β, A0 ) cohérente avec ϑ est contenue dans π.
(ii) On considère ensuite le cas où B0 ou bien contient, ou bien est contenu
dans B. Dans ce cas, la famille (5.3) peut être choisie de telle sorte que
Ai ∩ B = B pour 0 6 i 6 k − 1. On peut donc définir ϑi = κi ⊗ σ. Alors ϑi
est l’unique représentation de J(β, Ai ) cohérente avec ϑ. C’est même l’unique
représentation de J(β, Ai ) cohérente avec ϑj pour tout 0 6 j 6 k − 1. En
appliquant (i) successivement à chaque paire {Ai , Ai+1 } au lieu de {A, A0 },
on voit que π contient ϑ si et seulement si elle contient ϑk−1 . En appliquant
encore (i) avec Ak−1 au lieu de A, on voit que π contient ϑk−1 si et seulement
si elle contient une représentation ϑ0 cohérente avec ϑk−1 , ce qui est la même
chose que d’être cohérente avec ϑ.
(iii) On considère enfin le cas général. Pour se ramener à (ii), on passe
d’abord de B à B ∩ B0 , de sorte que toute représentation de J(β, A ∩ A0 )
cohérente avec ϑ est contenue dans π, puis on passe de B ∩ B0 à B0 , de sorte
que π contient une représentation ϑ0 de J(β, A0 ) cohérente avec ϑ.
Ceci termine la démonstration de la proposition 5.13.
Remarque 5.14. — En particulier, si π contient ϑ, alors π contient aussi
ϑ0 = κ0 ⊗ σ pour tout ordre héréditaire E-pur A0 tel que A0 ∩ B = B.
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
59
5.7. — Soit π une représentation irréductible de G contenant un caractère
simple d’un groupe H1 – c’est-à-dire qu’il existe un couple ([A, n, 0, β], θ) constitué d’une strate simple et d’un caractère simple θ ∈ C (A, 0, β) tels que la
restriction de π à H1 (β, A) contienne θ. Parmi ces couples, on en choisit un
tel que l’ordre héréditaire A soit minimal.
Soit η l’unique représentation irréductible de J1 (β, A) contenant θ. La restriction de π à J1 (β, A) contient donc η, et la restriction de π à J(β, A) contient
une représentation de la forme ϑ = κ ⊗ σ, où κ est une β-extension de η et σ
est l’inflation à J(β, A) d’une représentation irréductible de J(β, A)/J1 (β, A) '
U(B)/U1 (B), qu’on note encore σ.
Proposition 5.15. — Dans cette situation, σ est une représentation cuspidale de U(B)/U1 (B).
Démonstration. — Supposons que σ n’est pas une représentation cuspidale de
G = U(B)/U1 (B). Il existe donc un sous-groupe parabolique propre P de G ,
de radical unipotent U , tel que la restriction de σ à U contienne le caractère
trivial. Il existe donc une représentation σ 0 de P/U telle que σ soit une
composante irréductible de IndGP (σ 0 ). Il existe un unique ordre héréditaire B0
contenu dans B tel que P soit l’image de U(B0 ) par l’application quotient
U(B) → G . Le radical unipotent U est alors l’image de U1 (B0 ). Par [15,
Lemme 1.7], il existe un ordre héréditaire E-pur A0 contenu dans A tel que
A0 ∩ B = B0 . Plus précisément, A0 est strictement contenu dans A, puisque B0
l’est dans B.
Soit θ0 le transfert de θ à C (A0 , 0, β), soit η 0 l’unique représentation irréductible de J1 (β, A0 ) contenant θ et soit κ0 la β-extension de η 0 construite comme
en (5.4). L’inflation à J(β, A0 ) de la représentation σ 0 de :
P/U ' U(B0 )/U1 (B0 ) ' J(β, A0 )/J1 (β, A0 )
est encote notée σ 0 , et on pose ϑ0 = κ0 ⊗σ 0 . Nous sommes alors dans la situation
du §5.6 et ϑ est cohérente avec ϑ0 . Par la proposition 5.13, la représentation π
contient donc aussi ϑ0 et a fortiori θ0 . Puisque A0 est strictement inclus dans
A, ceci contredit la minimalité de A.
