A*S:2006-2007 Série (2): 1- On donne u 2 module et un argument de u. 4ème Maths 2- Soit z = Exercice 1: Le plan est muni d'un repère orthonormé (o, u,v) ; On considère les 3- Soit u= B(- 2 +i 2 ) et C(- 2 -i 2 ) et I=A*B 1- Ecrire zB et zC sous forme trigonométrique 2- Placer les points A, B, C et I dans le plan r, un nombre complexe non nuls. suivants : Z1=│u│+u; Z2 =│u│- u et Z3 = u +j² Exercice 4: 3 3 ) et sin( ) 8 8 u . 1- Soit z un nombre complexe tel que z =1 Vérifier que 1 = z Le plan dans C est muni d’un repère orthonormé (o,u, v.) Considérons les points A(z1 3 i ), B(z2=[ 3 +1]+i[1- 3 ]) et C(z3=1-i 3 ) 1. Ecrire z1et z2 sous forme trigonométrique, Placer alors dans le plan les points A et C puis B (on remarquera que : CB OA ) 2. Déduire que le quadrilatère OABC est un losange π [ 2π ] . Quelle est alors la nature 2 4. a) Vérifier que ( u, OB) z 2- On pose z= 1, 2 et S=z+z2+z4 et T=z3+z5+z6 7 Exercice 4: du quadrilatère OABC? . Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes 3- Déduire une mesure de ( u, OI) puis les valeurs exacte de 3. Montrer que (OA, OC) 1 2 i a) Déterminer le module et un argument de z. b) Calculer z 20, z21, z 22, z 23 et z 24. points suivants A(2), cos( 1 2 i 2 i 2 2 .Calculer u2,u 4;en déduire le a) Montrer que S et T sont conjugués b) Calculer S+T Déduire Ré(S) Exercice 5: . Soient les nombres complexes suivants z1= 2 +i 6 , z2=1-i et Z= z1 z2 1- Ecrire z1 , z2 et Z sous forme trigonométrie 2- a) Pour n un entier naturel non nul donner la forme trigonométrique Zn b) Trouver le plus petit entier n non nul pour que Z n soit réel 3- Ecrire Z sous forme algébrique 4- En déduire les valeurs exactes de cos( 7 ) et sin( 7 ) π [ 2π ] 12 b) Donner alors la forme trigonométrique de z2 Exercice 3: 12 Page 1 / 4 12 Exercice 6: Pou tout nombre complexe z non nul on pose W= z+ 4 A tout point M d’affixe z tel que z 3i.On lui associe le point M’(z’) avec z’= 2izi z le plan est muni d’un repère orthonormé direct (0,u ,v ) 1- A tout nombre complexe z on associe le point M(z). Déterminer ξ l’ensemble des points M pour que W soit réel 2- Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2eiθ ; 4cosθ et 2e- iθ où θ 0, π2 1- z3i a) Ecrire z’ sous forme algébrique pour z=x+iy b) En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tel que * z’ est réel * z’ est imaginaire pur 2- Pour z 3i a) Montrer que z' 2MA a) Placer les points A, B et C dans le plan pour θ= π MB 6 b) Vérifier que pour tout θ 0, π2 les b) En déduire l’ensemble des points M(z) tel que z' 2 points A, B et C appartiennes à l’ensemble ξ c) Montrer que pour tout θ 0, π2 le quadrilatère OABC est un losange Exercice 6: Pour θ π ,π ({ π π , } On pose 2 2 z eiθ et Z 3- Déterminer θ pour que Re(Z)=1 z 1 2z z 1 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (o, u , v) pour z - {0} on désigne parA, A', M et M' les points d'affixes respectives:2,-2, z 1 z et z'= . z 2 1 2 cos θ 1- a) Vérifier que 1 π 4- Pour Re(Z)=1 Montrer que Arg(Z-1) π 2 b) Pour z= Exercice 7: Le plan est muni d’un repère orthonormé (o,u,v.) On désigne par A et B les 2 π a) Monter que (u,OM) = (BM,AM)2kπ , k Z 2 En déduire que si M (AB) le point M’ appartient à une droite que ’on précisera Exercice 8: 1 1- Montrer que: Z z 1 zz 2- Déduire alors que: Re(Z)= 1 cos θ 3- On suppose que z 3i et z - 1 e i i e i 2 cos( ) e 2 2 . Déduire la forme exponentielle de z' c) Déterminer et construire L'ensemble des points M'(z') Si M décrit le cercle (O,1) Points d’affixe respectives - 1 et 3i 2 Page 2 / 4 d’affixes respectives z0=1 ,z1=-sin θ + i cos θ et z2= z1 z 1 =2sin( ). z 2 2- a) Pour IR réel résoudre dans l'équation (E): b) Vérifier que sin -icos =-i(cos +isin ). c) Déduire alors la forme exponentielle de chacune des solutions de (E). Exercice 9: Soient z0= 3 1 i et f : 2 2 z - {i} 2[0, π [ 2 4 a) Montrer que AM1M2 et isocèle pour tout θ un réel de c) Pour quelle valeur de θ , AM1M2 est équilatéral 1- Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé direct (o,u,v.) z i 1) Ecrire z0 sous la forme exponentielle e 2 cos(2 ) e i i 2 b) En déduire la forme exponentielle de 1+ z0 3) a) Montrer que f (z0)=z0(1+z0) b) En déduire la forme exponentielle de f (z0) c) Ecrire f (z0) sous la forme algébrique d) Donner la valeur de cos( b) Pour θ = π placer M1,M2 et A dans le plan Exercice 11: f (z)= z 1 2) a) Vérifier que 1 a) Ecrire z1 et z2 sous forme exponentielle ) 12 4) (o, u , v) étant un repère orthonormé du plan P. Déterminer et construire chacun des ensembles suivants E1={M(z) P / f ( z ) 1} E2={M(z) P / f (z) soit imaginaire pur} Exercice 10: Au nombre complexe a, on associe le point A d’affixe a . a- Quel est l’ensemble des pointe A tels que : | a | = | a - 1 | ? b- Démontrer que lorsque | a | = | a - 1 | , on a : arg a + arg ( a – 1) ≡ π (2π ). 2- Application: On veut résoudre dans l’équation : z 3 = i ( z – 1 ) 3 . ( 1) a- Quelle relation existe-t-il entre les modules de a et a-1 si a est une solution de l’équation (1) ? A quel ensemble appartiennent donc les points images des solutions de l’équation ( 1) ? b- On pose arg a = θ. Calculer θ lorsque la relation ( 1) est vérifiée. c- En utilisant les résultats du a) et du b) construire les points images des solutions de ( 1) dans le plan P. Donner en suite les solutions sous formes trigonométriques ( module et argument ), sans chercher à calculer les cosinus des réels trouvés . 1- le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (o,u,v.) .On donne les points A, M1 et M2 Page 3 / 4 Page 4 / 4