Fonctions réelles d`une variable réelle en MPSI

Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles :
limites, continuité, dérivabilité, convexité
I - Limites et relation d’ordre
Théorème : toute fonction admettant une limite strictement positive en un point (finie ou non) est
minorée, au voisinage de ce point, par un réel strictement positif.
Théorème : soit f et g deux fonctions ayant le même ensemble de définition D, de limites respectives
3
ℓ et ℓ′ en a (ℓ, ℓ′ , a) ∈ R .
Si f ≤ g sur D \ {a}, alors ℓ ≤ ℓ′ .
Attention ! Les inégalités strictes ne passent pas à la limite.
Théorème : soit f, g, h trois fonctions définies sur un même ensemble de définition D telles que :
f ≤ g ≤ h sur D, a un élément de R adhérent à D et ℓ un réel.
a) Si limf = limh = ℓ, alors g admet la limite ℓ en a.
a
a
b) Si limf = +∞, alors limg = +∞.
a
a
c) Si limh = −∞, alors limg = −∞.
a
a
Théorème : limite d’une fonction monotone.
Soit a et b deux éléments de R, a < b et I = ]a, b[.
a) Si f est croissante sur I, alors f admet une limite dans R en a et en b.
(i) Si f est majorée, alors limf = supf (∈ R), sinon limf = +∞.
b
b
I
(ii) Si f est minorée, alors limf = inf f (∈ R), sinon limf = −∞.
a
a
I
b) Si f est décroissante sur I, alors f admet une limite dans R en a et en b.
(i) Si f est majorée, alors limf = supf (∈ R), sinon limf = +∞.
a
a
I
(ii) Si f est minorée, alors limf = inf f (∈ R), sinon limf = −∞.
b
I
b
II - Opérations algébriques sur les limites
Dans le tableau suivant, f et g sont deux fonctions à valeurs dans R, définies sur la même partie D de
R, a est un point de R adhérent à D. Si limf (resp. limg) existe, on la notera ℓ (resp. ℓ′ ).
a
Fonction
f +g
a
Hypothèses sur f et g
ℓ et ℓ′ existent et sont réelles
Conclusion
lim (f + g) = ℓ + ℓ′
f +g
f minorée au voisinage de a, ℓ′ existe et vaut +∞
lim (f + g) = +∞
f +g
f majorée au voisinage de a, ℓ′ existe et vaut −∞
lim (f + g) = −∞
λf
λ ∈ R f a une limite finie ℓ
lim (λ f) = λ ℓ
fg
ℓ et ℓ′ existent et sont réelles
lim (f g) = ℓ ℓ′
fg
f minorée par α > 0 au voisinage de a, ℓ′ existe et vaut +∞
lim (f g) = +∞
fg
1
f
1
f
f majorée par β < 0 au voisinage de a, ℓ′ existe et vaut +∞
lim (f g) = −∞
a
1
1
lim =
(1)
a f
ℓ
1
lim = +∞ (resp; −∞)
a f
f à valeurs dans R∗
ℓ existe, ℓ = 0
f à valeurs dans R∗+ (resp; R∗− ) ℓ existe, ℓ = 0
(1) avec la convention
1
1
=
= 0.
+∞
−∞
a
a
a
a
a
a
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III - Continuité
1) Définitions
f désigne une fonction de R dans R définie sur une partie D de R.
Définition : soit a ∈ D.
On dit que f est continue en a si et seulement si f admet une limite en a.
Dans ce cas, limf = f (a) et
a
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ D
|x − a| ≤ η ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε.
Définition : on dit que f est continue à droite (resp. à gauche) en a si et seulement si la restriction
de f à D ∩ [a, +∞[ (resp. à D ∩ ]−∞, a]) est continue en a.
resp.
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ D
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ D
0 ≤ x − a ≤ η ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε
− η ≤ x − a ≤ 0 ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε
Théorème : f est continue en a ⇔ f est continue à droite et à gauche en a.
Définition : continuité sur un ensemble
Soit E une partie de D. On dit que f est continue sur E si et seulement si la restriction
de f à E est continue en chaque point de E.