60
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
5.8. — On continue avec les notations du paragraphe précédent — donc π
contient une représentation de la forme ϑ = κ ⊗ σ avec σ cuspidale. Par
la proposition 5.13 (voir aussi la remarque 5.14), on peut changer l’ordre
hériditaire A sans changer sa trace sur B. On peut donc supposer que :
(5.5)
K(A) ∩ B× = K(B).
Il suffit de choisir l’ordre hériditaire E-pur A associé à B par le théorème 1.7.
(Dans la terminologie de Grabitz [10], un ordre principal E-pur A vérifiant
(5.5) est dit sound.)
Soit V = V1 ⊕ . . . ⊕ Ve une décomposition de V subordonnée à B. Soit M
le sous-groupe de Levi de G qui est le stabilisateur de cette décomposition, et
soit P = MN un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M. On a un
isomorphisme de groupes :
JP ∩ M '
e
Y
J(β, Ai ).
i=1
Si on note θi la restriction de θ à H1 (β, Ai ), c’est-à-dire le transfert de θ à
C (Ai , 0, β), et ηi l’unique représentation irréductible de J1 (β, Ai ) contenant θi ,
il existe pour chaque i une β-extension κi de ηi telle que la restriction de κP à
JP ∩ M soit équivalente à :
κ1 ⊗ . . . ⊗ κe .
(En effet, l’entrelacement de κP|JP ∩M contient B× ∩ M.) De façon analogue,
il existe, pour chaque entier i, une représentation σi de J(β, Ai ) qui est
l’inflation d’une représentation irréductible cuspidale de J(β, Ai )/J1 (β, Ai ) '
U(Bi )/U1 (Bi ) telle que la restriction de σ à J ∩ M soit équivalente à :
σ1 ⊗ . . . ⊗ σe .
Si on considère σ comme représentation de JP /J1P ' J/J1 , on pose ϑP = κP ⊗σ,
qui est une représentation de JP . Comme dans [7, Proposition 7.2.17], on a le
résultat suivant.
Proposition 5.16. —
(i) ϑP est irréductible et ϑ ' IndJJP (ϑP ).
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
61
(ii) Les restrictions de ϑP à JP ∩ N et JP ∩ N− sont triviales, et la restriction
de ϑP à JP ∩ M est équivalente à ϑ1 ⊗ . . . ⊗ ϑe , où ϑi = κi ⊗ σi est irréductible.
5.9. — On fixe une extension non ramifiée L/E maximale dans DE et une
uniformisante $ de DE normalisant L. Le groupe de Galois de L/E est engendré par Ad($), l’automorphisme de conjugaison par $. Par réduction, on
identifie les groupes de Galois Gal(L/E) et Gal(kDE /kE ) et on note φ l’image
de Ad($) dans Gal(kDE /kE ).
On fixe un isomorphisme de E-algèbres B ' MmE (DE ) vérifiant les conditions
de la définition 5.1, dont on reprend les notations. Cet isomorphisme induit
des isomorphismes de groupes B× ' GLmE (DE ) et :
U(B)/U1 (B) ' GLn1 (kDE ) × . . . × GLne (kDE ).
De cette façon, le groupe Gal(kDE /kE ) opère sur les représentations de J/J1 '
U(B)/U1 (B), et notamment sur les σi .
