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A*S:2006-2007
Série
(2):
1- On donne u  2
module et
un argument de u.
4ème Maths
2- Soit z =
Exercice 1:
Le plan est muni d'un repère orthonormé (o, u,v) ; On considère les
3- Soit u=
B(- 2 +i 2 ) et C(- 2 -i 2 ) et I=A*B
1- Ecrire zB et zC sous forme trigonométrique
2- Placer les points A, B, C et I dans le plan
r,  un nombre complexe non nuls.
suivants : Z1=│u│+u; Z2 =│u│- u et Z3 = u +j²
Exercice 4:
3
3
) et sin(
)
8
8
u
.
1- Soit z un nombre complexe tel que z =1 Vérifier que 1 = z
 
Le plan dans C est muni d’un repère orthonormé (o,u, v.) Considérons
les points A(z1  3  i ), B(z2=[ 3 +1]+i[1- 3 ]) et C(z3=1-i 3 )
1. Ecrire z1et z2 sous forme trigonométrique, Placer alors dans le
plan les points A et C puis B (on remarquera que : CB  OA )
2. Déduire que le quadrilatère OABC est un losange
π
[ 2π ] . Quelle est alors la nature
2
4. a) Vérifier que ( u, OB)  
z
2- On pose z= 1, 2 et S=z+z2+z4 et T=z3+z5+z6
7
Exercice 4:
du quadrilatère OABC?
.
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes
3- Déduire une mesure de ( u, OI) puis les valeurs exacte de
3. Montrer que (OA, OC)  
1 2  i
a) Déterminer le module et un argument de z.
b) Calculer z 20, z21, z 22, z 23 et z 24.
points suivants A(2),
cos(
1 2  i
2 i 2 2 .Calculer u2,u 4;en déduire le
a) Montrer que S et T sont conjugués
b) Calculer S+T Déduire Ré(S)
Exercice 5:
.
Soient les nombres complexes suivants
z1= 2 +i 6 , z2=1-i et Z= z1
z2
1- Ecrire z1 , z2 et Z sous forme trigonométrie
2- a) Pour n un entier naturel non nul donner la forme
trigonométrique Zn
b) Trouver le plus petit entier n non nul pour que Z n soit réel
3- Ecrire Z sous forme algébrique
4- En déduire les valeurs exactes de cos( 7 ) et sin( 7 )
π
[ 2π ]
12
b) Donner alors la forme trigonométrique de z2
Exercice 3:
12
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12
Exercice 6:
Pou tout nombre complexe z non nul on pose W= z+ 4
A tout point M d’affixe z tel que z  3i.On lui associe le point M’(z’)
avec z’= 2izi
z
le plan est muni d’un repère orthonormé direct (0,u ,v )
1- A tout nombre complexe z on associe le point M(z). Déterminer
ξ l’ensemble des points M pour que W soit réel
2- Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2eiθ ; 4cosθ
et 2e- iθ où θ 0, π2 

1-
z3i
a) Ecrire z’ sous forme algébrique pour z=x+iy
b) En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tel que
* z’ est réel
* z’ est imaginaire pur
2- Pour z  3i

a) Montrer que z'  2MA
a) Placer les points A, B et C dans le plan pour θ= π
MB
6
b) Vérifier que pour tout
θ 0, π2  les


b) En déduire l’ensemble des points M(z) tel que z' 2
points A, B et C
appartiennes à l’ensemble ξ
c) Montrer que pour tout θ 0, π2  le quadrilatère OABC est


un losange
Exercice 6:
Pour θ   π ,π ({ 
π π
, } On pose
2 2
z  eiθ et
Z 
3- Déterminer θ pour que Re(Z)=1
z  1  2z
z 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (o, u , v) pour z
-
{0} on désigne parA, A', M et M' les points d'affixes respectives:2,-2,
z 1
z et z'=
.
z
2
1
2 cos θ
1- a) Vérifier que 1 
π
4- Pour Re(Z)=1 Montrer que Arg(Z-1)  π 
2
b) Pour z=
Exercice 7:
Le plan est muni d’un repère orthonormé (o,u,v.) On désigne par A et B
les
2
π
a) Monter que (u,OM) = (BM,AM)2kπ , k  Z
2
En déduire que si M  (AB) le point M’ appartient à une droite que ’on
précisera
Exercice 8:
1
1- Montrer que: Z  z  1 
zz
2- Déduire alors que: Re(Z)= 1  cos θ 
3- On suppose que z  3i et z  - 1
e
i
i
e

i
 2 cos( ) e 2
2
. Déduire la forme exponentielle de z'
c) Déterminer et construire L'ensemble des points M'(z') Si M
décrit le cercle
(O,1)
Points d’affixe respectives - 1 et 3i
2
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d’affixes respectives z0=1 ,z1=-sin θ + i cos θ et z2= z1
z 1
=2sin(  ).
z
2
2- a) Pour   IR réel résoudre dans
l'équation (E):
b) Vérifier que sin  -icos  =-i(cos  +isin  ).
c) Déduire alors la forme exponentielle de chacune des solutions
de (E).
Exercice 9:
Soient z0=
3 1
 i et f :
2 2
z
- {i}
2[0, π [
2
4
a) Montrer que AM1M2 et isocèle pour tout θ un réel de
c) Pour quelle valeur de θ , AM1M2 est équilatéral
1- Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct
(o,u,v.)
z i
1) Ecrire z0 sous la forme exponentielle
e   2 cos(2 ) e
i
i

2
b) En déduire la forme exponentielle de 1+ z0
3) a) Montrer que f (z0)=z0(1+z0)
b) En déduire la forme exponentielle de f (z0)
c) Ecrire f (z0) sous la forme algébrique
d) Donner la valeur de cos(
b) Pour θ = π placer M1,M2 et A dans le plan
Exercice 11:
 f (z)= z  1
2) a) Vérifier que 1 
a) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle

)
12
4) (o, u , v) étant un repère orthonormé du plan P. Déterminer et
construire chacun
des ensembles suivants
E1={M(z) P / f ( z )  1}
E2={M(z) P / f (z) soit imaginaire pur}
Exercice 10:
Au nombre complexe a, on associe le point A d’affixe a .
a- Quel est l’ensemble des pointe A tels que : | a | = | a - 1 | ?
b- Démontrer que lorsque | a | = | a - 1 | , on a : arg a + arg ( a – 1)
≡ π (2π ).
2- Application: On veut résoudre dans l’équation : z 3 = i ( z – 1 ) 3 .
( 1)
a- Quelle relation existe-t-il entre les modules de a et a-1 si a
est une solution de l’équation (1) ? A quel ensemble
appartiennent donc les points images des solutions de l’équation
( 1) ?
b- On pose arg a = θ. Calculer θ lorsque la relation ( 1) est
vérifiée.
c- En utilisant les résultats du a) et du b) construire les points
images des solutions de
( 1) dans le plan P. Donner en suite les solutions sous formes
trigonométriques ( module et argument ), sans chercher à
calculer les cosinus des réels trouvés .
1- le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (o,u,v.) .On
donne les points A, M1 et M2
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