Exercices

Psi 945 2016/2017
Exercices
http://blog.psi945.fr
Probabilités
On commence par un exercice posé aux mines. On notera le réel eort de l'examinateur pour évaluer la
capacité du candidat à faire des probabilités...
Exercice 1 Mines 2015 (PC)
Soit P une probabilité sur (N, P(N)). Montrer :
P({n}) −→ 0
n→+∞
Exercice 2 Traductions ensemblistes
A, B et C sont trois événements quelconques. Exprimer en termes d'union, intersection, complémentaire...
les événements suivants :
Seul A se produit.
A et B se produisent, mais pas C .
Les trois événements se produisent.
Au moins l'un des événements se produit.
Au moins deux des événements se produisent.
Deux événements au plus se produisent.
Exactement un événement se produit.
Aucun des trois événements ne se produit.
Pas plus de deux événements ne se produisent.
On fera systématiquement un dessin patatoïdique.
Exercice 3 Et pour une innité d'événements...
On suppose cette fois que A1 , A2 , ..., An , ... constituent une innité d'événements. Exprimer en termes
d'union, intersection, complémentaire... les événements suivants :
1. Au moins un des événements se produit.
2. Tous les Ai se produisent à partir du rang N0 .
3. Tous les Ai se produisent à partir d'un certain rang.
4. Au moins l'un des Ai se produit, pour i > N0 .
5. Une innité des Ai se produisent.
1 Dénombrement, probabilités nies
Exercice 4 Vers la formule du crible
Soit E un ensemble ni.
1. Montrer que si A, B et C sont trois parties de E , alors :
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) + |A ∩ B ∩ C|
(les valeurs absolues désignent des cardinaux).
2. Traduire cette relation en termes probabilistes.
3. Quelle serait la tête de la formule pour la réunion de quatre parties ?
Exercice 5 Surjections
Déterminer le nombre de surjections de [[1, 4]] dans [[1, 3]].
Exercice 6 Et l'as
On tire successivement une carte de deux jeux de 52 cartes.
1
1. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as ?
2. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un as ?
Exercice 7 Permutations aléatoires
Les nombres 1, 2, ..., n sont disposés au hasard dans un tableau à n cases.
1. Quelle est la probabilité pour que 1 et 2 apparaissent dans cet ordre, côte à côte ?
2. Quelle est la probabilité pour que 1, 2 et 3 apparaissent dans cet ordre, côte à côte ?
3. Quelle est la probabilité pour que 1 et 2 apparaissent dans cet ordre (pas nécessairement côte à
côte) ?
Exercice 8 Deux sur deux
Dans une famille avec 2 enfants :
1. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?
2. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant que l'aîné est un
garçon ?
3. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant qu'il y a au moins
un garçon ?
Exercice 9 Mines 2015 [8/10]
On note Cn,p (respectivement SCn,p l'ensemble des suites croissantes (respectivement strictement croissantes) de p éléments de [[1, n]].
1. Déterminer le cardinal de SCn,p .
2. Montrer que l'application
Φ : (u1 , ..., up ) ∈ Cn,p 7−→ (u1 , u2 + 1, u3 + 2, ..., up + (p − 1))
établit une bijection entre Cn,p et SCn+p−1,p .
3. On eectue p tirages successifs avec remise de n jetons numérotés de 1 à n. Estimer la probabilité
pour que la suite obtenue soit :
croissante ;
strictement croissante ;
monotone ;
strictement monotone.
4. Même chose avec un tirage sans remise ! C'était l'énoncé rapporté... mais dont je doute.
2 Dés, urnes et pièces
Exercice 10 Six fois deux
On jette 12 dés. Quelle est la probabilité d'obtenir chacune des 6 faces exactement deux fois ?
Exercice 11 Dix dés
On jette 10 dés. Quelle est la probabilité d'obtenir :
1. Au moins un six ?
2. Au moins deux ?
3. Au moins deux sachant qu'il y en a au moins un ?
Exercice 12 Cinq faces
On lance un dé non biaisé à 5 faces. On note pn la probabilité que la somme des résultats obtenus lors
des n premiers lancers soit paire.
1. Calculer p1 et p2 .
2. Donner une relation de récurrence vériée par (pn )n∈N , et en déduire la valeur de pn , pour n > 1.
2
Exercice 13 n boules avec remises
Une urne contient initialement une boule rouge et une boule blanche. On répète n fois l'opération
suivante : tirer une boule, noter sa couleur, et la remettre dans l'urne accompagnée d'une autre boule de
la même couleur (après k tirages-remises, il y a donc k + 2 boules dans l'urne).
1. Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?
2. Évaluer cette probabilité si à chaque étape on remet deux boules de la même couleur (valeur
exacte et équivalent simple).
Exercice 14 Remise ou non
Une urne contient 5 boules rouges et trois boules blanches. On tire successivement trois boules, en
remettant la boule si elle est blanche, et en ne la remettant pas si elle est rouge.
1. Déterminer la probabilité d'obtenir trois boules blanches.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche ?
3. Donner enn la probabilité d'obtenir exactement une boule blanche.
Exercice 15 Deux urnes
On dispose de deux urnes U1 et U2 . La première contient deux boules blanches et trois boules noires. La
seconde contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On eectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit initialement une urne au hasard
et on tire une boule dans l'urne choisie. On note la couleur et on la remet dans l'urne. Si la boule tirée
était blanche (respectivement noire), le tirage suivant s'eectue dans l'urne U1 (respectivement U2 ).
Pour n ∈ N∗ , on note Bn l'événement la boule tirée au n-ième tirage est blanche , et pn = P(Bn ).
1. Calculer p1 .
2. Montrer :
∀n ∈ N∗ ,
pn+1 = −
4
6
pn + ·
35
7
3. En déduire la valeur de pn pour tout n ∈ N∗ .
Exercice 16 Boules de même parité
Une urne contient neuf boules numérotées de 1 à 9. On tire deux boules. Calculer la probabilité d'obtenir
deux boules de même parité dans les diérents cas suivants :
on tire les deux boules simultanément ;
on tire une boule, on la remet, puis on tire la seconde ;
on tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire la seconde.
Exercice 17 Une innité de tirages
On lance une pièce une innité de fois. Pour i > 1, on note Ai l'événement le i-ème lancer tombe sur
PILE .
∞
\
1. Décrire en français les événements
i=1
Ai et
∞
[
Ai .
i=42
2. Soit n ∈ N. Exprimer de façon ensembliste l'événement Dn : on obtient au moins un pile au
delà du n-ième lancer .
3. Décrire en français l'événement
∞
\
Dn . Le comparer à
n=1
∞
\
Dn .
n=945
Exercice 18 Les footeux doivent savoir ça
On dispose d'une pièce truquée (mais able !) fournissant PILE avec probabilité p ∈]0, 1[ et FACE sinon.
Concevoir un processus terminant avec une probabilité 1 et permettant de fournir un résultat R ∈ {A, B}
avec probabilité uniforme.
On pourra penser aux séances de penalty à la n des prolongations lors d'un match de foot !
Exercice 19 TPE 2015 [7/10]
Alice et Bob jouent aux dés (parfaitement équilibrés).
3
Alice commence à jouer en lançant deux dés en même temps. Si la somme des dés est > 9, alors
elle gagne ; sinon la main passe à Bob.
Quand Bob joue, il lance deux dés et gagne si la somme est 6 6 ; sinon la main repasse à Alice.
1. Quelle est la probabilité pour qu'Alice (respectivement Bob) gagne à son premier coup ?
2. Quelle et la probabilité pour qu'Alice gagne ?
3. La partie peut-elle être innie ?
3 Diverses modélisations
Exercice 20 Pénaux
Le petit Olivier et le petit Franz s'arontent lors d'une compétition de penalty. À chaque essai, Olivier
marque avec probabilité 5/6, et Franz avec probabilité 4/5. C'est Franz qui tire en premier. Ensuite, les
tirs sont alternés, et le premier qui marque a gagné la compétition.
Figure 1 Platoche, avec 50 kg de moins !
1. Quelle est la probabilité pour que Franz gagne ?
2. Qu'en est-il si on change la règle en celle de la mort subite : À chaque tour, les deux joueurs
tirent. Si l'un marque et pas l'autre alors il a gagné ; sinon on continue. ?
