la transformée de Laplace - physique appliquée au LLA

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la transformée de Laplace
ou le calcul opérationnel
1. Intérêt de la transformée de Laplace
Les relations tension - courant des dipôles sont des relations intégro – différentielles.
Exemple du circuit RLC série :
L
i(t)
R
C
d i(t) 1
t
u(t) = R . i(t) + L dt + C ⌠
⌡0 i(t) dt
u(t)
(1)
dans le cas particulier des signaux purement sinusoïdaux, on utilise la notation
complexe pour les calculs de tensions et de courants.
C’est ce qu’on a appelé la transformée cissoïdale : C
[V
ϕ
2 sin ( ωt + ϕο ) ]= V. e j o
Les équations différentielles sont plus faciles à traiter ,
1 1
l’équation (1) se transforme en U (jω) = R . I (jω) + L . jω . I (jω) + C . . I (jω)
jω
dans le cas d’un signal causal quelconque, ce sont les fonctions nulles aux temps négatifs,
on utilise la transformée de Laplace .
Les 2 applications les plus connues sont l’étude des régimes transitoires, l’étude des
systèmes asservis avec, en particulier, l’étude de la stabilité des fonctions de transferts, …
rappelons les autre transformée utiles en électronique :
la transformée de Fourier F ( s(t) ) = S ( f ) donnant le spectre d’un signal s(t)
la transformée en Z pour les signaux échantillonnés
2. Fonctions particulières : la fonction de Heaviside, l’impulsion de Dirac
Dans les régimes variables quelconques, on rencontre souvent des discontinuités. Pour les exprimer
mathématiquement, on introduit des fonctions discontinues de base :
la fonction de Heaviside et sa dérivée, l’impulsion de Dirac.
2.1. l’échelon unitaire ou fonction de Heaviside Γ(t)
Γ
définition :
1
t



Γ est la lettre grecque « gamma »
(1)
K
Γ(t) = 0 pour t < 0
Γ(t) = 1 pour t ≥ 0
l’image physique de ce signal est l’application d’une tension de 1 V
ou de 0 V par l’intermédiaire d’un inverseur K :
à t = 0 s, K passe de la position (2) à la position (1).
1V
(2)
Γ(t – to)
La fonction de Heaviside permet d’écrire les équations mathématiques
de signaux causaux et discontinus.
to
Pour cela on utilise la relation de translation dans le temps ou du retard :
si on retarde une fonction Γ(t) d’une durée to, la fonction obtenue s’écrit Γ(t - to)
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Γ(t)
t
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2.2. l’impulsion unité δ ( t ) ou impulsion de Dirac
définition :
 δ(t) = 01 pour t ≤ 0 et t ≥ ∆
 δ(t) = ∆ pour t ∈ [0, ∆]
avec ∆ qui tend vers 0
δ(t)
δ
1
∆
t
t
impulsion de DIRAC
∆
⌠ ∆ 1 . dt = 1
+∞
on constate que l’aire de cette impulsion est égale à 1 : ⌠
⌡-∞ δ ( t ) . dt = 
⌡0 ∆
L’impulsion de Dirac est unitaire car son aire ( et non son amplitude ) est égale à 1.
Si son aire vaut X (nombre réel ), on dit que le poids de l’impulsion de Dirac est de X.
Intérêt : elle est utilisée
1
pour définir les signaux échantillonnés : répétée infiniment à une fréquence fe = T ,
e
fe étant la fréquence d’échantillonnage et Te la période d’échantillonnage, on peut définir
+∞
∑ δu( t - nTe ) , qui, multiplié par un signal s(t) produit le signal
le peigne de Dirac
n=-∞
échantillonné s*(t) = s(t) .
peigne de Dirac
+∞
∑ δu( t - nTe ) .
t
n=-∞
Té
pour l’étude de la stabilité des systèmes asservis : une impulsion de Dirac appliquée à
un système produit à la sortie de ce système un signal égal à la fonction de transfert du
même système. Si la réponse à l’impulsion (ou réponse indicielle ou percussionnelle)
donne un signal ne tendant pas vers zéro, le système est instable.
3. La transformée de Laplace
L
f(t)
L
-1
F (p)
À toute fonction réelle f(t) on associe une fonction
F(p)
de la variable complexe p :
+∞
-p t dt
F(p) = =⌠
⌡0 f(t) e
Il est sous-entendu, puisque l’intégration de la fonction se fait de 0 à +∞,
que le signal transformé est le signal causal f(t). Γ(t).