Définition : continuité uniforme
On dit que f est uniformément continue sur D si et seulement si
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀ (x, y) ∈ D2
|y − x| ≤ η ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε
(la continuité uniforme implique la continuité en tout a de D avec η indépendant de a).
2) Opérations sur les fonctions continues
Théorème : 1) Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I, alors f + g, λ f (λ ∈ R) et
f × g sont continues sur I.
L’ensemble C 0 (I, R) des fonctions continues de I dans R est une R-algèbre.
1
f
Si, de plus, g ne s’annule pas sur I, alors et sont continues sur I.
g
g
2) Si f est continue sur I, à valeurs dans un intervalle J et g continue sur J, alors g ◦ f
est continue sur I.
Théorème : 1) Si f est continue sur l’intervalle I, alors la restriction de f à tout intervalle J inclus
dans I est continue sur J.
2) Si f est continue sur [a, b] et sur [b, c], alors f l’est aussi sur [a, c].
Soient f : I → R, f + : x → max 0, f (x) et f − : x → max 0, −f (x) .
On a : f = f + − f − et |f| = f + + f − .
Théorème : si f est continue sur l’intervalle I, alors f + , f − et |f | sont continues sur I.
3) Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème : l’image d’un intervalle I par une fonction continue sur I est un intervalle.
Attention ! En général, f (I) n’est pas de même nature topologique que I (cf. sin (]0, +∞[) = [−1, 1]).
Conséquences :
1) Si f est continue sur [a, b], alors f prend toute valeur comprise entre f (a) et f (b).
2) Si f est continue sur [a, b] et f (a) f (b) < 0, alors l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution
dans [a, b].
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4) Continuité sur un segment
Théorème : l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Une fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
NB : les segments sont les intervalles compacts de R. . .
Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment de R y est uniformément continue.
5) Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle
2
Théorème : soit I un intervalle de R d’extrémités a et b, (a, b) ∈ R et f une fonction continue
strictement monotone sur I.
a) f admet, dans R, une limite en a et une limite en b.
b) f (I) est un intervalle de même nature topologique (ouvert, fermé, semi-ouvert) que I
d’extrémités lim f et lim f .
a
b
c) f est bijective de I sur f (I).
d) f −1 est continue strictement monotone de même sens que f sur f (I).
Attention ! I peut être borné et f (I) non borné (cf. tan (]−π/2, π/2[) = R).
IV - Dérivabilité
Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I (non réduit à un point) de
R et à valeurs dans R.
1) Définitions
Définition : soit a un point de I, on dit que f est dérivable en a si et seulement si la fonction
f (a + h) − f (a)
h →
,
h
définie sur I\ {a}, admet une limite finie en 0.
Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a et est notée f ′ (a).
df
(a).
dx
Définition : soit a un point de I tel que Ia′ = I ∩ [a, +∞[ (resp. Ia′′ = I ∩ ]−∞, a]) ne soit pas réduit
au point a.
On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a si et seulement si la restriction
de f à Ia′ (resp. à Ia′′ ) est dérivable en a.
Si elle existe, une telle dérivée s’appelle dérivée à droite (resp. à gauche) de f en a et est
notée fd′ (a) (resp. fg′ (a)).
Notations : f ′ (a) est aussi noté Df (a) ou
Définition : soit J un intervalle inclus dans I.
On dit que f est dérivable sur J si, et seulement si, la restriction de f à J est dérivable
en tout point de J.
Dans ce cas, f ′ : J → R, x → f ′ (x) est appelée application dérivée de f sur J.
df
.
dx
Théorème : f est dérivable en a si et seulement si f admet le développement limité à l’ordre 1 :
L’application f ′ est aussi notée Df ou
f (a + h) = f (a) + h.f ′ (a) + o (h)
h→0
Corollaire : toute fonction dérivable en a (resp. sur J) est continue en a (resp. sur J).
Attention ! La réciproque est fausse (cf. x → |x|).
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Définition : on dit que f est de classe C 1 sur I si et seulement si f est dérivable sur I et la fonction
dérivée f ′ est continue sur I.