Exercice 21 Transmission moyennement able
Une information binaire (0/1) est transmise de proche en proche (aka téléphone arabe ). La personne
numéro 1 possède l'information 1. Au temps n > 1, la personne numéro n transmet son information à la
personne numéro n + 1 :
avec une probabilité p ∈]0, 1[ elle transmet l'information dont elle dispose ;
avec une probabilité 1 − p elle transmet l'information inverse.
(La personne numéro 2 aura donc l'information initiale 1 avec probabilité p).
1. Avec quelle probabilité la personne numéro 3 va-t-elle recevoir l'information initiale ?
2. Si on note pn la probabilité que la personne n possède la bonne information 1 , déterminer une
relation de récurrence simple vériée par les pn , puis la valeur des pn .
3. Quel est le comportement de (pn )n∈N∗ lorsque n tend vers +∞ ?
Exercice 22 Puce ivrognesse
Une puce saute entre trois points P , Q et R. À chaque
étape, elle saute vers l'un des deux autres points
 
pn
avec probabilité 1/2. On note, pour n ∈ N, Xn = qn , avec pn , qn et rn les probabilités pour qu'au
rn
temps n la puce se trouve respectivement aux points P , Q et R.
1. Établir une relation entre pn+1 et (pn , qn , rn ).
1. Arrivés ici, vous connaissez p1 , p2 et p3 .
4
2. En déduire une relation matricielle de la forme Xn+1 = AXn , avec A à préciser.
3. Vérier : A2 = 12 A + 21 I3 , puis déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme X n
par (X + 1/2)(X − 1). En déduire la valeur de la matrice An .
4. Montrer que Xn possède une limite qui ne dépend pas de X0 .
Exercice 23 La taupe
Une taupe rentre dans son terrier par un des deux trous. À chaque croisement, elle tourne à droite ou à
gauche avec probabilité 1/2.
Figure 2 L'univers épanouissant de la taupe
Quelle est la probabilité qu'elle ressorte par le même trou ?
Exercice 24 Dérivation formelle
L'action se passe à une époque éloignée (et dicilement concevable...) où le taupin a du mal à dériver
une expression sans calculatrice. Une proportion c = 43 des taupins utilise une calculatrice, mais fait tout
de même une erreur avec une probabilité 1/4 (gros doigts, petites touches). Les aventuriers faisant le
calcul à la main obtiennent le bon résultat avec une probabilité 1/2.
Quelle est la probabilité pour qu'un taupin rendant un résultat faux ait utilisé une calculatrice ?
A
B
B
A
A ∩B
B
B
A0
...
Ai0
B
B
...
Ai0 ∩ B
B
B
Figure 3 Un petit dessin au passage
Exercice 25 Veaux, vaches, cochons, couvée ; attention : il y a un piège !
Dans une ferme un peu bizarre, certains animaux possèdent trois pattes.
Les veaux constituent 20% du cheptel ; 10% possèdent 3 pattes.
Les vaches constituent 50% du cheptel ; 1% possèdent 3 pattes.
Les cochons constituent 10% du cheptel ; 2% possèdent 3 pattes.
Les volailles, qui constituent le reste du cheptel, possèdent 3 pattes avec une probabilité 5%.
On tire au hasard un animal à trois pattes. Quelle est la probabilité pour qu'il fasse MEUHHH ?
Figure 4 Gruik
5
Exercice 26 Recrutement (dicile)
L'académie des sciences veut recruter un probabiliste. Il y a n candidats de niveaux tous distincts. Le
recrutement va se passer de la façon suivante : les k premiers candidats sont auditionnés puis renvoyés
chez eux 2 , et le jury repère le meilleur parmi ces k. Ensuite, les candidats suivants sont auditionnés, et si
un candidat est meilleur que le meilleur rencontré parmi les k premiers, alors il est choisi et le concours
s'arrête (s'il n'y en a pas, personne ne sera donc recruté).
1. On suppose que le meilleur candidat est en position p > k. Quelle est la probabilité pour qu'il soit
recruté ?
