Cours de Troisi`eme / Trigonométrie

Cours de Troisi`eme / Trigonom´etrie
E. Dostal
Avril 2015

Table des mati`eres
11 Trigonom´etrie 2
11.1 Rappel : cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
11.2 Sinus et tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
11.3 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
11.4 Relations trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1

Chapitre 11
Trigonom´etrie
11.1 Rappel : cosinus d’un angle aigu
Probl`eme : on a un triangle C J B, rectangle en J. Que doit on connaˆıtre pour calculer la longueur de
l’hypot´enuse CB ?
— Si on connait la longueur de 2 cˆot´es, quel th´eor`eme peut-on utiliser ?
— Mais, si on ne connait qu’une longueur, que doit on connaˆıtre d’autres ?
— Et quelle propri´et´e pourra-t-on utiliser dans ce cas ?
D´efinition 1 dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle le quotient de la longueur
du cˆot´e adjacent `a cet angle, par la longueur de l’hypot´enuse.
Cosinus d’un angle aigu =longueur du cˆot´e adjacent `a l’angle
longueur de l’hypot´enuse
Exemple : Comment calculer le cosinus de l’angle
[
CBJ du triangle BJ C rectangle en J?
Hypot´enuse
Cˆot´e adjacent `a l’angle
cˆot´e oppos´e `a l’angle
J
B
C
CBJ
Il nous faut la longueur de l’hypot´enuse : BC , et la longueur du cˆot´e adjacent `a l’angle
[
CBJ :C J .
Notation :
cos
[
CBJ =BJ
BC
2

11.2 Sinus et tangente d’un angle aigu
D´efinition 2
Sinus d’un angle aigu =longueur du cˆot´e oppos´e `a l’angle
longueur de l’hypot´enuse
Tangente d’un angle aigu =longueur du cˆot´e oppos´e `a l’angle
longueur du cˆot´e adjacent `a l’angle
Exemple : soit le triangle F ER, rectangle en E:
Notations : dans le triangle F ER, rectangle en E, on a :
cos
\
RF E =EF
RF et cos
\
ERF =ER
RF
sin
\
RF E =ER
RF et sin
\
ERF =EF
RF
tan
\
RF E =ER
EF et tan
\
ERF =EF
ER
le cosinus, le sinus ou la tangente permettent de trouver la longueur de cˆot´es ou la mesure des angles
d’un triangle rectangle.
Exemple 1 Le triangle ABC est rectangle en A tel que AC = 7 cm et
[
ABC = 55◦. Calculer la longueur BC. Donner une valeur
approch´ee au millim`etre pr`es.
A
B
C
7
55◦
Exemple 2
A B
C
Sachant que AB = 4 et BC = 3, calculer la
mesure de l’angle b A:
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. .....................................................................................................
3

11.3 Utilisation de la calculatrice
Ecrire ci dessous la m´ethode pour d´eterminer la valeur approch´ee d’un des coefficients (Cosinus, Sinus
ou Tangente) d’un angle donn´e en degr´e.
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Ecrire ci dessous la m´ethode pour d´eterminer une valeur approch´ee en degr´e d’un angle dont on
connait un des coefficients (Cosinus, Sinus ou Tangente).
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11.4 Relations trigonom´etriques
A B
C
α
Th´eor`eme 3 Quel que soit l’angle strictement aigu α,
tan(α) = sin(α)
cos(α)
sin(α)
cos(α)=
BC
AC
AB
AC
=BC
AC ×
AC
AB =BC AB = tan(α)
Th´eor`eme 4 Quel que soit l’angle α,
(sin α)2+ (cos α)2= 1
(sin α)2+ (cos α)2=BC
AC 2+AB AC 2=BC2
AC2+AB2 AC2=BC2+AB2 AC2
Le triangle ABC ´etant rectangle en B, d’apr`es la propri´et´e de Pythagore, BC2+AB2=AC2.
Donc (sin α)2+ (cos α)2=BC2+AB2
AC2=AC2 AC2= 1
4