Leçon 3 Problème à deux corps. Force centrale conservative. Application au potentiel newtonien (PCSI) ----------------Bibliographie : aucune collection n’est mauvaise sur ce chapitre. Le programme dit bien d’insister sur les états liés & de diffusion, & sur la notion de potentiel efficace. Ellipses Mécanique Newtonienne du point : chapitre VIII. Le mieux. Très détaillé. Hachette : Mécanique II, chapitre 6. Un peu sec. Tec & Doc : Mécanique 1ère année, très détaillé, chapitres 12 & 13. Bien. Dunod : Mécanique I, 3 chapitres ! (8, 9, 10). Confus. I. APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX : 1. Notations : on considère deux points matériels M1 & M2, de masses respectives m1 & m2, (ou bien de charges q1 & q2, suivant qu'on s'intéresse à l'interaction gravitationnelle ou électrostatique), constituant un système isolé, de positions r1 OM 1 & r2 OM 2 . On pose r r2 r1 r.u . 2. Référentiel barycentrique : le définir. Y calculer la vitesse relative de M2, puis sa quantité de mm mouvement P2 m2 .u2 .w , où 1 2 est la masse réduite de M2. On en déduit m1 m 2 dw d ²r F2 . . & il est donc équivalent (force invariante par changement de repère galiléen) d'étudt dt ² dier dans le référentiel barycentrique le mouvement d'un point matériel de masse µ situé à la distance r M1M 2 du centre d'inertie G. 3. Constantes du mouvement : F k 1 2 u pour un champ newtonien donc le théorème du mor2 d o d r F 0 . Le moment cinétique est constant z mr 2 , on a un ment cinétique donne : dt dt mouvement à force centrale, & une trajectoire plane parcourue suivant la loi des aires dS 1 dr z C r , où C est la constante des aires. L'énergie s'écrit : dt 2 dt 2m 2 2 1 dr 1 mC 2 , & donc le mouvement dépend des deux consE E P EC cste k 1 2 m r 2 dt 2 r2 1 mC 2 tantes E & C. On introduit une énergie potentielle efficace définie par : W ( r ) k 1 2 r 2 r2 (donner l'allure de la courbe) & on a : W(r) E car EC > 0. Cette condition est satisfaite pour rm r rM, & W est minimale pour ro mC 2 mC 2 avec W ( ro ) . k1 2 2 ro2 II. ETUDE DES TRAJECTOIRES : 2 1 dr 1 mC 2 1. Formule de Binet : on a (U étant l'énergie potentielle) : E U m . En isolant 2 dt 2 r2 2 dr 1 2 d 2 2 d u , en remarquant que dt r , on obtient la formule de Binet F mC u u , u . 2 C dt r d 2. Equation polaire des trajectoires : on obtient : d 2u d 2 u 1 p r en introduip 1 e. cos( ) 2 mC sant F k 1 2 , avec p . Equation polaire d'une conique d'excentricité e. k1 2 r2 d 2u 1 3. Calcul de l'énergie : on peut écrire E mC 2 u k1 2 u , conduisant à : 2 2 d E mC 2 2p 2 (1 e 2 ) ou e 1 2 p² E. mC ² 4. Classification des trajectoires : définir les états liés (E < 0) & les états de diffusion (E 0). E mC 2 2 p2 , e 0 , trajectoire circulaire de rayon ro. mC 2 E 0, e 1 , trajectoire elliptique. 2 p2 E 0, e 1 , trajectoire parabolique. E 0, e 1, trajectoire hyperbolique, la seule possible dans le cas d'une interaction répulsive (électrique) conduisant à la diffusion. 5. Lois de Képler : rappeler les trois lois : Les planètes décrivent des ellipses dont le soleil est l'un des foyers ; Le rayon vecteur balaie des aires proportionnelles au temps ; Le carré de la période T de révolution est proportionnel au cube du demi - grand axe a de l'ellipse ; 6. Vitesses de libération : en déduire les diverses vitesse de libération : Première vitesse cosmique : vitesse de satellisation, orbite circulaire, soit : v1 mv12 mM T G ; r r2 Seconde vitesse cosmique : orbite parabolique pour quitter l'attraction terrestre, donc énergie nulle 2GM T sur une orbite circulaire, soit : v2 v1. 2 11 km/s ; r Troisième vitesse cosmique : pour quitter le système solaire. Si u = 30 km/s est la vitesse de la Terre en orbite, la vitesse de libération vaut donc u. 2 42 km / s , & avec la loi de composition des vi- déduite du bilan des forces GM T 8 km/s , r tesses, on en déduit : u 2 u vr v3 v22 vr2 17 km/s . Note : la diffusion Rutherford n'est pas au programme. Pas de manips évidentes.