2. Quelle est la probabilité pn pour que le meilleur candidat soit recruté ?
3. En approchant cette probabilité par une intégrale, montrer que lorsque n tend vers +∞ avec le
rapport nk xé, le meilleur choix possible pour ce rapport est 1e , et que la probabilité tend alors
vers 1e ·
On autorisera une certaine légèreté dans le traitement de ce rapport : rationnel, mais pas trop...
4 Résultats un peu plus théoriques
Exercice 27 Petit passage au complémentaire ?
Soient A, B et C trois événements. Montrer :
P(A ∩ B ∩ C) > 1 − P(A) − P(B) − P(C).
Exercice 28 Indépendance
Montrer que si A et B sont deux événements indépendants, alors A et B le sont aussi.
Exercice 29 Événements presque certains... et presque impossibles
Un événement de l'espace probabilisé (Ω, T , P) est déclaré presque certain 3 (respectivement presque
impossible ) lorsque sa probabilité vaut 1 (respectivement 0).
1. Dans une série innie de lancers de pile/face, citer un événement non vide mais de probabilité
nulle... ainsi qu'un événement de probabilité égale à 1, sans qu'il soit égal à Ω.
T
2. Montrer que si les événements Ei ∈ T (i ∈ N) sont tous presque certains, alors
Ei est un
i∈N
événement (est dans T ) et est également presque certain.
S
3. Montrer que si les événements Ei ∈ T (i ∈ N) sont tous presque impossibles, alors
Ei est un
i∈N
événement... et est lui aussi de probabilité nulle.
4. Ces résultats s'étendent-ils à une réunion non dénombrable ?
Exercice 30 Loi du zéro-un de Borel
Dans l'espace probabilisé (Ω, T , P), on dispose d'une innité d'événements de T : (An )n∈N . On note
pn = P(An ) et
\ [
B=
Ai .
n∈N i>n
1.
2.
3.
4.
Vérier que B appartient à T (et est donc mesurable ).
Que représente B ?
P
On suppose que pn converge. Montrer : P(B) = 0.
P
P
On suppose que pn diverge et que les An sont indépendants. Montrer que
ln(1−pn ) diverge,
n∈N
puis : P(B) = 1.
5. Application classique : vérier qu'un singe devant un clavier possédant un temps inni va (avec
probabilité 1) taper cette feuille d'exercice ainsi qu'un corrigé exact (avec même quelques bonnes
blagues) une innité de fois.
2. Ils ne le savent pas, mais aucun parmi ces k ne sera recruté.
3. ou presque sûr.
6
6. Autre application classique : montrer que dans une série innie de lancers de pile-face, il existe
presque sûrement une innité de séries de 945 PILE consécutifs.
Dans les deux applications, on veillera à bien prendre des événements indépendants.
Exercice 31 Exercice interminable !
Les joueurs A et B jouent au tennis, et chaque point est remporté par A avec probabilité p ∈]0, 1[.
Quelle est la probabilité que A remporte un jeu donné ?
Et un set ? Et le match ?
Cet exercice ne serait pas posé sans des indications/étapes. Essayez tout de même d'en faire quelque
chose !
5 Posé en 2016
Le premier exercice est un modèle de mauvaise foi ! ! !
Exercice 32 Mines-Télécom 2016
Soit E un espace probabilisé 4 de cardinal n. Dans la suite, X , Y et Z désignent des parties de E .
Dénombrer :
1. les couples (X, Y ) constituant une partition de E ;
2. les couples (X, Y ) tels que X ∩ Y = ∅ ;
3. les couples (X, Y ) tels que X ∪ Y = E ;
4. les couples (X, Y ) tels que X ⊂ Y ;
5. les triplets (X, Y, Z) tels que X ∪ Y ∪ Z = E .
Exercice 33 Minettes 2016 [3/10]
On dispose de N cores. Avec probabilité p, on place un trésor dans l'un des cores (avec probabilité
uniforme).
On a ouvert N − 1 cores sans trouver de trésor. Quelle est la probabilité pour qu'on en trouve un dans
le dernier ?
