Devoir maison 1

L3 - 2016/2017 - DM1
Mathématiques discrètes
Devoir maison 1 du cours de mathématiques discrètes 2016.
Merci de soigner la rédaction.
Exercice 1.
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné fini.
On rappelle qu’une antichaîne de E est une partie de E formée d’élements deux à deux incomparables.
Soit F une partie non vide de E. On note Max(F ) l’ensemble de ses éléments maximaux.
1. Si F une partie non vide de E, justifier que Max(F ) est une partie non vide de E et une antichaine.
Soit k le maximum des cardinaux des antichaînes dans E. On se propose de démontrer par récurrence
sur |E| que E est la réunion disjointe de k chaînes.
2. Démontrer le résultat lorsque k = 1.
3. On suppose que k > 1. Soient z ∈ Max(E) et F = E \ {z}. Soit l le maximum des cardinaux des
antichaînes dans F ; on suppose que F est la réunion disjointe de chaînes C1 , ..., Cl .
(a) Donner un encadrement de k en fonction de l.
(b) Soit C une antichaîne de E. Que peut-on dire de C ∩ Ci , pour i dans J1, lK ?
(c) Soit i dans J1, lK. On note Di l’ensemble des éléments de Ci qui sont dans une antichaîne de
cardinal l dans F .
i.
ii.
iii.
iv.
Justifier que Di est non vide. On note dans la suite yi un élément maximal de Di .
Démontrer que {y1 , ..., yl } est une antichaîne de F .
On suppose que pour tout i, z n’est pas comparable à yi . Conclure.
On suppose qu’il existe i tel que z est comparable avec yi . Soit C 0 = {z}∪{x ∈ Ci | x ≤ yi }.
Démontrer que C 0 est une chaîne et que F \ C 0 ne contient pas d’antichaîne de cardinal l.
Conclure dans ce cas.
4. Soit N un entier naturel non nul.
(a) Soit F = {ni , i ∈ J1, N K} une suite d’entiers naturels. On munit F de la relation :
i≤j
ni nj si
ni ≤ nj
Démontrer que est une relation d’ordre partiel. Décrire pour les chaînes et les antichaînes.
(b) Soient m et n deux entiers naturels tels que N − 1 = nm. Démontrer que F contient une suite
croissante de cardinal n + 1 ou une suite décroissante de cardinal m + 1.
(c) Retrouver ce résultat en utilisant le principe des tiroirs.
5. Soit N un entier naturel non nul. Soit I une famille de N intervalles fermés réels. Soient m et n
deux entiers naturels tels que N − 1 = nm. Démontrer qu’il existe m + 1 intervalles dans I disjoints
deux à deux ou n + 1 intervalles dans I d’intersection non vide.
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan
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Mathématiques discrètes
Exercice 2.
1. On se déplace sur N2 en partant d’un point (0, 0) et en effectuant une suite finie de déplacements
élémentaires. Les déplacements élémentaires sont de deux types : soit un pas à droite (on passe du
point (x, y) au point (x+1, y)), soit un pas vers le haut (on passe du point (x, y) au point (x, y +1)).
(a) Soit (p, q) ∈ N2 . Soit Np,q le nombre de chemins qui partent de (0, 0) et arrivent au point
(p, q). Etablir que Np,q = Np−1,q + Np,q−1 , si p ≥ 1 et q ≥ 1. En déduire une expression de
Np,q avec un coefficient binomial.
(b) Retrouver ainsi une démonstration combinatoire du triangle de Pascal.
(c) Pour un chemin c menant de (0, 0) = (x0 , y0 ) à (n, n) = (x2n , y2n ), en passant successivement
par les points (x1 , y1 ), ..., (x2n−1 , y2n−1 ), on note ∆(c) le nombre de pas vers le haut au dessus
de la diagonale, c’est à dire le nombres d’indices i > 0 tels que (xi−1 ≤ yi−1 ) et yi = yi−1 + 1.
i. Démontrer que les valeurs prises par ∆ sont exactement 0, 1, ..., n.
ii. Quels sont les chemins c tels que ∆(c) = 0 ? De même ecrire les chemins c tels que
∆(c) = n. Comparer |{c, ∆(c) = 0}| et |{c, ∆(c) = n}|.
iii. Un chemin c peut être décrit par un mot a1 a2 ...a2n de {↑, →}∗ , avec aj =↑ si le j-ème
pas est vers le haut et aj =→ si le j-ème pas est vers la droite. Si ce chemin traverse
non trivialement la diagonale, il peut se factoriser sous la forme A ↑ B → C où ↑ est le
premier pas vers le haut au-dessus de la diagonale et → le premier pas suivant rejoignant
la diagonale. On lui associe le chemin c̃ décrit par le mot B → A ↑ C.
Soit i dans {1, ..., n − 1}. Démontrer que (c 7→ c̃) définit une bijection de l’ensemble des
chemins pour lesquels la valeur prise par ∆ vaut i sur l’ensemble des chemins pour lesquels
la valeur prise par ∆ vaut i − 1.
iv. Soit cn le nombre de chemins qui partent de (0, 0) et arrivent au point (n, n) en restant
toujours sous (au sens large) la diagonale. Exprimer cn à l’aide d’un coefficient binomial.
2. Soit n un entier naturel non nul. On rappelle qu’une partition de l’ensemble J1, nK est une décomposition de cet ensemble en une réunion finie des parties non vides disjointes deux à deux. On note
Partn l’ensemble des partitions de J1, nK.
Si {I1 , ..., Ik } et {J1 , ..., Jl } sont deux partitions de J1, nK, on dit que {I1 , ..., Ik } est plus fine que
{J1 , ..., Jl } s’il existe une application surjective ϕ : J1, kK → J1, lK telle que :
∀t ∈ J1, lK, Jt = ts∈ϕ−1 (t) Is .
On note dans ce cas {I1 , ..., Ik } {J1 , ..., Jl }.
(a)
(b)
(c)
(d)
Justifier que Partn est fini. Proposer une majoration de son cardinal.
Justifier que est une relation d’ordre.
Représenter (soigneusement, merci) le diagramme de Hasse de Part4 , .
Est-ce Partn muni de la relation est un treillis ? Justifier votre réponse.
Une partition {I1 , ..., Ik } de l’ensemble J1, nK est dite non entrelacée si
∀s, t ∈ J1, kK, ∀u, v ∈ Is , ∀w, z ∈ It , si u < w < v < z alors s = t.
On note NEPartn l’ensemble des partitions non entrelacées de J1, nK.
On note NEPartn l’ensemble des partitions non entrelacées de J1, nK.
(a) Représenter (toujours aussi soigneusement, merci) le diagramme de Hasse de NEPart4 , .
(b) Justifier que NEPartn muni de la relation est un treillis.
(c) Justifier que le cardinal de NEPartn est égal à cn
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan