Révisions sur les groupes

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Révisions sur les groupes
Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, dire si la relation d’équivalence Rsur l’ensemble Eest
compatible avec la ou les opérations indiquées :
1. E=R,R={(x, y),|x|=|y|} ; addition, multiplication.
2. E=Z,R={(x, y), x =y= 0 ou xy > 0}; addition, multiplication.
3. E=Z,R={(x, y), x et ysont de même parité}; addition, multiplication.
4. E=R,R={(x, y), x −y∈Z}; addition, multiplication.
5. E=N∗,R={(x, y), x et ysont de même parité}; puissance.
Exercice 2 Combien de relations d’équivalence peut-on définir sur {1,2,3,4}?
Exercice 3 - Ordre d’un élément. Soit Gun groupe et g∈G. On appelle ordre de gdans Gle plus
petit des entiers n>1tels que gn= 1, s’il en existe un, et +∞sinon.
1. Quel est l’ordre de −1dans (Q,+) ? Et dans (Q∗,×)?
2. L’élément g∈Gétant fixé, montrez que l’application ϕg:Z→G,m7→ gmest un morphisme
de groupes. Donner les liens entre son noyau, son image et l’ordre de g.
3. Soit k, n >1deux entiers. Calculer l’ordre de la classe kdans Z/nZ.
Exercice 4 - Exposant d’un groupe.
Soit Gun groupe abélien fini. Pour tout x∈G, on note ω(x)l’ordre de x.
1. Soit (x, y)∈G2, on note m=ω(x)et n=ω(y).
a) Lorsque met nsont premiers entre eux, montrer que ω(xy) = mn.
b) Si on ne suppose plus mpremier avec n, a-t-on toujours ω(xy) = ppcm(m, n)?
c) Montrer qu’il existe z∈Gtel que ω(z) = ppcm(m, n).
2. On définit l’exposant d’un groupe fini G, noté exp G, comme le plus petit entier n>1tel que
xn= 1, pour tout élément xde G. Montrer qu’il existe z∈Gtel que exp G=ω(z).
3. Le résultat précédent subsiste-t-il pour un groupe non abélien ?
4. En déduire qu’un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.
5. Montrer qu’un groupe abélien d’exposant ppremier peut être muni canoniquement d’une struc-
ture de Fp-espace vectoriel.
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Exercice 5 - Théorèmes d’isomorphismes. Soit G, H et Ktrois groupes.
1. Lorsque HCGet K⊂G, montrer que H∩KCKet qu’on a l’isomorphisme
K/ (K∩H)'HK/H.
2. Lorsque H, K CGet H⊂K, montrer que HCK,K/H CG/H et qu’on a l’isomorphisme
G/H
K/H 'G/K.
Exercice 6 - Sous-groupes d’un groupe cyclique.
1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique et que le quotient obtenu pour
ces deux groupes est également cyclique.
2. Soit n∈N∗, montrer que, pour tout diviseur dde n, il existe un unique sous-groupe de Z/nZ
d’ordre d.
3. En déduire que n=X
d|n
ϕ(d), pour n∈N∗.
Exercice 7 - Morphismes de groupes monogènes.
1. Déterminer le groupe des automorphismes de Zet de Z/nZ.
2. Pour m, n ∈N, déterminer Hom (Z,Z),Hom (Z,Z/nZ),Hom (Z/nZ,Z)et Hom (Z/mZ,Z/nZ).
Exercice 8 - Caractérisations de la commutativité.
1. Soit Gun groupe. Montrer que s’équivalent :
(i) Gest abélien ;
(ii) l’inversion g7→ g−1est un morphisme de groupes ;
(iii) l’élévation au carré g7→ g2est un morphisme de groupes.
2. (Plus difficile) Les groupes tels que l’élévation au cube g7→ g3est un morphisme de groupes
sont-ils tous commutatifs ?
Exercice 9 - Automorphismes intérieurs.
Soit Gun groupe. Pour tout g∈G, on considère l’application cg:G→G, x 7→ gxg−1.