On écrit L ( f(t) ) = F(p) en lisant “transformée de Laplace de f(t) est égale à F(p)”.
Vocabulaire : F(p) est l’image de f(t) : L ( f(t) ) = F(p)
-1
et f(t) est l’original(e) de F(p) : L ( F(p) ) = f(t)
p est la variable de Laplace ou variable symbolique
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+∞
-p t dt
4. Propriétés remarquables de la transformée de Laplace : F(p) = =⌠
⌡0 f(t) e
4.1. linéarité :
L ( a . f1(t) + b . f2(t) ) = a . F1(p) + b . F2(p)
4.2. dérivation :
L(
d f(t)
dt ) = p F(p) - f(0 )
L(
d2 f(t)
2 F(p) - p f(0+) - d f(0 )
)
=
p
dt
dt2
si le signal est causal (conditions initiales nulles) : L (
d f(t)
) = p F(p)
dt
F(p)
F(p) 1
t
⌠t
⌡0 f(t) dt ) = p
p + p g(0 ) où g(t) = ⌡ f(x)dx si le signal est causal : L (⌠
0
L ( f(t - τ) . Γ(t
Γ( - τ) ) = e -ττp . F(p) où τ est le retard
t
4.3. intégration : L (⌠
⌡0f(t) dt ) =
4.4. retard :
4.5. transformée d’une fonction amortie :
L ( e -at . f(t) ) = F(p + a)
t
4.6. changement de l’échelle des temps : L ( f ( a )) = a F(ap)
4.7. théorème de la valeur initiale et théorème de la valeur finale
théorème de la valeur initiale :
lim
t→
→0+
théorème de la valeur finale :
lim
f ( t) =
t→
→+∞
∞
f ( t) =
lim
p→
→+∞
∞
p. F ( p )
lim
p→
→0
p.F(p)
5. Transformées usuelles :
δ
l’impulsion de Dirac :
la rampe :
a
t
at.Γ(t)
t
sin(ωt).Γ(t)
t
le sinus :
L(δ
δ(t)) = 1
a
L(at) =
p2
ω
L(sin ωt) = 2
p + ω2
t à la puissance n-1 :
la fonction de Heaviside :
l’exponentielle :
e-at.Γ(t)
le cosinus :
t(n-1)
1
L ( (n-1)! ) = n
p
transformée F(p) d’un signal périodique f(t) de période T et dont la transformée
1
1
de la première onde est F1(p) : p + a F(p) = F1(p).
1 - e-pT
-1
remarque : les relations ci dessus permettent de trouver l’originale f(t) = L ( F(p) )
1
L(e-at) =
p+a
t
cos(ωt).Γ(t)
t
1
L(Γ
Γ(t)) =
p
t
Γ
p
L(cos ωt) = 2
p + ω2
f(t)
t
3
3
par exemple la fonction p+2 a comme originale 3 e -2t,
sous entendu la fonction causale 3 e -2t Γ(t) représentée ci-contre :
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t(s)
0,5
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6. La transformée inverse de Laplace ou l’originale
6.1. intérêt du calcul symbolique :
comme l’explique le diagramme ci-contre, l’intérêt
est de trouver la réponse s(t) d’un système
linéaire à un signal d’entrée e(t) causal.
e(t)
système
T
s(t)
la transformée de Laplace
résolution de
l’équation différentielle
e(t)
calcul de
l’image
E(p)
calcul de
l’originale
s(t)
S(p)
T(p)
transmittance symbolique
On connaît l’équation différentielle du système, elle relie la grandeur de sortie s(t) à la grandeur
d’entrée e(t).
En régime harmonique le système est décrit par la fonction de transfert complexe T(jω), en
régime causal la transmit tance sera T(p).
La méthode pour retrouver l’originale consiste à transformer S(p) en somme d’expressions
connues dont on retrouve facilement les originales, grâce à la “table de Laplace” (§4 et §5).
6.2. Décomposition en éléments simples
Soit F(p) une fonction de la variable p qui peut s’écrire
a + bp + cp2 + dp3 + … + kpm
N(p)
F(p) = D(p) =
a' + b' p + c'p2 + d'p3 + … + k'pn
où le numérateur N(p) est un polynôme en p de degré m et
où le dénominateur D(p) est un polynôme en p de degré n
avec n ≥ m puisqu’en physique la plupart des système existants sont des passe-bas.
Les racines du numérateur sont appelées les zéros de F(p)
Les racines du dénominateur sont appelées les pôles de F(p) ,
on peut alors mettre le dénominateur sous la forme suivante :
D(p) = (p - p1) (p - p2) (p - p3) … (p - pn) si p1, p2, p3 à pn sont les n pôles
N(p)
et écrire F(p) =
.