Exercice 34 CCP 2016 [6/10] joli et classique
Soit s un réel strictement plus grand que 1. On travaille sur E = N∗ , qu'on va probabiliser sur la tribu
complète T = P(N∗ ).
On note (pn )n>1 la suite strictement croissante des nombres premiers (avec donc p1 = 2, p2 = 3, ...).
Enn, pour p premier, on note Ap = {kp | k ∈ N∗ } l'ensemble de ses multiples.
1. Montrer qu'on peut dénir une probabilité en imposant pour tout k ∈ N∗ :
P({k}) =
1
·
ζ(s)k s
2. Pour p premier, calculer P(Ap ).
3. Déterminer
+∞
\
Apk ainsi que la probabilité de cet événement.
k=1
4. Montrer que la suite de terme général
n
Y
P Apk est convergente.
k=1
On note sa limite comme vous l'imaginez...
5. Montrer nalement :
∞
Y
P Ap k =
k=1
4. Ça y est, c'est ni : on ne parlera plus de probabilités !
7
1
·
ζ(s)
6 Indications
Exercice 1 : p.... la série P({n}) est convergente !
Exercice 2 : A ∩ B ∩ C ; A ∩ B ∩ C ; A ∩ B ∩ C ; A ∪ B ∪ C ; (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ; A ∩ B ∩ C ;
(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ; A ∪ B ∪ C ; A ∩ B ∩ C (oui, on l'a déjà vu).
P
Exercice 3 :
∞
[
Ai ;
i=1
∞
\
∞
[
Ai ;
i=N0
∞
\
∞
[
Ai ;
N0 =1 i=N0
∞
\
Ai ;
i=N0
∞
[
Ai .
N0 =1 i=N0
Exercice 4 : faire trois patates... Et pour ceux qui veulent des sensations fortes :
n
[
P
!
Ai
=
i=1
n
X

X
(−1)k
P

Ai j 
j=1
16i1 <i2 <···<ik 6n
k=1
k
\
Exercice 5 : en commençant par choisir les deux éléments
de même image, puis cette image, puis
en attribuant les deux dernières images, je trouve 42 × 3 × 2.
Exercice 6 : 1 − (48/52)2 et 1 − (48/52)2 − (4/52)2 .
n−2
1
Exercice 7 : n−1
n! , n! et 2 ·
2
Exercice 8 : 12 ; 12 ; 13 ·
Exercice 9 : se donner une suite
strictement croissante, c'est se donner l'ensemble des valeurs
prises ! On a donc |SCn,p | = np .
10 8 6 4 1 12
Exercice 10 : 12
·
2
2 2 2
6
2
9
5 10
Exercice 11 : p1 = 1 − 6 ; p2 = p1 − 10 56 16 ; p3 = pp21 ·
2
2
Exercice 12 : p1 = 52 ; p2 = 25 + 53 (deux pairs, ou deux impairs), et sur le même principe :
pn+1 = 25 pn + 35 (1 − pn ). Et paf la suite arithmético-géométrique...
(2n)!
n
1
√1 ·
= n+1
; 21 34 56 · · · 2n−1
Exercice 13 : 21 23 · · · n+1
2n = 4n n!2 ∼
πn
3
Exercice 14 : 25 , 1 − 53 24 31 et enn (sauf erreur) 25 35 24 + 35 24 24 + 35 24 23 ·
6
Exercice 15 : p1 = 21 25 + 12 74 puis pn+1 = 25 pn + 47 (1 − pn ), et on cherche ` tel que ` = − 35
` + 47 ·
(4)+(5)
Exercice 16 : p1 = p3 = 2 9 2 et p2 = 94
(2)
Exercice 17 : vous avez fait l'exercice 2 ?
Exercice 18 : google(mort subite foot).
2
5 2
9
+
4+3+2+1
·
5+4+3+2+1
EXercice 19 : PA,1 =
, PB,1 = (1 − PA,1 )
, la probabilité pour
36
36
que ce soit ni après un tour vaut PF,1 = PA,1 + PB,1 , et la probabilité pour que ce soit ni
en au plus k tours vaut 1 − (1 − PF,1 )k −→ 1. Enn, la probabilité que Alice gagne vérie
k→+∞
PA = PA,1 + (1 − PF,1 )PA ...
