Fonctions réelles d`une variable réelle en MPSI

Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles :
limites, continuité, dérivabilité, convexité
II - Limites et relation d’ordre
Théorème : toute fonction admettant une limite strictement positive en un point (finie ou non) est
minorée, au voisinage de ce point, par un réel strictement positif.
Théorème : soit fet gdeux fonctions ayant le même ensemble de définition D, de limites respectives
ℓet ℓ
′
en a(ℓ, ℓ
′
, a)∈R
3
.
Si f≤gsur D\ {a}, alors ℓ≤ℓ
′
.
Attention ! Les inégalités strictes ne passent pas à la limite.
Théorème : soit f, g, h trois fonctions définies sur un même ensemble de définition Dtelles que :
f≤g≤hsur D,aun élément de Radhérent à Det ℓun réel.
a) Si lim
a
f= lim
a
h=ℓ, alors gadmet la limite ℓen a.
b) Si lim
a
f= +∞, alors lim
a
g= +∞.
c) Si lim
a
h=−∞, alors lim
a
g=−∞.
Théorème : limite d’une fonction monotone.
Soit aet bdeux éléments de R,a < b et I= ]a, b[.
a) Si fest croissante sur I, alors fadmet une limite dans Ren aet en b.
(i) Si fest majorée, alors lim
b
f= sup
I
f(∈R), sinon lim
b
f= +∞.
(ii) Si fest minorée, alors lim
a
f= inf
I
f(∈R), sinon lim
a
f=−∞.
b) Si fest décroissante sur I, alors fadmet une limite dans Ren aet en b.
(i) Si fest majorée, alors lim
a
f= sup
I
f(∈R), sinon lim
a
f= +∞.
(ii) Si fest minorée, alors lim
b
f= inf
I
f(∈R), sinon lim
b
f=−∞.
IIII - Opérations algébriques sur les limites
Dans le tableau suivant, fet gsont deux fonctions à valeurs dans R, définies sur la même partie Dde
R,aest un point de Radhérent à D. Si lim
a
f(resp.lim
a
g) existe, on la notera ℓ(resp.ℓ
′
).
Fonction Hypothèses sur fet gConclusion
f+g ℓ et ℓ
′
existent et sont réelles lim
a
(f+g) = ℓ+ℓ
′
f+g f minorée au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f+g) = +∞
f+g f majorée au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut −∞ lim
a
(f+g) = −∞
λ f λ ∈Rfa une limite finie ℓlim
a
(λ f) = λ ℓ
f g ℓ et ℓ
′
existent et sont réelles lim
a
(f g) = ℓ ℓ
′
f g f minorée par α > 0au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f g) = +∞
f g f majorée par β < 0au voisinage de a,ℓ
′
existe et vaut +∞lim
a
(f g) = −∞
1
ffà valeurs dans R
∗
ℓexiste, ℓ= 0 lim
a
1
f=1 ℓ(1)
1
ffà valeurs dans R
∗
+
(resp; R
∗
−
)ℓexiste, ℓ= 0 lim
a
1
f= +∞(resp; −∞)
(1) avec la convention 1
+∞=1 −∞ = 0.

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IIIIII - Continuité
1) Définitions
fdésigne une fonction de Rdans Rdéfinie sur une partie Dde R.
Définition : soit a∈D.
On dit que fest continue en asi et seulement si fadmet une limite en a.
Dans ce cas, lim
a
f=f(a)et
∀ε > 0∃η > 0∀x∈D|x−a| ≤ η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε.
Définition : on dit que fest continue à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction
de fàD∩[a, +∞[(resp. à D∩]−∞, a]) est continue en a.
∀ε > 0∃η > 0∀x∈D0≤x−a≤η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε
resp. ∀ε > 0∃η > 0∀x∈D−η≤x−a≤0⇒ |f(x)−f(a)| ≤ ε
Théorème : fest continue en a⇔fest continue à droite et à gauche en a.
Définition : continuité sur un ensemble
Soit Eune partie de D. On dit que fest continue sur Esi et seulement si la restriction
de fàEest continue en chaque point de E.
Définition : continuité uniforme
On dit que fest uniformément continue sur Dsi et seulement si
∀ε > 0∃η > 0∀(x, y)∈D
2
|y−x| ≤ η⇒ |f(x)−f(y)| ≤ ε
(la continuité uniforme implique la continuité en tout ade Davec ηindépendant de a).
2) Opérations sur les fonctions continues
Théorème : 1) Si fet gsont deux fonctions continues sur un intervalle I, alors f+g,λ f (λ∈R)et
f×gsont continues sur I.
L’ensemble C
0
(I, R)des fonctions continues de Idans Rest une R-algèbre.
Si, de plus, gne s’annule pas sur I, alors 1
get f gsont continues sur I.
2) Si fest continue sur I, à valeurs dans un intervalle Jet gcontinue sur J, alors g◦f
est continue sur I.
Théorème : 1) Si fest continue sur l’intervalle I, alors la restriction de fà tout intervalle Jinclus
dans Iest continue sur J.
2) Si fest continue sur [a, b]et sur [b, c], alors fl’est aussi sur [a, c].
Soient f:I→R,f
+
:x→ max 0, f (x)et f
−
:x→ max 0,−f(x).
On a : f=f
+
−f
−
et |f|=f
+
+f
−
.
Théorème : si fest continue sur l’intervalle I, alors f
+
, f
−
et |f|sont continues sur I.
3) Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème : l’image d’un intervalle Ipar une fonction continue sur Iest un intervalle.
Attention ! En général, f(I)n’est pas de même nature topologique que I(cf. sin (]0,+∞[) = [−1,1]).
Conséquences :
1) Si fest continue sur [a, b], alors fprend toute valeur comprise entre f(a)et f(b).
2) Si fest continue sur [a, b]et f(a)f(b)<0, alors l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution
dans [a, b].

