Méthodes de Réduction de Variance : Méthodes adaptatives

M´ethodes de R´eduction de Variance : M´ethodes adaptatives
M´ethodes de R´eduction de Variance :
M´ethodes adaptatives
Gersende FORT
LTCI, CNRS / TELECOM ParisTech

M´ethodes de R´eduction de Variance : M´ethodes adaptatives
Introduction
I. Introduction

M´ethodes de R´eduction de Variance : M´ethodes adaptatives
Introduction
Param`etres d’impl´ementation optimaux
Param`etres d’impl´ementation optimaux
La mise en oeuvre des m´ethodes de simulation d´epend de param`etres
d’impl´ementation dont le choix joue un rˆole sur l’efficacit´e des algorithmes.
Par exemple :
Variables de contrˆole : choix du coefficient b.
Echantillonnage d’importance : choix du changement de loi gdans une famille de
densit´es P
Stratification : choix de la politique d’allocation et de la variable de
stratification entre autre.
Nous avons montr´e que, pour le crit`ere d’efficacit´e retenu (ex. la variance de l’estimateur), il
existait des valeurs optimales du param`etre d’impl´ementation mais ces valeurs
optimales ne sont pas explicitement calculables (sauf cas simples).

M´ethodes de R´eduction de Variance : M´ethodes adaptatives
Introduction
Param`etres d’impl´ementation optimaux
Param`etres d’impl´ementation optimaux
La mise en oeuvre des m´ethodes de simulation d´epend de param`etres
d’impl´ementation dont le choix joue un rˆole sur l’efficacit´e des algorithmes.
Par exemple :
Variables de contrˆole : choix du coefficient b.
Echantillonnage d’importance : choix du changement de loi gdans une famille de
densit´es P
Stratification : choix de la politique d’allocation et de la variable de
stratification entre autre.
Nous avons montr´e que, pour le crit`ere d’efficacit´e retenu (ex. la variance de l’estimateur), il
existait des valeurs optimales du param`etre d’impl´ementation mais ces valeurs
optimales ne sont pas explicitement calculables (sauf cas simples).

M´ethodes de R´eduction de Variance : M´ethodes adaptatives
Introduction
Exemple I
Exemple I
M´ethode d’´echantillonnage d’importance : changement de loi dans le cas
gaussien Nd(0,Id) −→ Nd(θ,Id)
La valeur optimale θ?est l’unique minimum de la fonction
θ7→ Ehφ2(Z) exp(−θTZ+ 0.5θTθ)i
OU l’unique racine de la fonction
θ7→ exp(0.5θTθ)Ehφ2(Z)(θ−Z) exp(−θTZ)i.
En pratique
il s’agit de d´eterminer un vecteur de Rd: optimisation / recherche de zeros
dans un espace de dimension finie.
→mise en oeuvre d’algorithmes de recherche d’optima / de zeros d’une
fonction dans Rd
aucune de ces esp´erances n’est calculable explicitement.
on sait simuler des v.a. i.i.d. de mˆeme loi que Z.
→approximation de la fonction par une m´ethode de Monte Carlo