Exercice 20 : calculer la probabilité pk pour qu'après son k-ième tir, Franz soit déclaré vainqueur.
Exercice 21 : pn+1 = (2p − 1)pn + 1 − p : encore une suite arithmético géométrique ; pn −→ 12
n→+∞
sans surprise.


 
0
1
1
2
1
Exercice 23 : notons p
p = 12 + 12 (1 − p)...
Exercice 22 : A =
1
0
1
1
1/3
1 et bien entendu (comme à l'exercice précédent) : Xn −→ 1/3
n→+∞
0
1/3
la probabilité pour que la taupe sorte à la première sortie rencontrée :
Exercice 24 : Bayes avec B : le résultat est faux et A : il a utilisé une calculatrice ...
Exercice 25 : attention, les veaux font également MEUHHH. Mes statistiques sont formelles : ce
fait semble assez peu connu.
Exercice 26 :
1
n
n
P
p=k+1
k
p−1
=
k
n
n−1
P
i=k
1
i
'
k
n
Rn
k
dt
t
= − nk ln nk est maximale (et vaut 1e ) pour
k
n
=
1
e
(ce qui est fort, sachant que e est irrationnel :-) ).
Exercice 27 : pf... A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C , puis sous-additivité de P.
Exercice 28 : A ∩ B = A \ (A ∩ B) donc P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B) = · · · = P(A)P(B).
Exercice 29 : uniquement des piles ; pas uniquement des piles . Les tribus sont stables par
intersections et unions dénombrable. Le complémentaire F de ∩ Ei vaut ∪ Ei , et on utilise la
i∈N
8
i∈N
sous-additivité de P.
Exercice 30 : voir aussi l'exercice 2. En notant En = ∪ Ai on a (En )n∈N décroissante, et
i>n
(Q3) P(En ) 6
+∞
P
P(Ai ) −→ 0 (reste d'une série convergente). Pour Q4 , que vaut B ? À n
n→+∞
i=n
xé, P( ∩ Ai ) peut être vue comme une limite décroissante de probabilité d'événements dont on
i>n
contrôle le logarithme...
Exercice 31 : observer le graphe suivant, prendre un air surpris puis pensif puis intelligent.
p
40/0
p
p
p
0/0
15/0
30/0
1-p
p
0/15
15/15
1-p
30/15
1-p
p
15/30
p
40/15
p
1-p
1-p
p
1-p
p
1-p
1-p
p
30/30
15/30
1-p
0/40
p
p
40/30
1-p
1-p
p
1-p
A
p
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
Plus précisément, on évalue d'abord facilement les probabilités pour que le score passe par les
scores simples (ceux par lesquels on ne passe au plus qu'une fois). Ensuite, on peut évaluer la
probabilité pour qu'on passe au moins une fois par une égalité. Sous cette hypothèse, on évalue
les probabilités de passage aux diérents scores après n coups supplémentaires grâce au graphe
suivant :
n  
1
0
0
0
p
0 
  
 
0 1 − p
 0
1
0  0
0
0
1
Exercice 32 : choisir une partition (X, Y ), c'est choisir X ⊂ Y ; pour le deuxième, on choisit k,
puis X à k éléments, puis Y dans un ensemble à n − k éléments ; etc. On trouvera nalement :
2n , 3n , 3n , 3n et 4n .
Exercice 33 : Bayeserie sur les événements le trésor a été placé et il n'est pas dans les N − 1

0
1 − p

et au calcul de 
 p
 0
0
p
0
0
0
0
1−p
0
0
0
0
premiers cores .
Exercice 34 : attention, l'intersection n'est pas vide : elle est réduite au singleton {1}. Ensuite, il
y a vaguement de la continuité décroissante, puis la convergence s'obtient via le logarithme, bien
entendu. Pour terminer, le point clé est que les Ap sont mutuellement indépendants, donc leur
complémentaires aussi ! On obtient nalement une formule due à Euler :
ζ(s) =
∞
Y
1
1
1
−
ps
k=1
k
Signalons enn que le théorème des nombres premiers (non trivial !) dit : pn ∼ n ln n.
9