5.10. — Dans ce paragraphe, on suppose que les σi ne sont pas tous dans
une seule orbite sous Gal(kDE /kE ). Plus précisément, on note I l’ensemble
des entiers 1 6 i 6 e tels que σi soit équivalent à un conjugué de σ1 sous
Gal(kDE /kE ), et on suppose que I n’est pas égal à {1, . . . , e} tout entier. On
pose :
W=
M
i∈I
Vi ,
W0 =
M
Vi .
i∈I
/
0
Soit M le stabilisateur de la décomposition V = W ⊕ W0 , qui est un sousgroupe de Levi de G, et soit P0 = M0 N0 un sous-groupe parabolique de G de
facteur de Levi M0 . Soit P = MN un sous-groupe parabolique de G de facteur
de Levi M tel que P ⊂ P0 .
Proposition 5.17. — Dans cette situation, (JP , ϑP ) est une paire couvrante
de (JP ∩ M0 , ϑP|JP ∩M0 ).
Démonstration. — Nous allons d’abord majorer l’entrelacement de ϑP . Soit U
le sous-groupe d’Iwahori de B× contenu dans U(B) s’identifiant au sous-groupe
d’Iwahori standard de GLmE (DE ). Soit W̃ le groupe de Weyl affine généralisé
62
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
de B× ' GLmE (DE ), consistué des matrices monomiales dont les coefficients
non nuls sont des puissances de $. Par la décomposition de Bruhat, on a
B× = U(B)W̃U(B).
D’après [12, Proposition 1.2], l’élément w ∈ W̃ entrelace σ|U(B) si est seulement s’il normalise σ|U(B)∩M . D’après la construction de M0 , ceci implique que
w ∈ M0 , donc IB× (σ|U(B) ) est inclus dans U(B)M0 U(B). En particulier, d’après
le théorème 5.10, on a :
IG (ϑP ) = JP IB× (σ|U(B) )JP ⊂ JP M0 JP .
Par la proposition 5.16, et comme N ⊃ N0 , le couple (JP , ϑP ) est décomposé au
dessus de (JP ∩ M0 , ϑP|JP ∩M0 ). La fin de la démonstration est alors identique à
celle de [9, Corollary 3.9(iii)].
Corollaire 5.18. — La représentation π de G n’est pas supercuspidale.
5.11. — Dans ce paragraphe, on traite le cas où chacun des σi est équivalent
à un conjugué de σ1 sous Gal(kDE /kE ). En particulier, l’ordre B est principal.
D’après la proposition 5.16, la représentation ϑP determine, à permutation
circulaire près, le vecteur :
V(J, ϑ) = (ϑ1 , . . . , ϑe ) ,
où chaque ϑi est considéré comme une classe d’équivalence d’une représentation
irréductible de J(β, Ai ).
Proposition 5.19. — Soit τ une permutation de {1, . . . , e} et, pour chaque
1 6 i 6 e, soit γi ∈ Gal(kDE /kE ). Alors π contient aussi une representation
ϑ0 = κ ⊗ σ 0 de J(β, A) telle que :
V(J, ϑ0 ) =
où
γi
γ1
ϑτ (1) , . . . , γe ϑτ (e) ,
ϑτ (i) = κτ (i) ⊗ γi στ (i) pour chaque 1 6 i 6 e.
Démonstration. — Il suffit de considérer les deux cas particuliers suivants :
REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm (D)
63
(i) D’abord, on suppose que V(J, ϑ0 ) = φ ϑe , ϑ1 , . . . , ϑe−1 . On pose :
!
ImE −1
∈ GLmE (DE ).
ΠB =
$
L’élément ΠB normalise B donc, par (5.5), il normalise également J(β, A) et la
β-extension κ. En particulier, π contient la représentation ϑ0 = ϑΠB = κ⊗σ ΠB ,
et σ ΠB est équivalent à φ σe ⊗ σ1 ⊗ . . . ⊗ σe−1 .
(ii) Ensuite, on suppose que :
V(J, ϑ0 ) = (ϑ1 , . . . , ϑi−1 , ϑi+1 , ϑi , ϑi+2 , . . . , ϑe )
et σi 6' σi+1 . Dans ce cas, la démonstration est identique à celle de [7, Proposition 8.3.4] (voir loc. cit. p.297), quitte à remplacer [7, Proposition 8.3.5] par
la proposition 5.13.
