CH.2 CODES CORRECTEURS

Codage ch 2 1
CH.2 CODES CORRECTEURS
• 2.1 Le canal bruité
• 2.2 La distance de Hamming
• 2.3 Les codes linéaires
• 2.4 Les codes de Reed-Muller
• 2.5 Les codes circulaires
• 2.6 Le câblage des codes circulaires
• 2.7 Les performances pratiques
Codage ch 2 2
2.1 Le canal bruité
On considère une source qui envoie un message constitué d'une suite de
0 et 1 (on peut aussi considérer un alphabet plus grand). Un message peut
alors être vu comme un mot x. Ce message va être codé yet transmis
à travers un canal bruité. Il s'agit d'un canal de communication qui
transmet des bits mais qui en modifie certains en cours de transmission.
Il peut soit les rendre illisibles (effacement), soit les échanger. On va
supposer que certains bits sont échangés.
A l'autre extrémité du canal, on reçoit donc un autre mot, y' = y+ e, où
eest le vecteur d'erreurs. Il code les positions où les bits de yont été
modifiés. Le décodeur doit, dans la mesure du possible, retrouver
le vecteur ypour en déduire le xtransmis. Ce qui revient au même,
le décodeur doit trouver le vecteur d'erreurs en ne connaissant que le
mot y' reçu.

Codage ch 2 3
Source Codeur Décodeur Récepteur
Canal
bruité
xyy' x
Un code simple est le code à répétition de longueur 3 :
chaque octet de xest répété 3 fois.
Si x= 00101011, alors y= 00101011 00101011 00101011.
Supposons que le canal modifie tous les bits de la sixième à la treizième
position incluses. Donc, y' = 00101100 11010011 00101011. Le vecteur
d'erreurs est ici e= 00000111 11111000 00000000.
En effectuant bit par bit un décodage à la majorité, on reconstitue le
vecteur x. Tout vecteur d'erreurs comportant des 1 dans au plus 8
positions consécutives sera ainsi corrigé.
Un tel entrelacement permet ainsi la correction d'erreurs en rafale.
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2.2 La distance de Hamming
Nous allons considérer uniquement des codes de longueur fixe nsur
l'alphabet {0, 1}.
Pour que l'altération d'un bit d'un mot du code permette de retrouver
le mot d'origine, il est nécessaire que ce mot altéré ne soit pas
dans le code. Le nombre de bits où deux mots diffèrent est appelé
distance de Hamming de ces deux mots. C'est une distance au
sens mathématique.
Puisque les mots sont binaires, si on note e= x+ y, la distance de
Hamming d(x, y) = d(0, e) est le poids, ou nombre de 1 de e.
Lorsqu'on reçoit un mot y, on va supposer qu'il résulte d'un mot du code
par l'altération du minimum de bits. On cherche donc le mot xle plus
proche de y.

Codage ch 2 5
Si deux mots du code xet ydiffèrent en 2epositions ou moins, une
modification de ebits de xet de ebits de ypeuvent donner le même
mot. En revanche, si on est sûr que deux mots quelconques diffèrent
en 2e+ 1 positions au moins, une modification de ebits d'un mot
permettra de retrouver le mot d'origine.
Théorème
Un code Cest e-correcteur si et seulement si la distance minimum de
deux mots de Cest supérieure ou égale à 2e+1.
On peut imaginer chaque mot du code entouré d'une sphère de rayon e.
Le code est e-correcteur si et seulement si ces sphères sont disjointes.
On a intérêt à avoir un code comportant le plus possible de mots pour une
longueur donnée n. Ce problème est un cas particulier du problème
consistant à trouver un empilement compact de sphères.
Codage ch 2 6
Malheureusement, le problème de l'empilement des sphères est NP...
La situation la plus favorable se présente lorsque tous les mots de 2n
sont dans une sphère. On dit qu'on a alors un code e-correcteur
parfait de longueur n.
Les codes à répétition tel que {000, 111} sont parfaits, mais pas très
intéressants. Nous verrons d'autres exemples de codes binaires parfaits.

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2.3 Les codes linéaires
Pour des raisons pratiques (facilité de codage et de décodage), on
va s'intéresser à une classe particulière de codes correcteurs qui
sont les codes linéaires.
Il a en fait été démontré par van Lint que le théorème de Shannon
restait vrai même si on imposait aux codes d'être linéaires.
On considère ici les mots du code comme des vecteurs dans l'espace
vectoriel de dimension nsur le corps à deux éléments F2. Un code
linéaire est un sous-espace vectoriel de F2n. Comme tout sous-espace
vectoriel, un code linéaire a donc une dimension k. Le nombre de
mots d'un tel code est donc 2k.
Si xet ysont deux mots d'un code linéaire, il en est de même de x+ y.
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Si donc la distance minimum entre deux mots du code est 2e+ 1, en
ajoutant ces deux mots, on trouve un autre mot non nul du code,
de poids 2e+ 1. D'où la proposition suivante.
Proposition
Un code linéaire Cest e-correcteur si et seulement si le poids minimum
d'un mot non nul de Cest 2e+ 1.
Les trois paramètres longueur n, dimension ket poids minimum d'un
mot non nul dpermettent d'en évaluer les performances. On dit qu'on
a affaire à un code [n, k, d].
Par exemple, le code {000, 111} est [3, 1, 3].

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Si on considère une base e1, e2, ... , ekd'un code C, tout mot de ce code
est déterminé par les kcoordonnées de ce mot sur cette base, qui est
une suite de kbits..
Le code étant linéaire, il suffit pour trouver l'image d'une suite de kbits,
de connaître les coordonnées dans F2ndes kvecteurs de base. Le vecteur
x1e1+ x2e2+ ... + xkekaura donc ses coordonnées données par le produit
de matrices [ x] G= [ y], où Gest la matrice kx ndont les lignes sont
constituées des coordonnées des kvecteurs e1, e2, ... , ek.
La matrice G est appelée matrice génératrice du code.
Les vecteurs e1, e2, ... , eksont linéairement indépendants, donc la matrice
Gest de rang maximum k. On peut donc, quitte à effectuer un
changement de base (pivot), supposer qu'elle est de la forme suivante.
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G= [ IkA], où Ikest la matrice identité de taille ket Aest une matrice
kx (n–k).
Par exemple, considérons le code engendré par
1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 0
G=
Ce code est de longueur 7 et de dimension 4. C'est le code de
Hamming [7, 4].
L'image du vecteur [ 1 0 1 1] est donc [ 1 0 1 1 1 0 0 ]
On constate que le vecteur à coder se retrouve sur les kpremières
positions du code. Les n–kbits suivants du code sont appelés
bits de contrôle.