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Exercice 1:
Le plan est muni d'un repère orthonormé (o,
)v,u
; On considère les
points suivants A(2),
B(-
2
+i
2
) et C(-
2
-i
2
) et I=A*B
1- Ecrire zB et zC sous forme trigonométrique
2- Placer les points A, B, C et I dans le plan
3- Déduire une mesure de (
)OI,u
puis les valeurs exacte de
cos(
8
3
) et sin(
8
3
)
Exercice 4:
Le plan dans C est muni d’un repère orthonormé
).v ,u,o(
Considérons
les points A(z1
i 3
), B(z2=[
3
+1]+i[1-
3
]) et C(z3=1-i
3
)
1. Ecrire z1et z2 sous forme trigonométrique, Placer alors dans le
plan les points A et C puis B (on remarquera que :
OACB 
)
2. Déduire que le quadrilatère OABC est un losange
3. Montrer que
][ π
π2
2
)OC,OA(
. Quelle est alors la nature
du quadrilatère OABC?
4. a) Vérifier que
][ π
π2
12
)OB,u( 
b) Donner alors la forme trigonométrique de z2
Exercice 3:
1- On donne
2222  iu
.Calculer u2,u 4;en déduire le
module et
un argument de u.
2- Soit z =
i
i
21
21
.
a) Déterminer le module et un argument de z.
b) Calculer z 20, z21, z 22, z 23 et z 24.
3- Soit u=
,r
un nombre complexe non nuls.
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes
suivants : Z1=│u│+u; Z2 =│u│-
u
et Z3 = u +j²
u
.
Exercice 4:
1- Soit z un nombre complexe tel que
z
=1 Vérifier que
z
1
=
z
2- On pose z=
7
2
,1
et S=z+z2+z4 et T=z3+z5+z6
a) Montrer que S et T sont conjugués
b) Calculer S+T Déduire Ré(S)
Exercice 5:
.
Soient les nombres complexes suivants
z1=
2
+i
6
, z2=1-i et Z=
z
z
2
1
1- Ecrire z1 , z2 et Z sous forme trigonométrie
2- a) Pour n un entier naturel non nul donner la forme
trigonométrique Zn
b) Trouver le plus petit entier n non nul pour que Zn soit réel
3- Ecrire Z sous forme algébrique
4- En déduire les valeurs exactes de cos(
12
7
) et sin(
12
7
)
2007-6A*S:200
Série
(2):
Maths
ème
4

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Exercice 6:
Pou tout nombre complexe z non nul on pose W= z+
z
4
le plan est muni d’un repère orthonormé direct
) v, u,0(
1- A tout nombre complexe z on associe le point M(z). Déterminer
ξ l’ensemble des points M pour que W soit réel
2- Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2eiθ ; 4cosθ
et 2e- iθ où θ
2
π
,0
a) Placer les points A, B et C dans le plan pour θ=
6
π
b) Vérifier que pour tout θ
2
π
,0
les points A, B et C
appartiennes à l’ensemble ξ
c) Montrer que pour tout θ
2
π
,0
le quadrilatère OABC est
un losange
Exercice 6:
Pour
ππθ ,
({
}
2
,
2
ππ
On pose
eiθ
z
et
1
12  zz zZ
1- Montrer que:
zz
z  1 1Z
2- Déduire alors que: Re(Z)=
θcos
θcos 2
1
1
3- Déterminer
θ
pour que Re(Z)=1
4- Pour Re(Z)=1 Montrer que Arg(Z-1)
π
π
2
Exercice 7:
Le plan est muni d’un repère orthonormé
).v,u,o(
On désigne par A et B
les
Points d’affixe respectives -
2
1
et 3i
A tout point M d’affixe z tel que z 3i.On lui associe le point M’(z’)
avec z’=
i3z
iiz2
1- a) Ecrire z’ sous forme algébrique pour z=x+iy
b) En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tel que
* z’ est réel
* z’ est imaginaire pur
2- Pour z 3i
a) Montrer que
MB
MA2
'z 
b) En déduire l’ensemble des points M(z) tel que
2'z 
3- On suppose que z 3i et z -
2
1
a) Monter que
)OM,u(
=
πk2)AM,BM(
2
π
, k Z
En déduire que si M (AB) le point M’ appartient à une droite que ’on
précisera
Exercice 8:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé
),,( vuo
pour z -
{0} on désigne parA, A', M et M' les points d'affixes respectives:2,-2,
z et z'=
z
z1
2
.
1- a) Vérifier que
e
ei
i2
)
2
cos(21
b) Pour z=
ei
. Déduire la forme exponentielle de z'
c) Déterminer et construire L'ensemble des points M'(z') Si M
décrit le cercle
(O,1)

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2- a) Pour IR réel résoudre dans l'équation (E):
z
z1
2
=2sin( ).
b) Vérifier que sin -icos =-i(cos +isin ).
c) Déduire alors la forme exponentielle de chacune des solutions
de (E).
Exercice 9:
Soient z0=
i
2
1
2
3
et
:f
- {i}
z f (z)=
iz
z 1
1) Ecrire z0 sous la forme exponentielle
2) a) Vérifier que
e
ei
i2
)
2
cos(21
b) En déduire la forme exponentielle de 1+ z0
3) a) Montrer que f (z0)=z0(1+z0)
b) En déduire la forme exponentielle de f (z0)
c) Ecrire f (z0) sous la forme algébrique
d) Donner la valeur de cos(
12
)
4)
),,( vuo
étant un repère orthonormé du plan P. Déterminer et
construire chacun
des ensembles suivants
E1={M(z) P /
1)( zf
}
E2={M(z) P / f (z) soit imaginaire pur}
Exercice 10:
1- le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
).v,u,o(
.On
donne les points A, M1 et M2
d’affixes respectives z0=1 ,z1=-sin
θ
+ i cos
θ
et z2=
z1
a) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle
b) Pour
θ
=
4
π
placer M1,M2 et A dans le plan
2- a) Montrer que AM1M2 et isocèle pour tout
θ
un réel de
[0,
2
π
[
c) Pour quelle valeur de
θ
, AM1M2 est équilatéral
Exercice 11:
1- Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct
).v,u,o(
Au nombre complexe a, on associe le point A d’affixe a .
a- Quel est l’ensemble des pointe A tels que : | a | = | a - 1 | ?
b- Démontrer que lorsque | a | = | a - 1 | , on a : arg a + arg ( a – 1)
≡ π (2π ).
2- Application: On veut résoudre dans l’équation : z 3 = i ( z – 1 ) 3 .
( 1)
a- Quelle relation existe-t-il entre les modules de a et a-1 si a
est une solution de l’équation (1) ? A quel ensemble
appartiennent donc les points images des solutions de l’équation
( 1) ?
b- On pose arg a = θ. Calculer θ lorsque la relation ( 1) est
vérifiée.
c- En utilisant les résultats du a) et du b) construire les points
images des solutions de
( 1) dans le plan P. Donner en suite les solutions sous formes
trigonométriques ( module et argument ), sans chercher à
calculer les cosinus des réels trouvés .

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