b. 3ème loi de Kepler

EXERCICE I. ETUDE DE LA VITAMINE C (4 POINTS)
L'acide ascorbique, couramment dénommé vitamine C, est un réducteur naturel que l'on qualifie usuellement
d'antioxydant.
On
le
trouve
dans
de
nombreux
fruits
et
légumes.
Une
carence
prolongée en vitamine C favorise le scorbut. On a montré que la vitamine C peut prévenir des petits maux
quotidiens tels que le rhume ainsi qu'aider dans le traitement de certains cancers.
En pharmacie il est possible de trouver l'acide ascorbique, par exemple sous forme de comprimés « de vitamine
C 500 ».
1. Étude de la réaction entre une solution aqueuse d'acide ascorbique et une solution aqueuse
d'hydroxyde de sodium (ou soude).
Pour simplifier, l 'acide ascorbique, de formule brute C6H8O6 , sera désigné par HA dans la suite de
l'exercice.
Dans cette étude, on envisage la réaction très rapide entre une solution aqueuse d'acide
ascorbique de concentration molaire en soluté apporté CA = 1,00  10 –2 mol.L-1 et une solution aqueuse
d'hydroxyde
de
sodium
de
concentration
molaire
en
soluté
apporté
–2
-1
CB = 2,00  10 mol.L .
Le volume initial de la solution aqueuse d 'acide ascorbique est VA = 20,0 mL et on note VB le volume de la
solution aqueuse d 'hydroxyde de sodium versée.
1.1 . Ecrire l'équation traduisant cette réaction.
1.2. On étudie le mélange, à 25°C, lorsque l'on a versé VB = 5,0 mL de solution aqueuse d'hydroxyde de
sodium.
1.2.1
Le pH du mélange est alors égal à 4,0. En déduire la concentration en ions oxonium H 3O+ dans
ce mélange.
1.2.2.
Calculer la concentration en ions hydroxyde dans ce mélange. En déduire la quantité nf(HO-)
d'ions hydroxyde présents à l'état final dans ce mélange.
On donne le produit ionique de l'eau à 25°C; Ke = 1,0  10 -14.
1.2.3.
DANS L'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, compléter le TABLEAU 1 descriptif de
la réaction chimique entre l'acide ascorbique et les ions hydroxyde. En déduire la valeur
numérique de l'avancement final xf.
1.2.4.
La transformation est-elle totale ? La réaction associée à cette transformation peut-elle servir de
support au dosage d'une solution aqueuse d'acide ascorbique par une solution aqueuse
d'hydroxyde de sodium ?
2. Dosage colorimétrique d'un comprimé de vitamine C
On écrase un comprimé de « vitamine C 500 » dans un mortier. On dissout la poudre dans un peu
d'eau
distillée
et
l'on
introduit
l'ensemble
dans
une
fiole
jaugée
de
100,0 mL; on complète avec de l'eau distillée. Après homogénéisation, on obtient la solution S.
On prélève un volume V A = 10,0 mL de la solution S que l'on dose avec une solution aqueuse
d'hydroxyde
de
sodium
de
concentration
molaire
en
soluté
apporté
CB = 2,00  10 -2 mol.L-1 en présence d'un indicateur coloré convenablement choisi.
L'équivalence est obtenue pour un volume de solution aqueuse d'hydroxyde de sodium
V BE = 14,4 mL.
2. 1. Représenter un schéma annoté du dispositif pour réaliser ce titrage.
2.2.
Quel indicateur coloré doit-on choisir parmi les trois proposés ci-après ? On pourra s'aider de la
courbe pH = f (VB) donnée SUR LA FIGURE 2 DE L'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
pour justifier la réponse à cette question. Cette courbe a été obtenue à partir d'un logiciel de
simulation, indépendamment des quantités dosées dans l’exercice.
On donne la zone de virage de quelques indicateurs colorés :
indicateur coloré
rouge de méthyle
bleu de bromophénol
rouge de crésol
2.3.
2.4.
2.5.
zone de virage
4,2 - 6,2
3,0 - 4,6
7,2 - 8,8
Définir l'équivalence.
Calculer la quantité d'acide ascorbique dans les 10,0 mL de solution titrée en utilisant les
données introductives de la question 2.
En déduire la masse m, en mg, d'acide ascorbique contenu dans un comprimé.
Expliquer l'indication du fabricant « vitamine C 500».
On donne les masses molaires atomiques en g. mol-1 :
M(C) = 12,0 ; M(H) = 1,0 ; M(O) = 16,0.
3. Étude de la molécule de l'acide ascorbique
La formule semi-développée de l 'acide ascorbique est la suivante :
Les propriétés acido-basiques de cette molécule sont dues à l'hydrogène du groupe caractéristique (ou
fonctionnel) entouré par un cercle. Cette molécule possède d'autres groupes caractéristiques.
À quelle famille de composés correspondent respectivement les groupes caractéristiques (ou fonctionnels)
