Fiche d`exercices n°1

Feuille exercices n°1 S2 ET
Remise en route
(Dans cette fiche on utilisera dès que nécessaire le logiciel de calcul formel)

Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur l'ensemble R des nombres réels par
1e)(  xxf 2x-
.
a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale
 50
50
3d
3
2
1
,
,
xxxJ
.
b) A l’aide d’une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l’intégrale
50
50 d
,
,xxfI
.
c) Déduire des résultats précédents que J est une valeur approchée de I à 10
2
près.
Exercice 3 : Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur par :
( )
( )
ee
xx
f x x - =+
.
1) Calculer à l’aide d’une intégration par parties la valeur exacte de l’intégrale I =
1
0
d)( xxf
.
2) Calculer la valeur exacte de l’intégrale J =
13
0
(2 ) d .x x x+
ò
3) Vérifier que : | I – J | < 0,02.
Exercice 4 :
On rappelle les formules : cos(n ) = (-1)n et sin(n ) = 0 pour tout entier n.
Soit un signal électrique défini par la fonction f telle que :
Error!
1) Représenter le signal pour t [- 3; 3]
2) Calculer
Error!
f(t)dt. En déduire la valeur moyenne de f sur [- ; ].
3) n est un entier strictement positif.
a) Calculer à l'aide d'une intégration par parties, In =
Error!
tcos(nt)dt
b) Calculer, à l'aide de deux intégrations par parties successives, Jn =
Error!
t2cos(nt)dt
4) n étant un entier strictement positif, on considère la fonction fn(t) = f(t)sin(nt) sur [- ;].
Etudier la parité de fn, et en déduire la valeur de
Error!Error!
f(t)sin(nt)dt.
Exercice 5 :
Calculer les intégrales suivantes à l’aide de Maxima (donner les étapes, c'est-à-dire donner une primitive puis donner la
valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 –3 près ) puis indiquer quelle serait la méthode à utiliser « à la main »
1)
2)

3)
4)
Exercice 6 :
A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : x y' – 2 y = –
x2 où y est une fonction de la variable x dérivable sur l'intervalle ] 0, + [ et où y', désigne la dérivée
de y. 1° Résoudre sur ] 0, +
[ l'équation différentielle (E0) : x y' – 2 y = 0.
2° Vérifier que la fonction h définie sur ] 0, + [ par h(x) = – x2 ln x, est une solution de (E).
3° Déduire du 1° et 2° l'ensemble des solutions de (E).
4° Déterminer la solution f de (E) sur ] 0, + [ vérifiant la condition f (e) = 0.
B. Etude d'une fonction. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 0, + [ par f (x) = x2 (1 – ln x) si x >
0 et f(0) = 0.
On admettra que f est dérivable en 0 et que f ' (0) = 0. On note C la courbe représentative de f dans un
repère orthonormal (O;
Error!
,
Error!
) (unité graphique : 6 cm).
1° a) Montrer que, pour tout x de ] 0, + [, f '(x) = x (1 – 2 ln x).
b) Etudier le signe de 1 – 2 ln x. c) En déduire le sens de variation de f.
2° Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers + . On admet que lim;x  0 f(x) = 0.
3° a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Construire la courbe C en précisant les tangentes aux points O, A et B de cette courbe,
d'abscisses respectives 0, e et e.
C. Calcul d'une aire On se propose, dans cette partie, de calculer l'aire de la partie du plan constituée
des points M(x, y) tels que  x e et 0 y f (x), où  est un nombre réel positif ou nul donné,
inférieur à e.
1° Soit F la fonction définie sur ] 0, + [ par : F(x) =
Error!
x3 –
Error!
x3 ln x.
Vérifier que F est une primitive de f sur ] 0, + [.
2° a) On suppose  > 0. Exprimer l'aire cherchée en cm2 en fonction de . On note le résultat A().
b) Calculer la limite de .A() lorsque  tend vers 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
On rappelle que, pour tout nombre entier positif n, lim;x  0 xn ln x = 0.
Exercice 7 :
Partie A – Résolution d’une équation différentielle –
On considère l’équation différentielle :
(E) y " – y ' – 2 y = (8 – 6 x ) e–x .
où y est une fonction de la variable x, définie et deux fois dérivable sur I;R, y ' sa fonction dérivée
première et y "sa fonction dérivée seconde.
1° Résoudre sur I;R l’équation différentielle :
y " – y ' – 2 y = 0
2° Soit h la fonction définie sur I;R par :
h(x) = (x2 – 2x) e–x
Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E)

4° Déterminer la solution f de l’équation différentielle E qui vérifie les conditions initiales :
f (0) = 1 et f ' (0) = – 3:
– Partie B – Etude d’une fonction –
Soit f la fonction définie sur I;R par f (x) = (x – 1)2 e–x . Sa courbe représentative C dans un repère
orthonormal est donnée sur la figure ci-après.
1° a) Calculer
Error!
f (x).
b) Déterminer
Error!
x2 e–x et
Error!
x e–x . En déduire
Error!
f (x).
c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b).
2° a) Démontrer que, pour tout x de I;R , f '(x) = (x – 1) (3 – x) e–x .
b) Résoudre dans I;R l’inéquation f '(x) > 0.
c) En déduire le sens de variation de f sur I;R .
– Partie C – Calcul intégral –
1° a) La fonction f définie dans la partie B étant une solution de l’équation différentielle (E) :
y " – y ' – 2 y = (8 – 6 x ) e–x
montrer que f vérifie, pour tout x de I;R :
f (x) =
Error!
[ f " (x) – f ' (x) + (8 – 6 x) e–x .
b) Soit F la fonction définie sur I;R par :
F(x) =
Error!
[ f ' (x) – f(x) + (2 – 6 x) e–x ]
Vérifier que, pour tout x de I;R , F(x) = ( – x2 – 1) e–x .
2° Utiliser ce qui précède pour démontrer que l’aire A de la partie du plan hachurée sur la figure est, en
unité d’aire, A = 1 –
Error!
:
0
1
1
y
x