Ceci termine la preuve de la proposition 5.19.
D’après la proposition 5.19, on peut supposer que toutes les σi sont équivalentes. La paire (J(β, A), ϑ) est donc un type simple au sens de [16, §4.1].
Corollaire 5.20. — La représentation π est supercuspidale si et seulement
si B est un ordre maximal.
Démonstration. — D’après [16, Théorème 5.6], le type simple (J(β, A), ϑ) est
un type pour une classe inertielle [M, ρ]G , et le nombre de blocs du sous-groupe
de Levi M est égal à la période de B. Ainsi π est supercuspidale si et seulement
si M = G, c’est-à-dire si et seulement si B est un ordre maximal.
5.12. — Le théorème suivant est le résultat principal de cette section — et
de cet article.
Théorème 5.21. — Soit π une représentation irréductible supercuspidale de
niveau non nul de G. Alors il existe un type simple maximal (J, λ) tel que la
restriction de π à J contienne λ.
Démonstration. — D’après le théorème 4.1, la représentation π contient un
caractère simple, c’est-à-dire qu’il existe une strate simple [A, n, 0, β] et un
64
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
caractère simple θ ∈ C (β, 0, A) tels que la restriction de π à H1 = H1 (β, A) contienne θ. D’après le §5.7, pour une certaine choix de A et de θ, la représentation
π contient une représentation ϑ = κ ⊗ σ de J = J(β, A), où κ est une βextension de θ et σ l’inflation à J d’une représentation irréductible cuspidale
de J/J1 ' U(B)/U1 (B). Comme dans le §5.8, on a :
σ|J∩M = σ1 ⊗ . . . ⊗ σe ,
où e est la période de B. Puisque π est supercuspidale, les σi sont toutes conjuguées sous Gal(kDE /kE ) d’après le corollaire 5.18. D’après le corollaire 5.20,
l’ordre B est donc maximal et (J, ϑ) est un type simple maximal.
Corollaire 5.22. —
(i) Il existe un prolongement Λ de λ à J̄ = NG (λ) tel
que π soit équivalente à l’induite compacte de Λ à G.
(ii) Le couple (J, λ) est un type pour la classe inertielle [G, π]G .
Démonstration. — Il s’agit de [16, Théorème 5.2].
Le théorème suivant récapitule tout le travail effectué.
Théorème 5.23. — Soit s = [Gr0 , π0⊗r ]G une classe inertielle simple de G,
où r est un diviseur de m et π0 une représentation irréductible supercuspidale
de G0 = GLm/r (D). Il existe un type simple (J, λ) qui est un type pour s.
Démonstration. — Si π0 est de niveau zéro, il s’agit de [12, Theorem 5.5].
Sinon, il s’agit de [16, Théorème 5.6], conjointement avec le théorème 5.21.
Références
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algèbre à division”, Proc. London Math. Soc. (3) 77 (1998), no. 2, p. 292–326.
[2] P. Broussous & B. Lemaire – “Building of GL(m, D) and centralizers”,
Transform. Groups 7 (2002), no. 1, p. 15–50.
[3] P. Broussous – “Hereditary orders and embeddings of local fields in simple
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[4]
, “Minimal strata for GL(m, D)”, J. Reine Angew. Math. 514 (1999),
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65
[5] P. Broussous & M. Grabitz – “Pure elements and intertwining classes of
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open subgroups, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.
[8]
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66
V. SÉCHERRE & S. STEVENS
V. Sécherre, Institut de Mathématiques de Luminy, CNRS UMR 6206, Université de
la Méditerranée, 163 avenue de Luminy, 13288 Marseille Cedex 09, France
E-mail : [email protected]
S. Stevens, School of Mathematics, University of East Anglia, Norwich NR4 7TJ, United
Kingdom • E-mail : [email protected]

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