encadrés dans la formule de l'acide ascorbique et notés (1) et (2) ?
TABLEAU 1
équation de la réaction
état du
système
avancement en
mol
état initial
0
état final
xf
HA
+
…………..
=
…………..
quantité de matière en mol
n0 (HA) =
nf(HA) =
FIGURE 2
+
…………..
EXERCICE II. QUATRE SATELLITES TERRESTRES ARTIFICIELS PARMI BIEN D'AUTRES (5,5 POINTS)
Calculatrice interdite
Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations
concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en oeuvre ses connaissances de physique pour les
vérifier et les approfondir.
Dans tout l'exercice, on notera :
Masse de la Terre: MT (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O)
Rayon de la Terre: RT
Masse du satellite étudié: mS
Altitude du satellite étudié: h
I.
Constante de gravitation universelle: G
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
1. Le premier satellite artificiel.
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par
Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite
artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la représenter
sur un schéma.
1.2. L' étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires.
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son
lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la
Terre en 100 minutes.
2.1. Étude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
2.1.1.
En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de Hubble est uniforme.
2.1.2.
Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G .
2.1.3.
Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis retrouver la troisième loi de
Kepler appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette loi
n'est pas demandé ici).
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.2.1. Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
2.2.2. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre.
a. Montrer que, seule, l'une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
b. Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier la
réponse.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors
de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie
lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n 'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas
fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.
3.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
La deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires », précise que « des aires balayées par le rayon, reliant le satellite à l' astre
attracteur, pendant des durées égales, sont égales ».
Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
3.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de
l'orbite du satellite
Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P correspondant respectivement aux valeurs
36 000 km et 500 km données dans le texte.
3.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse
d'Hipparcos sur son orbite
n'est pas constante.
3.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.
4. Les missions des satellites artificiels.
Aujourd'hui, plus de 2600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de nombreux
domaines: téléphonie, télévision, localisation, géodésie, télédétection, météorologie, astronomie ...
Leur spectre d'observation est vaste, optique, radar, infrarouge, ultraviolet, écoute de signaux
radioélectriques ...
4.1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les limites des longueurs d'onde dans le vide de ce
spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet .
4.2. La célérité de la lumière dans le vide est 3,0  108 m.s-l , en déduire les limites en fréquence de la lumière visible.
4.3. Pourquoi doit on préciser « dans le vide » pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
National Juin 2005
Correction
EXERCICE
II.
QUATRE
BIEN D'AUTRES (5,5 POINTS)
SATELLITES
1. Les premier satellite artificiel
1.1.
Terre
n
Calculatrice interdite
TERRESTRES
ARTIFICIELS
PARMI
Spoutnik 1
O
FT / S
FT / S
M T  mS
= G.
n
(RT  h)2
avec
n
vecteur unitaire - radial (porté par la droite (OS))
- centripète (orienté de S vers O)
1.2. Dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen, en appliquant la deuxième loi de Newton au système {satellite}:

