Algèbre – 2ème Partie Groupes de Lie

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
3ème année
Algèbre – 2ème Partie
Groupes de Lie
C.-A. PILLET

Table des matières
1 Préliminaires 7
1.1 Algèbres matricielles .......................... 7
1.1.1 L’algèbre de Banach Mat(d,K)................. 8
1.1.2 Calcul fonctionnel analytique ................. 10
1.1.3 Sous-groupes à un paramètre .................. 15
1.2 Groupes linéaires ............................ 19
1.2.1 Groupes orthogonaux ..................... 20
1.2.2 Groupes unitaires ........................ 22
1.2.3 Groupes symplectiques ..................... 23
1.2.4 Groupes d’isométries affines .................. 24
1.3 Groupes Topologiques ......................... 25
1.3.1 Définition ............................ 27
1.3.2 Morphismes .......................... 28
1.3.3 Composantes connexes ..................... 33
1.3.4 Espaces simplement connexes ................. 37
1.3.5 Mesure de Haar d’un groupe compact ............. 39
2 Groupes de Lie 41
2.1 Définition et exemples ......................... 41
2.2 L’algèbre de Lie d’un groupe de Lie .................. 44
2.3 L’application exponentielle g→G................... 50
2.4 Algèbres de Lie abstraites ........................ 52
2.5 Morphismes locaux ........................... 56
2.6 La représentation adjointe ....................... 61
2.7 La formule de Baker-Campbell-Hausdorff ............... 63
3

3 Représentations des groupes de Lie 69
3.1 La représentation d’algèbre de Lie induite ............... 69
3.2 Représentations de l’algèbre de Lie su(d)............... 74
3.2.1 Représentations des algèbres de Lie sl(2, )et su(2)..... 75
3.2.2 Représentations de l’algèbre de Lie sl(3, ).......... 80
A Groupes affines 85
A.1 Action de groupe ............................ 85
A.2 Espaces et applications affines ..................... 86
A.3 Repères affines ............................. 88
A.4 Groupes affines ............................. 89
A.5 Espaces affines pseudo-euclidiens .................... 90
B Les groupes de Lie des théories de la relativité 91
B.1 Mouvement relatif ........................... 91
B.2 Relativité galiléenne ........................... 95
B.3 Le groupe de galilée ........................... 95
B.4 L’espace de Minkowski ......................... 96
B.5 Le groupe de Poincaré ......................... 98

Bibliographie
1. R. Mneimné, F. Testard : Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques.
Hermann, Paris, 1996.
2. G. Pichon : Groupes de Lie, représentations linéaires et applications. Hermann, Pa-
ris, 1973.
3. N. Bourbaki : Groupes et algèbres de Lie. Masson, Paris, 1981.
4. A. Baker : Matrix Groups. An Introduction to Lie Group Theory. Springer, New
York 2002.
5. B. Hall : Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduc-
tion. Springer, New York, 2003