V- Loi de probabilité – Espérance mathématique – Écart-type

T Ba date :
Ph. Georges Maths 1/5
I- Loi de probabilité – Fonction de répartition
La fonction xi
Error!
p(X = xi) est la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
A chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire X, on fait correspondre la probabilité.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète X est aussi définie par le tableau :
xi
x1
x2
…
xn
on a :
p(X = xi)
p(x1)
p(x2)
…
p(n)
p(x1) + p(x2) + … + p(xn) = 1
La fonction xi
Error!
p(X xi) est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire X.
La fonction de répartition associe la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne des valeurs
inférieures ou égales à xi.
xi
x1
x2
…
xn
p(X  xi)
p(x1)
p( x1) + p(x2)
…
p( x1) + p(x2) + … + p(n)
On remarquera l'analogie avec les fréquences cumulées croissantes.
II- Espérance mathématique
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre E(X) tel que :
E (X) =
Error!
avec pi = p(X = xi)
E(X) est aussi notée m ou
X
.
E(x) apparaît comme la moyenne arithmétique des valeurs de la variable aléatoire pondérées par
leur probabilité..
III- Variance – Écart-type
La variance de la variable aléatoire X est définie comme l'espérance mathématique du carré des
écarts à la moyenne : V(X) = E(X – m)2
La variance de X est définie par : V (X) =
Error!
L'écart-type de X est la racine carrée de la variance (X) = V(X).
On a toujours
Error!
= 1 (la probabilité de l'événement certain) et m =
Error!
ce qui donne :
V(X) =
Error!
– m2

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Ph. Georges Maths 2/5
m – 3 m – 2 m –  m m –  m – 2 m – 3
68 %
95 %
99 %
IV- Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
Dans de nombreuses situations professionnelles, la représentation graphique de la variable aléatoire
continue étudiée donne « une courbe en cloche ».
La fonction f représentée est définie par :
f(x) =
2
2
2
m)x(
e
2
1
Les nombres m et  sont respectivement l'espérance
mathématique et l'écart-type de la variable aléatoire X.
La loi normale ou encore loi de Laplace-Gausss, représentée par cette courbe, est notée N(m ; ).
 Loi normale réduite
On appelle loi normale réduite la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1. On la note N(0 ; 1).
 Si la variable X suit la loi N(0 ; 1), on détermine la probabilité p(X x1) :
- pour xI 0 à l'aide d'une table
- pour x1 < 0 , on prend le complément à l'unité de l'opposé de x1
 Si X suit la loi normale N(m ; ), on effectue un changement de variable pour pouvoir utiliser
le tableau de la loi normale réduite : u =
Error!
 En utilisant les tables de la loi normale, on peut déterminer la probabilité qu'une variable
aléatoire X soit dans un intervalle donné.
Pour une variable aléatoire X qui suit
une loi normale N(m ; ), on a :
p(m –  X m + ) 0,68
p(m – 2 X m + 2) 0,95
p(m – 3 X m + 3) 0,99
m
x
f(x)
u
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.2
0.4
L'équation de la courbe
représentative est :
f(u) =
2
u2
e
2
1

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Ph. Georges Maths 3/5
I- On considère la variable aléatoire X qui suit la loi normale N(28 ; 0,4).
1- Calculer p(X 28,5). 2- Calculer p(X 27,5). 3- Calculer p(27,5 X 28,5)
II- On contrôle une dimension x qui doit prendre la valeur 150 mm avec une tolérance de ± 0,1 mm.
La mesure suit une loi normale de moyenne 150,01 mm et d'écart-type 0,05 mm.
Calculer le pourcentage de pièces acceptables.
III- Le diamètre d'une bague suit une loi normale de moyenne 20,2 mm et d'écart-type 0,3 mm. On
rejette les bagues dont le diamètre n'est pas dans l'intervalle [19,7 ; 20,4].
Quel est le pourcentage des pièces rejetées ?
IV- Une entreprise produit des pièces dont la masse doit être de 120 g. Afin de contrôler le réglage de
la machine de pesage, on prélève au hasard 1000 pièces. on obtient les résultats suivants :
1- Calculer la moyenne et l'écart-type de la distribution
statistique de l'échantillon.
2- On prélève une pièce au hasard dans l'échantillon :
a) calculer la probabilité que sa masse soit comprise entre 120
et 122 g.
b) calculer la probabilité que sa masse soit inférieure à 120 g.
3- On suppose que la masse des pièces est une variable aléatoire M
qui suit une loi normale de moyenne 121,5 et d'écart-type 1,04.
masse en g
effectif
[118 ; 119]
4
[119 ; 120]
64
[120 ; 121]
228
[121 ; 122]
402
[122 ; 123]
215
[123 ; 124]
87
a) Calculer la probabilité que la pièce ait une masse supérieure à 122 g.
b) Calculer la probabilité que la masse de la pièce soit comprise entre 120 et 122 g.
V- Dans une population, la taille des hommes suit sensiblement une loi normale de moyenne 1,72 m et
d'écart-type 7 cm.
1- Quelle est la proportion d'hommes mesurant entre 1,65 m et 1,80 m ?
2- Quelle est la proportion d'hommes mesurant moins de 1,50 m ,
3- Quelle est la proportion d'hommes mesurant plus de 1,95 m ?
VI- On considère un échantillon de 100 pièces usinées. Le diamètre de ces pièces est une variable
aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne 16,5 mm et d'écart-type 0,1 mm.
1- Quelle est la probabilité pour que le diamètre d'une pièce prise au hasard dans l'échantillon soit
dans l'intervalle [16,4 ; 16,6] ?
2- Soit h un réel positif. On désigne par ph la probabilité pour que X appartienne à l'intervalle
[16,5 – h ; 16,5 + h]. Déterminer h pour que ph = 0,95.