FT / S = mS . a
M T  mS
G.
n
(RT  h)2
MT
G.
n
(RT  h)2

= mS . a
=

a
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires
2.1. étude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
2.1.1. Pour un mouvement circulaire, on a

a
=
dv

dt
+
v²
n , avec 
(R T  h)
vecteur unitaire tangent à la trajectoire et
n
vecteur radial et centripète.
D'après la seconde loi de Newton, le vecteur accélération a même sens et même direction que le vecteur
dv
dt
. Ce qui impose
= 0, donc la valeur de la vitesse est constante.
2.1.2. On peut écrire
MT
(RT  h)2
=
G.
MT
(RT  h)
= v²
G.

a
=
v²
n
(R T  h)
et en utilisant le résultat du 1.2. on obtient l'égalité suivante :
v²
(R T  h)
G.
v=
FT / S
MT
(RT  h)
2.1.3. Le satellite décrit son orbite, de périmètre 2(RT+h), en une durée égale à la période T de son mouvement.
2(RT  h)
T
2(RT  h)
T=
v
2
4 (RT  h)2
T² =
v²
2
4 (RT  h)2
T² =
G.MT
(RT  h)
v=
T² =
4 2(RT  h)3
G.M T
On retrouve la 3ème loi de Kepler:
4 2
T²
=
(RT  h)3 G.M T
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
2.2.1. Un satellite géostationnaire est fixe par rapport à un référentiel terrestre. (référentiel terrestre: solide fixe par
rapport au sol terrestre)
2.2.2.a. La figure 2 est incompatible avec la seconde loi de Newton:
Le vecteur accélération est dans le plan contenant l'orbite du satellite.
Or d'après la 2nde loi de Newton, le vecteur
et la même direction que le vecteur

a
FT / S

a
possède le même sens

a
;
doit avoir pour direction la droite (OS), ce qui n'est pas le cas ici.
Satellit
e
O
autre justification possible: Rappel mathématique un cercle est une ellipse
particulière dont les foyers sont confondus et situés au centre du cercle.
D'après la 1ère loi de Kepler (voir son énoncé au 3.1), le point O devrait être au centre de l'orbite du satellite. Cette loi n'est
donc pas respectée sur cette figure 2.
2.2.2.b. La figure 1 est la seule trajectoire qui puisse correspondre au satellite géostationnaire. Le plan contenant l'orbite du
satellite est le plan équatorial. Ainsi le satellite peut rester à la verticale d'un même lieu si sa période de révolution est égale à
la période de rotation de la Terre.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
3.1. 1ère loi de Kepler :
a.
b.
c.
d.
Si l'on considère un centre attracteur T (ex : la Terre ) et un satellite S soumis à
l'interaction gravitationnelle, ce dernier décrit en l'absence de perturbations, une
trajectoire elliptique, dont le centre attracteur occupe l'un des foyers.
3ème loi de Kepler:
Le rapport du carré de la période de révolution T d'un satellite, autour d'un astre
attracteur, au cube du demi-grand axe a de l’ellipse est constant. T²/a3 = Cte
3.2.
O = centre de l'ellipse
F et F' = Foyers
2a = grand axe
a = demi-grand axe
T centre d'inertie de la Terre
A: 36000 km d'altitude
P: 500 km d'altitude
S
F'
A
O
F
T
2a
<
P
>
3.3. Les deux aires hachurées sont égales. On remarque que dans un cas le satellite parcourt la longue distance HK, tandis que
dans l’autre cas, il parcourt la petite distance MN.
D’après la loi des aires, ces distances inégales sont parcourues durant une même durée .
Il est donc impossible que le satellite se déplace toujours à la même vitesse.
M
A
N
T
K
P
O
H
3.4. La vitesse est maximale en P et minimale en A.
4. Les missions des satellites artificiels.
4.1.
Ultraviolet
4.2.  =
1=
2=
c

d’où
=
3,0  10
400  10 9
3,0  108
800  10 9
8
mini = 400 nm
c

alors
1=
maxi = 800 nm Infrarouge
c
et
mini
=
2=
en nm
c
maxi
3,0  10
3 10
=
 7 = 0,751015 Hz soit 7,51014 Hz
9
4  100  10
4 10
8
 min i 0,75  1015
1
3,0  10