1. Montrer que cgest un automorphisme du groupe G.
2. Montrer que c:G→Aut(G), g 7−→ cgest un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?
3. Montrer que l’image de cest un sous-groupe distingué de Aut(G). Le morphisme cest-il toujours
surjectif ?
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Exercice 10 - Groupes sans automorphisme.
Soit Gun groupe dont le groupe d’automorphismes est trivial.
1. Montrer que Gest abélien.
2. Montrer que Gpeut être muni canoniquement d’une structure d’espace vectoriel sur F2.
3. En déduire que G' {1}ou G'Z/2Z.
Exercice 11 - Groupe dérivé.
Soit Gun groupe. Pour x, y ∈G, on note [x, y] = xyx−1y−1le commutateur de xet y. On appelle
groupe dérivé de Gle sous-groupe D(G)de Gengendré par les commutateurs.
1. Caractériser les couples d’éléments (x, y)de Gtels que [x, y] = e. Déterminer D(G)lorsque G
est abélien.
2. Montrer que D(G)est un sous-groupe caractéristique de G(i.e. stable par les automorphismes
de G) ou, directement, qu’il est distingué dans Get que le quotient G/D(G)est abélien.
3. Montrer que, pour HCG, le quotient G/H est abélien si et seulement si D(G)⊂H.
4. Propriété universelle. Montrer que, pour tout groupe abélien Met tout morphisme de groupes
f:G−→ M, il existe une unique factorisation de fà travers G/D(G).
5. Déterminer D(Sn)et D(An). (Indication : les 3-cycles engendrent An).
Exercice 12 - Finitude... Caractériser les groupes dont l’ensemble des sous-groupes est fini.
Exercice 13 - Parties génératrices. Soit Gun groupe fini de cardinal n. Montrer que Gadmet une
partie génératrice ayant au plus log2(n)éléments. Cette borne est-elle optimale ?
Les exercices suivants mènent entre autres à la classification à isomorphisme près des groupes de
petit cardinal (i.e. 615).
Exercice 14 - Groupes d’ordre premier. À isomorphisme près, combien y a-t-il de groupes d’ordre
un nombre premier p?
Exercice 15 - Un théorème de Frobenius pour les sous-groupes distingués.
1. Montrer qu’un sous-groupe d’indice 2 est toujours distingué.
2. On se propose maintenant de démontrer un théorème de Frobenius, qui est une généralisation
du critère précédent :
“ Si Hest un sous-groupe d’indice pde G, où pest le plus petit diviseur premier de l’ordre de
G, alors Hest distingué dans G. ”
a) Justifier l’existence d’un morphisme ρ:G−→ SG/H . On note Kson noyau.
b) Établir que |G| | p!|K|.
c) Conclure, en remarquant que K⊂H.
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Romain Basson
Exercice 16 - Isomorphismes entre produits semi-directs.
Soit Het Ndeux groupes et ϕ, ψ :H−→ Aut(N)deux morphismes de groupes. Montrer que
NoϕH'NoψHdans les deux cas suivants :
1. il existe α∈Aut(H)tel que ψ=ϕ◦α;
2. il existe u∈Aut(N)tel que ϕ(h) = uψ(h)u−1, pour tout h∈H.
Exercice 17 - Actions de groupes.
Soit Gun groupe. Pour un G-ensemble X(i.e. un ensemble muni d’une action de G), on notera
l’ensemble des points fixes de l’action XG={x∈X / ∀g∈G, g ·x=x}.
1. Si Gest un p-groupe et Xun G-ensemble fini, montrer, à l’aide de l’équation aux classes, que
|X|≡|XG|mod p.
2. Lemme de Cauchy. Soit Gun groupe dont l’ordre est divisible par un nombre premier p. Montrer,
en faisant agir Z/pZsur X={(x1, . . . , xp)∈Gp/ x1. . . xp= 1}, que Gadmet un élément d’ordre
p.
3. Démontrer que ps
kest divisible par p, pour tout 0< k < pset s∈N.
Exercice 18 - p-groupes. Dans cet exercice pdésigne un nombre premier.
