Entiers - IMJ-PRG

MM120 Théorie des nombres Loïc Merel
Année 2012-2013 Dominique Bernardi, Pierre Charollois
Feuille 1
Entiers
Exercice 1 Montrer que, dans un corps de nombres Kde degré n, tout idéal
(entier) non nul contient une infinité d’entiers naturels mais que, si best un
entier naturel non nul, il n’est pas contenu dans plus de bnidéaux entiers.
Exercice 2 Soit Kun corps de nombres de degré net pun nombre premier
totalement décomposé dans K. Montrer que si p<n, l’anneau des entiers ZK
ne peut pas s’écrire sous la forme Z[α]. Montrer que le polynôme X3−X+ 8
fournit un exemple d’une telle situation.
Exercice 3 Soit mun entier naturel sans facteur cubique. On peut écrire de
façon unique m=ab2, où aet bsont des entiers naturels sans facteur carré. On
note θ=3
√m,K=Q(θ)et dle discriminant de Z[θ].
a) Calculer d. Montrer que si x+yθ est un entier de K, avec xet ydans Q, alors
xet ysont dans Z.
b) Montrer que si α=x+yθ +zθ2est un entier de K, avec x,yet zdans Q,
alors 3x,3yet 3bz sont dans Z. On pourra calculer le polynôme caractéristique
de αet montrer successivement que 3x,3my,3mz,3by,3bz et 3ysont dans Z.
c) Montrer que si m6≡ ±1(mod 9), on a même x,yet bz dans Z. On pourra
considérer séparément les cas où 3|m.
d) Montrer que θ2/b est entier, et que si m≡=±1(mod 9), (1 + θ +θ2)/3
est entier.
e) Dans tous les cas, donner une base des entiers de K, et son discriminant.
Exercice 4 Critère de Dedekind. Soit h∈Z[X]un polynôme unitaire irré-
ductible de degré n,θune racine de het K=Q(θ). Soit pun nombre premier.
La réduction modulo pde hse décompose en facteurs irréductibles dans Fp[X]
sous la forme h=Qihi
ei. On note hiun relèvement unitaire de hidans Z[X],
T=Qihiet L=Qihei−1
i. Il existe donc un polynôme g∈Z[X]tel que
h=T L +pg. On définit le p-radical de Z[θ]:
Rp={α∈Z[θ]; ∃k≥0, αk∈pZ[θ]}
a) Montrer que
α∈Rp⇔ ∃A, U, V ∈Z[X]; A=T U +pV et α=A(θ)
b) On suppose que pdivise [ZK:Z[θ]]. Montrer qu’il existe a∈ZKtel que
a6∈ Z[θ]et pa ∈Z[θ]. Montrer qu’il existe b∈ZKtel que b6∈ Z[θ],pb ∈Z[θ]et
T(θ)b∈Z[θ].
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c) Montrer que sous les hypothèses de b), on a pb ∈Rpet T(θ)b∈Rp.
d) On suppose maintenant que get Lsont premiers entre eux. Montrer que, pour
b∈ZK, les conditions pb ∈Rpet T(θ)b∈Rpimpliquent b∈Z[θ].
e) On suppose e1≥2et h1divise g. Posons R=he1−1
1Qi6=1 hei
i. Montrer que
α=R(θ)/p est un entier algébrique. En déduire le critère de Dedekind : gest
premier à Lsi et seulement si pne divise pas l’indice [ZK:Z[θ]]. On dit dans
ce cas que Z[θ]est un ordre p-maximal.
f) Montrer que si Z[θ]est p-maximal, la décomposition de pdans Kest
pZK=Y
i
pei
i
où pi=pZK+hi(θ)ZK, et les pisont des idéaux premiers distincts.
g) Montrer que le critère d’Eisenstein est un cas particulier du critère de Dede-
kind.
Exercice 5 On considère le corps K=Q(√−43). On pose ω=−1+√−43
2, et
on rappelle que l’anneau des entiers de Kadmet {1, ω}comme base sur Z.
a) Calculer le polynôme minimal de ω. Montrer que 2 et 3 sont inertes dans K.
b) Calculer la constante de Minkowski de K. Montrer que Oest principal.
c) Soit α6∈ Zun élément de Oqui engendre un idéal premier. Montrer que
NL/Q(α)est un nombre premier.
d) Soit xet y6= 0 deux entiers premiers entre eux tels que x2+xy + 11y2soit
strictement inférieur à 121. Montrer que x2+xy + 11y2est un nombre premier.
Unités
Exercice 6 Montrer que les unités des corps quadratiques réels forment un
sous-ensemble Udiscret de R∗. Quel est la plus petite unité fondamentale ?
Expliciter U∩[1,10].
Exercice 7 Montrer que, si ε∈Q(√d)est une unité de norme 1 d’un corps
quadratique, il existe un entier γtel que ε=γ
γ0, où γ0est le conjugué de γ.
Exercice 8 Équations de Pell-Fermat On rappelle que pour un corps qua-
dratique réel K, le théorème de Dirichler affirme l’existence d’une unité fonda-
mentale, plus petit entier ε > 1de Ktel NKQε=±1.
a) Soit d > 1un entier sans facteur carré congru à 2 ou 3 (mod 4). Montrer que
l’équation x2−dy2= 1 a une infinité de solutions entières.
b) Montrer qu’il en est de même si d≡1mod 4.
c) Montrer qu’on peut remplacer l’hypothèse “d > 1sans facteur carré” par
“d > 0n’est pas un carré”.