=
=
= 0,3751015 = 3,751014 Hz
2 400  10 9
2
2
8
=
 dans le vide
Spectre optique
8
soit environ 3,81014 Hz.
4.3. Dans le vide la lumière se déplace à la célérité notée c, tandis que dans un autre milieu elle se déplace à la célérité V < c.
=
V

la fréquence

est constante, si la célérité V varie alors  varie.
 dépend du milieu de propagation.
2003 Métropole
Exercice I. Étude de la vitamine C (4 points)
Correction © http://labolycee.org
1. Étude de la réaction entre une solution aqueuse d'acide ascorbique et une solution aqueuse d'hydroxyde de
sodium (ou soude).
1.1. HA (aq) + HO
(aq)
= A(aq) + H2O (l)
1.2.1. [H3O+] = 10pH
[H3O+] = 104,0 = 1,0.104 mol.L1
1.2.2. Ke = [H3O+] . [HO–(aq)]
[HO–(aq)] =
Ke
 H 3O + 
[HO–(aq)] =
1, 0.1014
1, 0.104
= 1,0.1010 mol.L1
nf(HO) = [HO–(aq)]  V = [HO–(aq)] (VA + VB)
nf(HO) = 1,0.1010  25,0.103 = 2,5.1012 mol
1.2.3. Tableau 1
équation de la réaction
état du
avancement
système
en mol
HA(aq)
n0 (HA) = CA.VA
état initial
0
= 1,00.10220,0.103
= 2,00104
nf (HA) = n0(HA)  xf
état final
xf
= 1,0104

Calcul de xf : n0(HO )  xf = nf(HO)
xf = n0(HO)  nf(HO)
xf = 1,0.104  2,5.1012
xf = 1,0.104 mol
+
HO(aq)
=
A(aq)
+
H2O (l)
quantité de matière en mol
n0(HO) = CB.VB
= 2,00.1025,0.103
= 1,0104
0
beaucoup
nf (HO) = 2,51012
xf = 1,0104
beaucoup
1.2.4. Détermination de l’avancement maximal :
Si HA est limitant alors CA.VA = xmax
soit xmax = 2,00.104 mol

Si HO est limitant alors CB.VB = xmax
soit xmax = 1,0.104 mol
Le réactif limitant est celui qui conduit à l’avancement maximal le plus faible, il s’agit donc de l’anion hydroxyde HO .
=
xf
x max
=
1,0.10 4
1,0.10  4
= 1  = 100% la transformation est totale.
La réaction associée à cette transformation peut servir de support au titrage car elle est très rapide et totale.
2. Dosage colorimétrique d'un comprimé de vitamine C
2.1. Dispositif de titrage
burette graduée
contenant une solution
d’hydroxyde de sodium
CB = 2,00.102 mol.L1
_
G
p
a
A
_
bécher contenant VA = 10,0 mL de solution S
+ 3 gouttes d’indicateur coloré
rC
l
agitateur magnétique
2.2.
pH équivalence = 8
D’après la figure 2, et la
méthode des tangentes,
le pH à l’équivalence vaut 8.
On choisit un indicateur
coloré dont la zone de virage
contient ce pH, il s’agit du
rouge de crésol.
2.3. Avant l’équivalence, le réactif titrant est limitant. À l’équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions
stœchiométriques. Après l’équivalence, le réactif titré est limitant.
À l’équivalence nA = nB où nA est la quantité de matière d’acide ascorbique présente initialement dans les 10 mL de solution S et
nB est la quantité de matière de soude versée pour atteindre l’équivalence.
2.4. nA = nB = CBVBE
nA = 2,00.102  14,4.103 = 2,88.104 mol
2.5. Dans 10,0 mL on a nA mol d’acide ascorbique ; dans la fiole jaugée de 100,0 mL on avait donc 10nA mol d’AH.
m=
10n A  MC
6H8O6
–3
m = 2,88.10 176 = 507 mg
L’indication du fabricant « vitamine 500mg » indique qu’un comprimé contient 500mg d’acide ascorbique.
Le résultat obtenu expérimentalement est donc conforme à cette indication.
3. Étude de la molécule de l'acide ascorbique
(1) groupe caractéristique ester : famille des esters
(2) groupe caractéristique hydroxyle: famille des alcools