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4) Continuité sur un segment
Théorème : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
NB : les segments sont les intervalles compacts de R. . .
Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment de Ry est uniformément continue.
5) Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle
Théorème : soit Iun intervalle de Rd’extrémités aet b,(a, b)∈R
2
et fune fonction continue
strictement monotone sur I.
a) fadmet, dans R, une limite en aet une limite en b.
b) f(I)est un intervalle de même nature topologique (ouvert, fermé, semi-ouvert) que I
d’extrémités lim
a
fet lim
b
f.
c) fest bijective de Isur f(I).
d) f
−1
est continue strictement monotone de même sens que fsur f(I).
Attention ! Ipeut être borné et f(I)non borné (cf. tan (]−π/2, π/2[) = R).
IVIV - Dérivabilité
Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I(non réduit à un point) de
Ret à valeurs dans R.
1) Définitions
Définition : soit aun point de I, on dit que fest dérivable en asi et seulement si la fonction
h→ f(a+h)−f(a)
h,
définie sur I\ {a}, admet une limite finie en 0.
Cette limite est alors appelée nombre dérivé de fen aet est notée f
′
(a).
Notations : f
′
(a)est aussi noté Df(a)ou df
dx(a).
Définition : soit aun point de Itel que I
′
a
=I∩[a, +∞[(resp.I
′′
a
=I∩]−∞, a]) ne soit pas réduit
au point a.
On dit que fest dérivable à droite (resp. à gauche) en asi et seulement si la restriction
de fàI
′
a
(resp. à I
′′
a
) est dérivable en a.
Si elle existe, une telle dérivée s’appelle dérivée à droite (resp. à gauche) de fen aet est
notée f
′
d
(a)(resp.f
′
g
(a)).
Définition : soit Jun intervalle inclus dans I.
On dit que fest dérivable sur Jsi, et seulement si, la restriction de fàJest dérivable
en tout point de J.
Dans ce cas, f
′
:J→R, x → f
′
(x)est appelée application dérivée de fsur J.
L’application f
′
est aussi notée Dfou df
dx.
Théorème : fest dérivable en asi et seulement si fadmet le développement limité à l’ordre 1 :
f(a+h) =
h→0
f(a) + h.f
′
(a) + o(h)
Corollaire : toute fonction dérivable en a(resp. sur J) est continue en a(resp. sur J).
Attention ! La réciproque est fausse (cf. x→ |x|).

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Définition : on dit que fest de classe C
1
sur Isi et seulement si fest dérivable sur Iet la fonction
dérivée f
′
est continue sur I.
Attention ! On peut avoir fdérivable et f
′
non continue (cf. x→ x
2
sin 1
x).
2) Opérations sur les fonctions dérivables
a) Linéarité de la dérivation
Soit (f, g)∈(D(I, R))
2
et λ∈R. Les fonctions f+get λ. f sont dérivables sur Iet :
(f+g)
′
=f
′
+g
′
,(λ .f)
′
=λ. f
′
.
L’ensemble D(I, R)des fonctions dérivables sur Ià valeurs dans Rest un R-espace vectoriel et la
dérivation est linéaire de D(I, R)dans F(R,R).
C
1
(I, R)est un R-espace vectoriel.
b) Dérivation d’une fonction composée
Soit Jun intervalle de R. Si ϕ∈ D (J, R),f∈ D (I, R)et si ϕ(J)⊂I, alors
f◦ϕest dérivable sur Jet (f◦ϕ)
′
=ϕ
′
.f
′
◦ϕ.
Si ϕ∈ C
1
(J, R), f ∈ C
1
(I, R)et si ϕ(J)⊂I, alors f◦ϕ∈ C
1
(J, R).
c) Dérivation d’un produit, d’un quotient
Soit (f, g)∈(D(I, R))
2
:(f·g)
′
=f
′
·g+f·g
′
et, si gne s’annule pas,
f
g
′
=f
′
g+f·1 g
′
=f
′
·g−f·g
′
g
2
d) Dérivation d’une bijection réciproque
Si fest une bijection continue et strictement monotone de Isur J=f(I), dérivable en a∈Itel que
f
′
(a)= 0, alors sa bijection réciproque f
−1
est dérivable en b=f(a), avec
f
−1
′
(b) = 1
f
′
(a)=1 f
′
◦f
−1
(b).
Si f
′
(a) = 0, le graphe de f
−1
admet en bune (demi-)tangente parallèle à Oy.
Si fest dérivable sur Iet si f
′
ne s’annule pas sur I, alors f
−1
est dérivable sur Javec
f
−1
′
=1
f
′
◦f
−1
.
3) Accroissements finis — Applications
a) Extremums locaux d’une fonction dérivable
Théorème : si fdérivable sur Iadmet en aintérieur à Iun extremum local, alors f
′
(a) = 0.
Attention ! Peut être faux en une extrémité de I!
b) Théorème de Rolle
Si fest continue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[et si f(a) = f(b), alors
∃c∈]a, b[f
′
(c) = 0.
c) Théorème des accroissements finis
Si fest continue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[, alors
∃c∈]a, b[f(b)−f(a) = (b−a)·f
′
(c).
Autrement dit, la tangente au graphe de fau point d’abscisse cest parallèle à la corde joignant les
points d’abscisses aet b.

