Devoir maison 1

L3 - 2016/2017 - DM1 Mathématiques discrètes
Devoir maison 1du cours de mathématiques discrètes 2016.
Merci de soigner la rédaction.
Exercice 1.
Soit (E, ≤)un ensemble ordonné fini.
On rappelle qu’une antichaîne de Eest une partie de Eformée d’élements deux à deux incomparables.
Soit Fune partie non vide de E. On note Max(F)l’ensemble de ses éléments maximaux.
1. Si Fune partie non vide de E, justifier que Max(F)est une partie non vide de Eet une antichaine.
Soit kle maximum des cardinaux des antichaînes dans E. On se propose de démontrer par récurrence
sur |E|que Eest la réunion disjointe de kchaînes.
2. Démontrer le résultat lorsque k= 1.
3. On suppose que k > 1. Soient z∈Max(E)et F=E\ {z}. Soit lle maximum des cardinaux des
antichaînes dans F; on suppose que Fest la réunion disjointe de chaînes C1, ..., Cl.
(a) Donner un encadrement de ken fonction de l.
(b) Soit Cune antichaîne de E. Que peut-on dire de C ∩ Ci, pour idans J1, lK?
(c) Soit idans J1, lK. On note Dil’ensemble des éléments de Ciqui sont dans une antichaîne de
cardinal ldans F.
i. Justifier que Diest non vide. On note dans la suite yiun élément maximal de Di.
ii. Démontrer que {y1, ..., yl}est une antichaîne de F.
iii. On suppose que pour tout i,zn’est pas comparable à yi. Conclure.
iv. On suppose qu’il existe itel que zest comparable avec yi. Soit C0={z}∪{x∈Ci|x≤yi}.
Démontrer que C0est une chaîne et que F\C0ne contient pas d’antichaîne de cardinal l.
Conclure dans ce cas.
4. Soit Nun entier naturel non nul.
(a) Soit F={ni, i ∈J1, NK}une suite d’entiers naturels. On munit Fde la relation :
ninjsi i≤j
ni≤nj
Démontrer que est une relation d’ordre partiel. Décrire pour les chaînes et les antichaînes.
(b) Soient met ndeux entiers naturels tels que N−1 = nm. Démontrer que Fcontient une suite
croissante de cardinal n+ 1 ou une suite décroissante de cardinal m+ 1.
(c) Retrouver ce résultat en utilisant le principe des tiroirs.
5. Soit Nun entier naturel non nul. Soit Iune famille de Nintervalles fermés réels. Soient met n
deux entiers naturels tels que N−1 = nm. Démontrer qu’il existe m+ 1 intervalles dans Idisjoints
deux à deux ou n+ 1 intervalles dans Id’intersection non vide.
C. Picaronny 1 E.N.S. de Cachan

L3 - 2016/2017 - DM1 Mathématiques discrètes
Exercice 2.
1. On se déplace sur N2en partant d’un point (0,0) et en effectuant une suite finie de déplacements
élémentaires. Les déplacements élémentaires sont de deux types : soit un pas à droite (on passe du
point (x, y)au point (x+1, y)), soit un pas vers le haut (on passe du point (x, y)au point (x, y +1)).
(a) Soit (p, q)∈N2. Soit Np,q le nombre de chemins qui partent de (0,0) et arrivent au point
(p, q). Etablir que Np,q =Np−1,q +Np,q−1, si p≥1et q≥1. En déduire une expression de
Np,q avec un coefficient binomial.
(b) Retrouver ainsi une démonstration combinatoire du triangle de Pascal.
(c) Pour un chemin cmenant de (0,0) = (x0, y0)à(n, n) = (x2n, y2n), en passant successivement
par les points (x1, y1), ..., (x2n−1, y2n−1), on note ∆(c)le nombre de pas vers le haut au dessus
de la diagonale, c’est à dire le nombres d’indices i > 0tels que (xi−1≤yi−1)et yi=yi−1+ 1.
i. Démontrer que les valeurs prises par ∆sont exactement 0,1, ..., n.
ii. Quels sont les chemins ctels que ∆(c)=0? De même ecrire les chemins ctels que
∆(c) = n. Comparer |{c, ∆(c)=0}| et |{c, ∆(c) = n}|.
iii. Un chemin cpeut être décrit par un mot a1a2...a2nde {↑,→}∗, avec aj=↑si le j-ème
pas est vers le haut et aj=→si le j-ème pas est vers la droite. Si ce chemin traverse
non trivialement la diagonale, il peut se factoriser sous la forme A↑B→Coù ↑est le
premier pas vers le haut au-dessus de la diagonale et →le premier pas suivant rejoignant
la diagonale. On lui associe le chemin ˜cdécrit par le mot B→A↑C.
Soit idans {1, ..., n −1}. Démontrer que (c7→ ˜c)définit une bijection de l’ensemble des
chemins pour lesquels la valeur prise par ∆vaut isur l’ensemble des chemins pour lesquels
la valeur prise par ∆vaut i−1.
iv. Soit cnle nombre de chemins qui partent de (0,0) et arrivent au point (n, n)en restant
toujours sous (au sens large) la diagonale. Exprimer cnà l’aide d’un coefficient binomial.
2. Soit nun entier naturel non nul. On rappelle qu’une partition de l’ensemble J1, nKest une décom-
position de cet ensemble en une réunion finie des parties non vides disjointes deux à deux. On note
Partnl’ensemble des partitions de J1, nK.
Si {I1, ..., Ik}et {J1, ..., Jl}sont deux partitions de J1, nK, on dit que {I1, ..., Ik}est plus fine que
{J1, ..., Jl}s’il existe une application surjective ϕ:J1, kK→J1, lKtelle que :
∀t∈J1, lK, Jt=ts∈ϕ−1(t)Is.
On note dans ce cas {I1, ..., Ik}{J1, ..., Jl}.
(a) Justifier que Partnest fini. Proposer une majoration de son cardinal.
(b) Justifier que est une relation d’ordre.
(c) Représenter (soigneusement, merci) le diagramme de Hasse de Part4,.
(d) Est-ce Partnmuni de la relation est un treillis ? Justifier votre réponse.
Une partition {I1, ..., Ik}de l’ensemble J1, nKest dite non entrelacée si
∀s, t ∈J1, kK,∀u, v ∈Is,∀w, z ∈It,si u < w < v < z alors s=t.
On note NEPartnl’ensemble des partitions non entrelacées de J1, nK.
On note NEPartnl’ensemble des partitions non entrelacées de J1, nK.
(a) Représenter (toujours aussi soigneusement, merci) le diagramme de Hasse de NEPart4,.
(b) Justifier que NEPartnmuni de la relation est un treillis.
(c) Justifier que le cardinal de NEPartnest égal à cn
C. Picaronny 2 E.N.S. de Cachan