REPRÉSENTATIONS LISSES DE GL m(D)

REPR´ ESENTATIONS LISSES DE GLm(D)
IV : REPR´ ESENTATIONS SUPERCUSPIDALES
par
V. S´echerre & S. Stevens
R´esum´e. — Soit F un corps commutatif localement compact non archi-
m´edien, et soit D une alg`ebre `a division de centre F. Nous prouvons que
toute repr´esentation irr´eductible supercuspidale du groupe GLm(D), de niveau
non nul, est l’induite compacte d’une repr´esentation d’un sous-groupe ouvert
compact modulo le centre de GLm(D). Plus pr´ecis´ement, nous prouvons que
de telles repr´esentations contiennent un type simple maximal au sens de [16].
Abstract. — Let F be a non Archimedean locally compact field and let D
be a central F-division algebra. We prove that any positive level supercuspidal
irreducible representation of the group GLm(D) is compactly induced from
a representation of a compact mod center open subgroup of GLm(D). More
precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in
the sense of [16].
Introduction
Soit F un corps commutatif localement compact non archim´edien, et soit G
une forme int´erieure de GLn(F), n>1. C’est un groupe de la forme GLm(D),
o`u D est une F-alg`ebre `a division, de dimension d2sur son centre F, et o`u
n=md. Cet article, qui fait suite au travail entrepris par le premier auteur
dans [14, 15, 16], met un terme `a la classification des blocs simples de la
cat´egorie des repr´esentations lisses complexes de G au moyen de la th´eorie des
types de Bushnell et Kutzko.
Ce travail a b´en´efici´e d’un financement de la part de l’EPSRC (grant GR/T21714/01).

2V. S´ ECHERRE & S. STEVENS
Notre r´esultat principal peut ˆetre formul´e ainsi : si ρest une repr´esentation
irr´eductible supercuspidale de G, alors il existe un type pour la classe iner-
tielle de ρ. En d’autres termes, nous prouvons qu’il existe un sous-groupe
ouvert compact J de G et une repr´esentation irr´eductible λde J telle que les
repr´esentation irr´eductibles de G dont la restriction `a J contient λsont exac-
tement celles qui sont ´equivalentes `a ρ⊗χpour un caract`ere non ramifi´e χ
de G. Plus pr´ecis´ement, nous prouvons qu’on peut choisir pour (J, λ) un type
simple maximal au sens de [16].
Le probl`eme de la classification des repr´esentations lisses complexes de G
par la th´eorie des types a d´ej`a ´et´e abord´e par plusieurs auteurs. Bien entendu,
il faut mentionner en premier lieu les travaux fondateurs de Bushnell et Kutzko
[7, 9] concernant le groupe d´eploy´e GLn(F), qui ont donn´e le ton `a tous les
trauvaux ult´erieurs sur le sujet. Ensuite, les premiers travaux concernant les
formes int´erieures non d´eploy´ees de GLn(F) sont ceux de E.-W. Zink [20] et
de Broussous [1] : tous deux donnent une classification des repr´esentations de
GL1(D), le premier lorsque F est de caract´eristique nulle, le second sans restric-
tion sur la caract´eristique. Dans [12], Grabitz, Silberger et Zink traitent le cas
tr`es particulier du niveau z´ero, c’est-`a-dire des repr´esentations irr´eductibles de
GLm(D) poss´edant un vecteur non nul invariant par le sous-groupe 1+Mm(pD),
o`u pDd´esigne l’id´eal maximal de l’anneau des entiers de D. Concernant le
cas g´en´eral, c’est-`a-dire les repr´esentations irr´eductibles de GLm(D) de niveau
quelconque, on trouve un certain nombre de r´esultats dans les travaux de
Broussous [2, 3, 4], Broussous-Grabitz [5] et Grabitz [10, 11].
Ce travail — les articles [14, 15, 16] auxquels vient s’ajouter le pr´esent arti-
cle — suit la m´ethode g´en´erale de construction de types ´elabor´ee par Bushnell
et Kutzko dans [7] et am´elior´ee dans [8] par la th´eorie des paires couvrantes.
D´ecrivons-en bri`evement l’organisation. On fixe une fois pour toutes une strate
simple [A, n, 0, β] de la F-alg`ebre Mm(D) (cf. D´efinition 1.18). Rappelons sim-
plement ici que βest un ´el´ement de Mm(D) tel que la F-alg`ebre E = F[β] soit
un corps et que Aest un OF-ordre h´er´editaire de Mm(D) normalis´e par E×.

REPR´ ESENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm(D) 3
(i) Dans une premi`ere ´etape ([14]), on associe `a la strate simple [A, n, 0, β]
un ensemble fini C(β, A) de caract`eres simples. Il s’agit de caract`eres d´efinis
sur un certain sous-groupe ouvert compact H1= H1(β, A) de G jouissant de
remarquables propri´et´es de fonctorialit´e connues sous le nom de propri´et´es de
transfert. Plus pr´ecis´ement, si [A0, n0,0, β] est n’importe quelle strate simple
d’une F-alg`ebre centrale simple dans laquelle est plong´e E, il existe une bijec-
tion canonique de C(β, A) sur C(β, A0).
(ii) Dans une seconde ´etape ([15]), on construit, pour chaque caract`ere sim-
ple θ∈C(β, A), une famille finie de β-extensions. Il s’agit de repr´esentations
irr´eductibles d’un sous-groupe ouvert compact J = J(β, A) de G dont la res-
triction `a H1(β, A) contient θet — surtout — dont l’entrelacement est le mˆeme
que celui de θ.
(iii) Dans une troisi`eme ´etape ([16]), lorsque Aest un ordre principal, on
construit pour chaque β-extension κd’un caract`ere simple θ∈C(β, A) une
famille finie de types simples. Ce sont des repr´esentations irr´eductibles de
J(β, A) de la forme κ⊗σ, o`u σest l’inflation `a J(β, A) d’une repr´esentation
irr´eductible supercuspidale du groupe r´eductif fini :
J(β, A)/J1(β, A)'GLs(k)r,
o`u r, s sont des entiers >1 tels que le produit rs divise m, o`u kest une
extension finie du corps r´esiduel de E et o`u σest de la forme σ⊗r
0, avec σ0
une repr´esentation irr´eductible supercuspidale de GLs(k). Chaque type simple
(J(β, A), λ) ainsi construit est un type pour une classe inertielle simple de G de
la forme [Gr
0, ρ⊗r
0]G, o`u ρ0est une repr´esentation irr´eductible supercuspidale
du groupe G0= GLm/r(D). L’alg`ebre de Hecke de G relative `a λest une
alg`ebre de Hecke affine. Plus pr´ecis´ement, elle est isomorphe `a l’alg`ebre de
Hecke-Iwahori de GLr(K), o`u K est une extension non ramifi´ee de E dont le
corps r´esiduel est une extension de degr´e sde k.
(iv) La quatri`eme ´etape est celle qui occupe le pr´esent article. L’objectif en
est l’exhaustion des repr´esentations irr´eductibles supercuspidales par les types