1
Attention ! On peut avoir f dérivable et f ′ non continue (cf. x → x2 sin ).
x
2) Opérations sur les fonctions dérivables
a) Linéarité de la dérivation
Soit (f, g) ∈ (D (I, R))2 et λ ∈ R. Les fonctions f + g et λ. f sont dérivables sur I et :
(f + g)′ = f ′ + g′ ,
(λ .f )′ = λ. f ′ .
L’ensemble D (I, R) des fonctions dérivables sur I à valeurs dans R est un R-espace vectoriel et la
dérivation est linéaire de D (I, R) dans F (R, R).
C 1 (I, R) est un R-espace vectoriel.
b) Dérivation d’une fonction composée
Soit J un intervalle de R. Si ϕ ∈ D (J, R), f ∈ D (I, R) et si ϕ (J) ⊂ I, alors
f ◦ ϕ est dérivable sur J et (f ◦ ϕ)′ = ϕ′ . f ′ ◦ ϕ .
Si ϕ ∈ C 1 (J, R) , f ∈ C 1 (I, R) et si ϕ (J) ⊂ I, alors f ◦ ϕ ∈ C 1 (J, R).
c) Dérivation d’un produit, d’un quotient
Soit (f, g) ∈ (D (I, R))2 : (f · g)′ = f ′ · g + f · g′ et, si g ne s’annule pas,
′
′
f
f′
1
f ′ · g − f · g′
=
+f ·
=
g
g
g
g2
d) Dérivation d’une bijection réciproque
Si f est une bijection continue et strictement monotone de I sur J = f (I), dérivable en a ∈ I tel que
f ′ (a) = 0, alors sa bijection réciproque f −1 est dérivable en b = f (a), avec
−1 ′
1
1
f
(b) = ′
= ′
.
f (a)
f ◦ f −1 (b)
Si f ′ (a) = 0, le graphe de f −1 admet en b une (demi-)tangente parallèle à Oy.
Si f est dérivable sur I et si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f −1 est dérivable sur J avec
−1 ′
1
f
= ′
.
f ◦ f −1
3) Accroissements finis — Applications
a) Extremums locaux d’une fonction dérivable
Théorème : si f dérivable sur I admet en a intérieur à I un extremum local, alors f ′ (a) = 0.
Attention ! Peut être faux en une extrémité de I !
b) Théorème de Rolle
Si f est continue de [a, b] dans R, dérivable sur ]a, b[ et si f (a) = f (b), alors
∃c ∈ ]a, b[
f ′ (c) = 0.
c) Théorème des accroissements finis
Si f est continue de [a, b] dans R, dérivable sur ]a, b[, alors
∃c ∈ ]a, b[
f (b) − f (a) = (b − a) · f ′ (c) .
Autrement dit, la tangente au graphe de f au point d’abscisse c est parallèle à la corde joignant les
points d’abscisses a et b.
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d) Inégalités des accroissements finis
1) Si a < b, f continue de [a, b] dans R, dérivable sur ]a, b[ et si m, M sont deux réels tels que
m ≤ f ′ ≤ M, alors
m · (b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M · (b − a)
2) Si f, g sont continues de [a, b] dans R, dérivables sur ]a, b[ et si |f ′ | ≤ g′ , alors
|f (b) − f (a)| ≤ |g (b) − g (a)|
Corollaire : soit f une application continue de I dans R, dérivable en tout point intérieur à I.
1) f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si |f ′ | ≤ k.
2) f est constante sur I si et seulement si f ′ est nulle en tout point intérieur à I.
3) f est croissante sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 en tout point intérieur à I.
4) f est décroissante sur I si et seulement si f ′ ≤ 0 en tout point intérieur à I.
5) f est strictement monotone sur I si et seulement si f ′ ne change pas de signe et n’est
identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial.
e) Théorème de prolongement C 1
Si f est continue sur I, de classe C 1 sur I\ {a}, et si f ′ admet une limite finie ℓ en a, alors f est de
classe C 1 sur I avec f ′ (a) = ℓ.
4) Fonctions de classe C k
a) Dérivées successives
k ∈ N∗ , on dit
Définition : on définit par récurrence les dérivées successives de f : f (0) = f et, pour
′
que f est k fois dérivable si f (k−1) est dérivable sur I et on note f (k) = f (k−1) .
On désigne par Dk (I, R) l’ensemble des fonctions k fois dérivables sur I.