(p - p1) (p - p2) (p - p3) … (p - pn)
6.3. D(p) a n racines distinctes : on dit que les pôles sont simples
Dans ce cas on peut écrire :
A1
A2
An
N(p)
F(p) = (p - p ) (p - p ) (p - p ) … (p - p ) = (p - p ) +(p - p ) + …+(p - p ) .
1
2
n
1
2
3
n
Les résidus Ai sont facile à trouver.
En effet, il suffit, pour déterminer par exemple le résidu A2, de multiplier par (p - p2) les deux
quotients ci-dessus, ce qui donne
N(p) (p - p2)
A1
A2
An
=
(p
p
)+
(p
p
)+
…+
2
2
(p - p1) (p - p2) (p - p3) … (p - pn) (p - p1)
(p - p2)
(p - pn) (p - p2) .
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A1
An
N(p)
et après simplification (p - p ) (p - p ) … (p - p ) = (p - p ) (p - p2)+ A2 + …+(p - p ) (p - p2).
1
3
n
1
n
En remplaçant p par p2, tous les résidus Ai sauf A2 s’éliminent,
N(p2)
d’où A2 = (p - p ) (p - p ) … (p - p )
2 1
2 3
2 n
De façon générale, à
Ai = [ (p - pi) . F(p) ]
p = pi
.
-1 Ai
Les résidus déterminés, l’originale sont des exponentielles , en effet L (
) = Aiexp pit .
(p - pi)
Exemple 1 : calculons les résidus A, B et C, pour en déduire l’originale f(t) :
2
A
B
C
F(p) = (p - 1) (p + 2) p = (p - 1) + (p + 2) + p
Exemple 2 : calculons les résidus A et B, pour en déduire l’originale f(t) :
p+1
A
B
p+1
F(p) = 2
= (p + 2)(p + 3) = (p + 2) + (p + 3) =
p +5p+6
6.4. D(p) a des racines doubles, multiples d’ordre k, …
Ak
Ak-1
A1
N1(p)
N(p)
Dans ce cas F(p) =
=
+
+
…+
+
(p - po)
D1(p) .
(p - po)k.D1(p) (p - po)k (p - po)k-1
Les résidus Ak peuvent être déterminés par différentes méthodes détaillées ci-dessous et le
N1(p)
rapport D (p) avec les mêmes méthodes suivant que les pôles soient simples ou multiples.
1
 i
1 d
Une formule générale pour les courageux : Ai = 
i!
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[ (p - po)k F(p) ]
dpi
 p=p .
o

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Exemple 3 :
F(p) =
1
A
B
C
=
+ (p + 1) + p + 2 … trouver C = 1, A = 1 et B = -1
2
2
(p + 1) (p + 2) (p + 1)
Autres méthodes pour trouver le résidu B :
connaissant C multiplier par p et faire tendre p vers + ∞.
prendre une valeur particulière pour p, par exemple p = 0.
-1
on trouve finalement que L ( F(p) ) = f(t) = ( e -t . t - e -t + e -2t ) .Γ
Γ(t)
6.5. La formule inverse donnant f(t) à partir de F(p) existe sous forme d’intégrale, mais, vu la
complexité des calculs, elle est très rarement utilisée.
7. Impédance opérationnelle ou symbolique (ou isomorphe)
7.1. Définition :
I(p) Z(p)
L’impédance opérationnelle ou isomorphe ou symbolique
d’un dipôle linéaire, pour des conditions initiales nulles, à savoir pour
V(p)
V(p)
v(0-) = 0 et i(0-) = 0, est le quotient Z(p) = I(p) . La loi d’Ohm s’écrit : V(p) = Z(p).I(p)
7.2. la résistance pure
v(t) = R.i(t). On a alors V(p) = R. I(p) et l’impédance opérationelle : ZR(p) = R
7.3. l’inductance
d i(t)
v(t) = L dt et avec des conditions initiales nulles V(p) = L.p.I(p) ZL(p) = Lp
7.4. le condensateur
1
d v(t)
i(t) = C dt et avec de conditions initiales nulles I(p) = C.p.V(p) ZC(p) =
Cp
Remarquons qu’il suffit de remplacer jω
ω par p dans les impédances complexes pour obtenir
les impédances opérationnelles.
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8. La fonction de transfert opérationnelle (transmittance de Laplace ou isomorphe)
quadripôle
8.1. Définition : si les conditions initiales sont nulles,
S(p)
est la fonction de transfert du système.
