TRANSFORMEE EN Z I. Définition : Soit une suite la relation : la transformation en Z, de la suite est définie par Si la suite provient de l’échantillonnage à la période Te d’un signal continu, la transformée en Z est obtenue à partir de la transformée de Laplace du signal échantillonné en posant : II. Propriétés de la transformée en Z Linéarité Translation temporelle Changement d’échelle Multiplication par k Convolution Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale ( sous réserve d’existence). III. Transformée en Z inverse 1- Consultation de la table En général, sur la table des transformées en Z, figure présenter le résultat sous la forme et non pas .Il faut toujours Exemple : la transformée en Z inverse de est la suite des valeurs { . et non pas la fonction 2- Division suivant les puissances croissantes de Z , …………………………………….. 3- Méthode de l’équation aux différences (équation récurrente) La méthode s’appuie sur la formule : TZ-1 (z-n .X(z)) = x [(k-n) Te] = x (k-n) n : entier positif La résolution d’une équation aux différences exige la connaissance des conditions initiales. Exemple : Soit la fonction = (x ) On peut écrire : Y(z) – 0.5 z-1 Y(z) = z-1 X(z). Donc y(t) – 0.5 y(t-Te) = x(t-Te) Et pour t = kTe Y (kTe) = 0.5 y [(k-1) Te] + x (k-1) Te. Si le système est causal et x(t) est l’échelon unitaire alors : Y(0)=0 ; y(1) = 1 ; y(2)= 1.5 ; y(3)= 1.75 Rq : Ce calcul peut se programmer très facilement. 4- Méthode des Résidus x (kTe) = avec : sont les pôles de X(z). n : nombre de pôles. Rq : Dans le cas ou G(z) = = X(z).zk-1,ne possède que des pôles simples, soit zi, cette formule s’écrit : X (kTe) = Pour passer de la transformée de Laplace à la transformée en Z : : Ordre du pôle Pour calculer de la Transformée en Z inverse: : Ordre du pôle 5- Décomposition en fractions rationnelles Cette méthode consiste à décomposer X(z) en éléments simples, dont on trouve la transformée en Z inverse dans les tables.