Notations : f (k) = Dk (f ) =
dk f
.
dxk
Définition : a) Soit k ∈ N ; on dit que f est de classe C k sur I si et seulement si f est k fois dérivable
sur I et f (k) continue sur I.
b) f est dite de classe C ∞ si et seulement si elle est indéfiniment dérivable sur I.
Notations : C 0 (I, R) : ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans R.
C k (I, R) : ensemble des fonctions de classe C k sur I à valeurs dans R.
C ∞ (I, R) : ensemble des fonctions de classe C ∞ sur I à valeurs dans R.
b) Formule de Leibniz — Opérations sur les fonctions de classe C k
Théorème : soit k ∈ N,f et g deux fonctions de I dans R et λ ∈ R.
si f et g sont k fois dérivables sur I, alors λ. f + g est k fois dérivable sur I et :
(λ .f + g)(k) = λ .f (k) + g(k) .
C k (I, R) et C ∞ (I, R) sont des sous-espaces vectoriels de C 0 (I, R).
Théorème : formule de Leibniz
Soit k ∈ N∗ , f : I → R et g : I → R.
Si f et g sont k fois dérivables sur I, alors f · g est k fois dérivable sur I et
( f · g)
(k)
=
k
k
j
f (k−j) . g (j) .
j=0
Théorème : pour tout k ∈ N ∪ {+∞}, C k (I, R) est une R-algèbre commutative.
Théorème : composée de fonctions de classe C k
Soit k ∈ N ∪ {+∞} et J un intervalle de R.
Si ϕ ∈ C k (J, R) , f ∈ C k (I, R) et ϕ (J) ⊂ I, alors f ◦ ϕ ∈ C k (J, R).
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c) Difféomorphismes
Définition : soient I, J deux intervalles de R et k ∈ N∗ .
a) On appelle homéomorphisme de I sur J toute application f : I → J telle f soit bijective
de I sur J, f continue sur I et f −1 continue sur J.
b) On appelle C k -difféomorphisme de I sur J toute application f : I → J telle f soit
bijective de I sur J, f de classe C k sur I et f −1 de classe C k sur J.
Théorème : soit I un intervalle de R, k ∈ N∗ et f ∈ C k (I, R).
f est un C k -difféomorphisme de I sur f (I) si et seulement si f ′ ne s’annule pas sur I.
V - Convexité
Les fonctions étudiées dans ce paragraphe sont définies sur un intervalle I (non réduit à un point) de
R et à valeurs dans R.
1) Définitions
• f est convexe sur I si et seulement si
∀ (x, y) ∈ I 2
f (1 − t) .x + t.y ≤ (1 − t) .f (x) + t.f (y) .
∀t ∈ [0, 1]
• f est concave sur I si et seulement si −f est convexe.
• Le
f est Γ = (x, y) ∈ R2 / y = f (x) . On appelle arc de Γ toute partie de Γ de la forme
graphe de
2
(x, y) ∈ R2 / x ∈ [a,
b] et y = f(x) où (a, b) ∈ I ; la corde associée à un tel arc est le segment
joignant les points a, f (a) et b, f (b) .
• L’épigraphe de f est E = (x, y) ∈ R2 / y ≥ f (x) .
Propriété : si f est convexe sur I, si a1 , . . . , an sont des points de I et λ1 , . . . , λn dans R+ tels que
n
λk = 1, alors :
k=1
n
n
f
λk .ak ≤
λk .f (ak ) .
k=1
k=1
2) Premières caractérisations
Soit f : I → R. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) f est convexe sur I.
2) Tout arc du graphe Γ de f est situé sous sa corde.
3) L’épigraphe de f est une partie convexe de R2 .
4) Pour tout a de I, la fonction φa : x →
f (x) − f (a)
est croissante sur I\ {a}.
x−a
3) Caractérisation des fonctions convexes de classe C 1
Soit f : I → R, de classe C 1 sur I. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) f est convexe sur I.
2) f ′ est croissante sur I.
3) Le graphe Γ de f est au-dessus de chacune de ses tangentes, c’est-à-dire
∀a ∈ I
∀x ∈ I
f (x) ≥ f (a) + (x − a) f ′ (a) .