4V. S´ ECHERRE & S. STEVENS
simples. Plus pr´ecis´ement, nous prouvons le r´esultat suivant (cf. Th´eor`eme
5.21) :
Th´ eor` eme : Soit ρune repr´esentation irr´eductible supercuspidale de niveau
non nul de G. Il existe un type simple maximal (J(β, A), λ), au sens de [16],
tel que la restriction de ρ`a J(β, A) contienne λ.
On en d´eduit imm´ediatement, `a partir de [16, Th´eor`eme 5.6], que si s=
[Gr
0, ρ⊗r
0]Gest une classe inertielle simple de niveau non nul de G, c’est-`a-dire
que rest un diviseur de met ρ0une repr´esentation irr´eductible supercuspi-
dale de niveau non nul du groupe G0= GLm/r(D), il existe un type simple
(J(β, A), λ) qui est un type pour s. La structure de l’alg`ebre de Hecke de G
relative `a (J(β, A), λ) est donn´ee par [16, Th´eor`eme 4.6]. Comme mentionn´e
`a l’´etape (iii), elle est isomorphe `a une alg`ebre de Hecke-Iwahori.
Nous passons maintenant `a la description des m´ethodes utilis´ees. Notre
premi`ere tˆache — qui est aussi la plus difficile — est de s´eparer les repr´esen-
tations irr´eductibles de niveau non nul de G en trois cat´egories, comme suit
(cf. Th´eor`eme 3.23) : une repr´esentation irr´eductible de niveau non nul de
G contient ou bien une strate scind´ee, ou bien un caract`ere scind´e, ou bien
un caract`ere simple θ∈C(β, A) pour une strate simple [A, n, 0, β] de A. (On
renvoie au §3.6 pour les d´efinitions de strate scind´ee et de caract`ere scind´e —
appel´e type scind´e dans [7].) Ce travail est d´ej`a amorc´e par Broussous [4],
qui prouve qu’une repr´esentation irr´eductible de niveau non nul πde G ne
contenant pas de strate scind´ee contient un caract`ere simple de niveau m>0,
c’est-`a-dire la restriction d’un caract`ere simple θ∈C(β, A) `a un sous-groupe
Hm+1(β, A) ´eventuellement plus petit que H1(β, A). Si m>1, on cherche `a
construire, en proc´edant par raffinement comme dans [7], un caract`ere simple
θ0∈C(β, A0) relatif `a une autre strate simple [A0, n0,0, β] de A, contenu dans
π`a un niveau (normalis´e) strictement moindre. Mais, contrairement `a ce qui
se passe dans le cas d´eploy´e, il n’est pas possible de passer de θ`a θ0en une
seule ´etape — techniquement, c’est [7, Proposition 1.2.8] qui fait d´efaut : voir
[16,§1.5.3]. En d´ecoupant le segment [A,A0] dans l’immeuble de Bruhat-Tits

REPR´ ESENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GLm(D) 5
de G en morceaux suffisamment petits (cf. §3.5, Hypoth`ese (H)), on obtient
le r´esultat crucial 3.15, clef du processus de raffinement et analogue de [19,
Lemma 5.4]. Tout ceci est assez technique et n´ecessite :
(i) d’employer le langage des suites de r´eseaux, plus g´en´eral que celui des
ordres h´er´editaires et qui permet une description des points rationnels de
l’immeuble de Bruhat-Tits de G (cf. [2]) ;
(ii) de d´efinir les caract`eres simples relatifs `a une suite de r´eseaux et d’´eten-
dre le transfert des caract`eres simples `a ce cadre : c’est l’objet de la section 2
de cet article ;
(iii) de g´en´eraliser la notion de strate d´eriv´ee (cf. D´efinition 3.21), con-
duisant elle-mˆeme `a celle de caract`ere scind´e (cf. D´efinition 3.22).
Mentionnons un point important : l’introduction des caract`eres simples re-
latifs `a une suite de r´eseaux a ceci de gˆenant que les niveaux normalis´es devi-
ennent des nombres rationnels dont le d´enominateur n’est pas born´e — ce qui
risquerait d’empˆecher le processus de raffinement de terminer. Il est donc in-
dispensable de v´erifier que l’on passe de θ`a un caract`ere simple θ0qui, lui, est
relatif `a un ordre h´er´editaire, mˆeme si les ´etapes interm´ediaires peuvent mettre
en jeu des caract`eres simples relatifs `a des suites de r´eseaux quelconques. Ceci
justifie le th´eor`eme 1.7, et tous les r´esultats pr´eparatoires des §§3.1–3.3.
Remarquons ´egalement que la distinction entre strate scind´ee et caract`ere
scind´e est assez superficielle : c’est `a peu pr`es la mˆeme que celle que l’on fait
entre types simples de niveau 0 et de niveau >0.
Notre seconde tˆache, qui occupe la section 4, est de montrer qu’une repr´e-
sentation irr´eductible de niveau non nul de G contenant une strate scind´ee ou
un caract`ere scind´e a un module de Jacquet non trivial. Ceci implique au-
tomatiquement que toute repr´esentation irr´eductible supercuspidale de niveau
non nul de G contient un caract`ere simple θ∈C(β, A) pour une strate simple
[A, n, 0, β] de A. Pour aboutir au th´eor`eme 5.21, il reste alors `a d´ecrire le
passage de H1`a J, ce qui fait l’objet de la section 5. Une repr´esentation
irr´eductible supercuspidale de niveau non nul de G contient a priori une
repr´esentation irr´eductible de J de la forme ϑ=κ⊗σ, o`u σest l’inflation