E(p)
Retenons aussi que S(p) = E(p).T(p).
T(p) =
T(p)
E(p)
S(p)
8.2. Exemple : le filtre passe-bas du premier ordre RC
Ce filtre a déjà été étudié en régime variable, sa transmittance T(jω) est connue et son calcul
fait appel à la formule du pont diviseur :
R
1
jCω
1
1
1
=
=
en complexe : T(jω) =
1
1 + jRCω
ω
E(p)
S(p)
Cp
R+
1+ j
jCω
ωo
1
ωo
Cp
1
1
de même, en calcul opérationnel : T (p) =
=
=
=
1
1 + RC p
p p + ωo
R + Cp
1+
ωo
pour faire apparaître le pôle p = - ωo
ωo
E(p)
S(p)
représentation :
p + ωo
bloc diagramme
8.3. Cherchons la réponse impulsionnelle (ou percussionnelle) :
ωo
comme E(p) = 1, S(p) = T(p).E(p) = T(p) =
, et l’originale est s(t) = ωo.e -ωot . Γ(t)
p + ωo
e(t) = δ(t)
l’impulsion de Dirac
E(p) = 1
t
E(p)
ωo
p + ωo
s(t) = ωo e-ωot.Γ(t)
S(p)
ωo
t
τ=
1
= RC
ωo
8.4. Cherchons la réponse indicielle :
ωo 1 1
1
1
comme E(p) = p , S(p) = T(p).E(p) =
.p = p , et l’originale s(t) = (1 - e-ωot).Γ(t).
p + ωo
p + ωo
1
e(t) = Γ(t)
l’échelon unitaire
t
1
E(p) = p
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s(t) = (1 - e-ωot).Γ(t)
E(p)
ωo
p + ωo
S(p)
1
t
τ=
1
= RC
ωo
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exercices
1. les transformées directes de Laplace
Calculer les transformées de Laplace des fonctions causales suivantes ( Γ(t) est sous-entendu ) :
f2 ( t ) = 3 ( 1 - e-0,1 t )
f1 ( t ) = 10
π
f4 ( t ) = 5 cos ( 3 t + 4 )
f3 ( t ) = 5 sin 3 t
2. les originales : déterminer les fonctions originales des transformées de Laplace suivantes :
1
p+2
F1 ( p ) = ( p + 3 ) ( p + 4 )
F2 ( p ) =
( p + 1 )2 ( p + 3 )
p+1
p+2
F3 ( p ) = 2
F4 ( p ) =
p + 4 p + 16
p ( p + 1 ) ( p2 + 9)
3. Tensions causales
3.1. Trouver les expressions analytiques u1(t), u2(t), u3(t), u4(t) et u5(t) des tensions causales représentées.
u1
u2
A
A
t
0 ∆
t
T
u4
u3
∆
3a
2a
a
0
u5
A
A
t
t
0 ∆ 2∆ 3∆ …
t
0 10
0 ∆
40 45
A
3.2. En déduire les transformées de Laplace U1(p) = p (1-e-∆p), U2(p) = U1(p).e-Tp,
a
A
A
U3(p) =
, U4(p) = 2 (1-e-∆p) et U5(p) = 2 (1-e-10p-2e-40p+2e-45p).
p
p
p (1-e-∆p)
4. Réponse d’un filtre RC chargé
4.1. Donner la fonction de transfert de Laplace,
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
R1
la mettre sous la forme :
Ho
ve( t )
C
H(p)=
1+τp
Donner la réponse impulsionnelle.
On applique à l ’entrée un échelon de 5 V
Donner la valeur de la tension de sortie en régime établi.
Tracer la courbe vs( t ) sachant que R1 = 1 kΩ , R2 = 2 kΩ et C = 10 nF.
R
5. Réponse à un circuit RLC
5.1. Donner l’expression littérale de
Vs( p )
H(p)= V (p)
e
vs( t )
C
L
ve(t)
p2
( p + a )2
5.2. ve( t ) est une rampe de durée 3 ms variant de 0 à 6 V.
5.2.1. Donner l’expression de Ve( p )
5.2.2. En déduire l’expression de Vs( p ) puis de vs( t ).
R2
sous la forme
6
avec
vs(t)
L R.C
=
R
4
ve ( V )
t ( ms )
3
6. Équation différentielle correspondante
Vs( p )
p+1
Soit H(p) = V ( p ) =
, donner la relation liant vs(t) à ve(t) si les conditions initiales sont nulles .
3
e
4 p + 2p + 1
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