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Ph. Georges Maths 4/5
I- 1- On effectue le changement de variable : u =
Error!
soit u =
Error!
d'où u = 1,25
p(X 28,5) = p(u 1,25) = 0,8944 soit p(X 28,5) = 0,8944
2- Le changement de variable donne : u = – 1,25
p(X 27,5) = p(u – 1,25) = 1 – p(u 1,25) = 1 – 0,8944 soit p(X 27,5) = 0,1056
3- p(27,5 X 28,5) = p(X 28,5) – p(X 27,5) = p(u 1,25) – [1 – p(u 1,25)]
p(27,5 X 28,5) = 2 p(u 1,25) – 1 soit p(27,5 X 28,5) = 2 0,8944 – 1
p(27,5 X 28,5) = 0,789
II- La dimension x est telle que : x = 150 ± 0,1 mm. La loi normale est N(150,01 ; 0,05).
Les pièces acceptables sont celles pour lesquelles on a : 149,1 x 150,1.
Il nous faut calculer la probabilité p(149,1 x 150,1).
Effectuons les changements de variable : u =
Error!
= – 2,2 u' =
Error!
= 1,8 on a : p(149,1
x 150,1) = p(– 2,2 u 1,8)
p( – 2,2 u 1,8) = p(u 1,8) – p(u – 2,2) = p(u 1,8) – [1 – p(u 2,2)]
= p(u 1,8) + p(u 2,2) – 1
d'après la table : p(u 1,8) + p(u 2,2) – 1 = 0,9641 + 0,9861 – 1 = 0,9502
soit : p(149,1 x 150,1) = 0,9502
Le pourcentage de pièces acceptables est d'environ 95 %.
III- Le diamètre d'une bague suit la loi normale N(20,2 ; 0,3). Les bagues sont rejetées si leur diamètre
n'est pas dans l'intervalle [19,7 ; 20,4].
Changements de variable : u =
Error!
– 1,67 u' =
Error!
0,67
La probabilité des pièces rejetées est la probabilité complémentaire à 1 de la probabilité des pièces
acceptables : 1 – p(– 1,67 u 0,67) = 1 – [p(u 0,67) – [1 – p(u 1,67)]
= 1 – p(u 0,67) + 1 – p(u 1,67)
= 2 – p(u 0,67) – p(u 1,67)
= 2 – 0,7486 – 0,9525
= 0,2989
Le pourcentage de pièces rejetées est de 29,89 %.
VI- On considère un échantillon de 100 pièces usinées. Le diamètre de ces pièces est une variable
aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne 16,5 mm et d'écart-type 0,1 mm.

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Ph. Georges Maths 5/5
1- Probabilité pour que le diamètre d'une pièce prise au hasard soit dans l'intervalle [16,4 ; 16,6]
Changements de variable : u =
Error!
= – 1 u' =
Error!
= 1
p(16,4 X 16,6) = p(X 16,6) – p(X 16,4) = p(u 1) – [1 – p(u 1)]
p(u 1) + p(u 1) – 1 = 2 0,8413 – 1 d'où p(16,4 X 16,6) = 0,6826.
Le pourcentage est d'environ 68 % ce qui correspond à l'intervalle [m –  ; m + ]
2- Soit h un réel positif. On désigne par ph la probabilité pour que X appartienne à l'intervalle
[16,5 – h ; 16,5 + h]. Déterminer h pour que ph = 0,95.
ph est définie par : ph = p(16,5 – h X 16,5 + h) = p(X 16,5 + h) – p(X 16,5 – h)
Changement de variable :
u =
Error!
=
Error!
= – 10 h et u' =
Error!
=
Error!
= 10 h
On effectue : p(X 16,5 + h) – p(X 16,5 – h) = p(u 10h) – p(u – 10h)
D'où : p(X 16,5 + h) – p(X 16,5 – h) = p(u 10h) – [1 – p(u 10h)] = 2 p(u 10h) – 1
On doit vérifier : ph = 0,95 d'où 2 p(u 10h) – 1 = 0,95
Ce qui donne : p(u 10h) = 0
95 + 1;2 soit p(u
10h) = 0,975
La lecture de la table fait correspondre la valeur : u = 1,96.
On en déduit la valeur de h : h = 0,196.
L'intervalle pour lequel la probabilité est de 0,95 est : [16,304 ; 16,696].