1. Lemme 1. Montrer que le centre d’un p-groupe non trivial est non trivial.
2. Montrer qu’un p-groupe admet des sous-groupes distingués pour tous les ordres possibles.
3. Lemme 2. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G, montrer que HCG. Si on
suppose de plus que G/H est monogène, montrer que Gest commutatif.
4. Montrer qu’un groupe d’ordre p2est abélien.
5. En déduire les classes d’isomorphisme des groupes d’ordre p2.
6. Que dire du centre d’un groupe Gnon abélien d’ordre p3? Et de son groupe dérivé ? À quel
groupe est isomorphe G/Z(G)?
Exercice 19 - Groupe des quaternions. On définit le groupe des quaternions H8comme le sous-groupe
{±1,±i, ±j, ±k}du groupe multiplicatif des quaternions.
1. Prouver que tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué. La réciproque est-elle vraie ?
2. Montrer que H8n’est pas un produit semi-direct.
Exercice 20 - Groupes d’ordre 8. Soit Gun groupe d’ordre 8 et rson exposant.
1. Montrer que Gest abélien si r= 2 ou 8et donner sa classe d’isomorphisme dans chaque cas.
2. Lorsque r= 4, montrer que Gs’insère dans la suite exacte
1−→ Z/4Z−→ G−→ Z/2Z−→ 1.
et discuter selon qu’il existe ou non un relèvement de Z/2Zdans G.
3. Déterminer d’après ce qui précède les classes d’isomorphisme des groupes d’ordre 8.
4. Identifier la classe d’isomorphisme de V4o Z/2Z.
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Romain Basson
Exercice 21 - Groupes diédraux finis. On munit Cde sa structure de R-plan vectoriel euclidien,
à laquelle est associée une structure sous-jacente de R-plan affine euclidien. On note, pour n>2,
Rn=hξi, où ξ=e2iπ/n, l’ensemble des racines nèmes de l’unité dans C, qui correspondent aux
sommets d’un polygone régulier dont 0 est centre de symétrie. Le groupe diédral de degré n, noté Dn,
est le groupe des isométries du plan préservant Rn.
1. Montrer que Dnest d’ordre 2net décrire ses éléments.
2. Décrire les classes de conjugaison de Dn.
3. Établir que Dnest isomorphe au groupe donné par générateurs et relations suivant
ha, b |an, b2,(ba)2i.
4. Montrer que Dnest un produit semi-direct de Z/nZpar Z/2Z.
5. Déterminer les sous-groupes de Dn.
6. Déterminer les sous-groupes distingués de Dnainsi que les quotients correspondants.
7. Déterminer le centre et le sous-groupe dérivé de Dn.
Exercice 22 - Groupes d’ordre 2p. Soit Gun groupe d’ordre 2p, avec ppremier impair.
1. Montrer que Gn’a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow, noté S.
2. Soit x∈Gd’ordre 2 (justifier l’existence).
a) Montrer que G=< S, x >.
b) Montrer que l’automorphisme f:g7−→ xgx−1de Sest soit l’identité, soit l’application
d’inversion g7−→ g−1.
c) En déduire que Gest soit cyclique, soit diédral.
Exercice 23 - Groupes d’ordre pq. Soit Gun groupe d’ordre pq avec p<qdeux nombres premiers
distincts.
1. Montrer que Gs’insère dans la suite exacte
1−→ Z/qZ−→ G−→ Z/pZ−→ 1.
2. Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre pq selon que pdivise ou non q−1.
Exercice 24 - Groupes d’ordre 12. On s’intéresse aux classes d’isomorphisme des groupes d’ordre 12.
1. Quels sont à isomorphisme près les groupes d’ordre 12 ?
(Indication : on pourra distinguer les cas selon le nombre de 3-Sylow.)
2. Reconnaitre les groupes A4,D6,S3×Z/2Zet S3o Z/2Z.
Exercice 25 - Synthèse. Pour chaque ordre de groupe inférieur à 15 indiquer le nombre de classes
d’isomorphisme et donner au moins un représentant de chaque classe.
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