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d) Soit dun entier naturel qui n’est pas un carré, et kun entier relatif. Montrer
que si l’équation x2−dy2=ka une solution en entiers, elle en a une infinité.
Que se passe-t’il si dest un carré, ou si d < 0?
e) Montrer que l’unité fondamentale de Q(√2) est 1 + √2.
f) Décrire toutes les solution entières de l’équation
x2−50y2= 41.
Groupes des classes
Exercice 9 Dans le corps K=Q(√−47, on note ω= (1+√−47)/2et O=Z[ω]
l’anneau des entiers. On se propose d’étudier le groupe Cdes classes d’ideaux
fractionnaires de K.
a) Montrer que si pest l’idéal engendré par 2 et ω,pest un idéal de norme 2
distinct de son conjugué pet que l’on a 2O=pp.
b) Montrer que si Aest la norme d’un idéal entier principal a, alors l’équation
x2+ 47y2= 4A
admet une solution dans Z2. Montrer que p,p2,p3et p4ne sont pas principaux.
c) Montrer qu’il existe deux idéaux principaux de norme 32. Donner la liste des
idéaux entiers de norme 32 et montrer que p5est principal.
d) Montrer qu’il y a au plus huit idéaux entiers de norme inférieure ou égale à
4. À l’aide du théorème de Minkowski, montrer que Cest cyclique d’ordre 5.
e) Montrer que l’idéal qengendré par 3 et ωest de norme 3. Pour quelles valeurs
de nl’idéal pnqest-il principal ?
Exercice 10 Soit K=Q(√−23) et α=1+√−23
2.
a) Calculer le polynôme minimal de α, le discriminant DKde Ket la constante
de Minkowski MKde K.
b) Montrer que les idéaux p= (2, α)et q= (3, α)sont premiers non principaux.
c) Donner la factorisation de 2OKet 3OKen produit d’idéaux premiers.
d) Montrer que p3est principal.
e) Calculer le nombre de classes hK. On pourra commencer par montrer que hK
est inférieur ou égal à 5.
Exercice 11 On note ζ=e2iπ
23 et L=Q(ζ). On rappelle que le degré de Lsur
Qest 22. On veut montrer que l’anneau Odes entiers de Ln’est pas principal.
a) Montrer que 223 −1est divisible par 47 mais pas pas 472. Calculer NL/Q(ζ−2).
b) Notons al’idéal de Oengendré par 47 et ζ−2. Montrer que, pour tout élément
βde a, 47 divise NL/Q(β).
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c) On suppose que aest principal, engendré par α. Montrer que la norme N(α)
divise 4722 et N(ζ−2). Calculer N(α).
d) Montrer que Lcontient un corps Kquadratique sur Qet un seul.
e) Posons ω=NL/K (α). Montrer que ωest un entier de Kde norme 47.
f) On sait, grâce à une formule de Gauß, que K=Q(√−23). Montrer que Kne
contient pas d’entier de norme 47, et conclure.
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Solution 1 Tout idéal entier non nul acontient sa norme, qui est un entier
naturel non nul. Il contient aussi tous les multiples de cette norme, qui sont
en nombre infini. Inversement, tout idéal qui contient best engendré par bet
un autre entier, disons x. Exprimons xdans une base d’entiers, et réduisons
ses composantes modulo b. Le nombre de valeurs possibles de xest inférieur
ou égal à bn, d’où le résultat. Il est facile de voir que, même pour n= 1, cette
majoration est grossière.
Solution 2 Supposons ZK=Z[α]. Soit fje polynôme minimal de α. La réduc-
tion fde fmodulo pdoit être un produit de nfacteurs irréductibles unitaires
de degré 1 distincts, soit f=Qn
i=1(X−λi). Les λisont néléments distincts de
Fp, donc p≥n.
Le polynôme P=X3−X+ 8 est irréductible puisqu’il l’est modulo 3. On
aP(0) = P(−1) = P(1) = 8 et P0(0) = −1,P0(1) = P0(−1) = 2. Le lemme
de Hensel montre que Pa trois racines distinctes dans Q2, l’une congrue à 0
(mod 8), les deux autres congrues à −1et 1respectivement (mod 4). On a
donc Q2⊗K'Q3
2et 2 est totalement décomposé dans K. On peut appliquer
la première partie pour p= 2 et n= 3. Plus précisément, si αest un entier du
corps Kengendré par une racine de P, l’indice [ZK:Z[α]] est forcément pair.
Solution 3
a) On peut appliquer la formule valable pour les trinômes, donc a fortiori pour
les binômes :
d= (−1)3.2
233.d2=−27d2.
Le polynôme caractéristique de θest X3−m, donc celui de x+yθ est
y3 X−x
y3
−m!= (X−x)3−my3=X3−3xX2+ 3x2X+x3−my3.
On en déduit que 3x2est entier, donc le dénominateur de xne peut être divisible
par aucun nombre premier, c’est-à-dire que xest entier. Donc my3est aussi
entier, et le dénominateur de yest lui aussi égal à 1 puisque mest sans facteur
cubique.
b) Dans le cas général, on peut écrire la matrice Mde la multiplication par α
dans la base {1, θ, θ2}:
M=
x mz my
y x mz
z y x 
dont le déterminant est x3+my3+m2z3−3mxyz. Pour obtenir le polynôme
caractéristique de α, il suffit de remplacer xpar x−Xdans cette expression.
On trouve donc que αest entier si et seulement si les trois quantités suivantes
sont dans Z:
3x
3x2−3myz
x3+my3+m2z3−3mxyz
.
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