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d) Inégalités des accroissements finis
1) Si a < b,fcontinue de [a, b]dans R, dérivable sur ]a, b[et si m, M sont deux réels tels que
m≤f
′
≤M, alors
m·(b−a)≤f(b)−f(a)≤M·(b−a)
2) Si f, g sont continues de [a, b]dans R, dérivables sur ]a, b[et si |f
′
| ≤ g
′
, alors
|f(b)−f(a)| ≤ |g(b)−g(a)|
Corollaire : soit fune application continue de Idans R, dérivable en tout point intérieur à I.
1) fest k-lipschitzienne sur Isi et seulement si |f
′
| ≤ k.
2) fest constante sur Isi et seulement si f
′
est nulle en tout point intérieur à I.
3) fest croissante sur Isi et seulement si f
′
≥0en tout point intérieur à I.
4) fest décroissante sur Isi et seulement si f
′
≤0en tout point intérieur à I.
5) fest strictement monotone sur Isi et seulement si f
′
ne change pas de signe et n’est
identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial.
e) Théorème de prolongement C
1
Si fest continue sur I, de classe C
1
sur I\ {a}, et si f
′
admet une limite finie ℓen a, alors fest de
classe C
1
sur Iavec f
′
(a) = ℓ.
4) Fonctions de classe C
k
a) Dérivées successives
Définition : on définit par récurrence les dérivées successives de f:f
(0)
=fet, pour k∈N
∗
, on dit
que fest kfois dérivable si f
(k−1)
est dérivable sur Iet on note f
(k)
=f
(k−1)
′
.
On désigne par D
k
(I, R)l’ensemble des fonctions kfois dérivables sur I.
Notations : f
(k)
=D
k
(f) = d
k
f
dx
k
.
Définition : a) Soit k∈N; on dit que fest de classe C
k
sur Isi et seulement si fest kfois dérivable
sur Iet f
(k)
continue sur I.
b) fest dite de classe C
∞
si et seulement si elle est indéfiniment dérivable sur I.
Notations : C
0
(I, R): ensemble des fonctions continues sur Ià valeurs dans R.
C
k
(I, R): ensemble des fonctions de classe C
k
sur Ià valeurs dans R.
C
∞
(I, R): ensemble des fonctions de classe C
∞
sur Ià valeurs dans R.
b) Formule de Leibniz — Opérations sur les fonctions de classe C
k
Théorème : soit k∈N,fet gdeux fonctions de Idans Ret λ∈R.
si fet gsont kfois dérivables sur I, alors λ. f +gest kfois dérivable sur Iet :
(λ .f +g)
(k)
=λ .f
(k)
+g
(k)
.
C
k
(I, R)et C
∞
(I, R)sont des sous-espaces vectoriels de C
0
(I, R).
Théorème : formule de Leibniz
Soit k∈N
∗
,f:I→Ret g:I→R.
Si fet gsont kfois dérivables sur I, alors f·gest kfois dérivable sur Iet
(f·g)
(k)
=
k
j=0
k
j
f
(k−j)
. g
(j)
.
Théorème : pour tout k∈N∪ {+∞},C
k
(I, R)est une R-algèbre commutative.
Théorème : composée de fonctions de classe C
k
Soit k∈N∪ {+∞} et Jun intervalle de R.
Si ϕ∈ C
k
(J, R), f ∈ C
k
(I, R)et ϕ(J)⊂I, alors f◦ϕ∈ C
k
(J, R).