Aide-mémoire. Un sous-ensemble H d`un groupe G est dit être un

Aide-m´emoire.
Un sous-ensemble Hd’un groupe Gest dit ˆetre un sous-groupe de Gsi et seulement si les trois propri´et´es
suivantes sont v´erifi´ees:
(a) e∈H;
(b) xy ∈Hpour tout x, y ∈H;
(c) x−1∈Hpour tout x∈H.
Soit σ∈Sn, une permutation de n. Notons cette permutation de la fa¸con suivante:
σ=123· · · (n−1) n
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n−1) σ(n).
La longueur de σest d´efinie et not´ee par
`(σ) = #{(i, j)|1≤i < j ≤n, σ(i)> σ(j)},
i.e. `(σ) est le nombre d’inversions de σ.
Soit σ, σ0∈Sn, deux permutations de n. Alors nous avons
(a) `(σ−1) = `(σ), o`u σ−1est l’inverse de σ, i.e. σet σ−1ont le mˆeme nombre d’inversions.
(b) `(σσ0)≡`(σ) + `(σ0) (mod 2), i.e. `(σσ0) et `(σ) + `(σ0) ont la mˆeme parit´e.
An={σ∈Sn|`(σ) est paire}est le groupe altern´e.
Th´eor`eme de Lagrange Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe de G. Alors #(H) divise #(G).
Plus g´en´eralement, si Het Ksont deux sous-groupes de Gtels que K⊆H⊆Get Kest d’indice fini, alors
Hest d’indice fini et [G:K] = [G:H][H:K].
Un groupe Gest dit simple si et seulement si G6={e}et les seuls sous-groupes normaux de Gsont ses
sous-groupes triviaux, i.e. {e}et G.
Th´eor`eme. Soient n≥3etG=An, le groupe altern´e. Alors
(a) Anest simple si et seulement si n6= 4.
(b) A4a un et un seul sous-groupe de Sylow ayant 4 ´el´ements et ce sous-groupe est normal dans A4.
´
Etant donn´e deux ´el´ements x,yd’un groupe G, alors l’´el´ement x−1y−1xy est le commutateur de xet yet
sera not´e (x, y).
Soit G, un groupe. Alors le sous-groupe d´eriv´e de G, not´e D(G) ou encore (G, G), est le sous-groupe de
Gengendr´e par l’ensemble {(x, y)|x, y ∈G}de tous les commutateurs de G.
Proposition. Soient un groupe G, son sous-groupe d´eriv´e D(G) et un sous-groupe Hde G. Nous avons:
(a) D(G) est un sous-groupe normal de G.
(b) Le groupe quotient G/D(G) est ab´elien.
(c) D(G)⊆Hsi et seulement si Hest un sous-groupe normal tel que le quotient G/H est ab´elien.
D´efinition. Soit un groupe G. La suite d´eriv´ee de Gest la suite des sous-groupes {Dn(G)}n≥0d´efinie
par r´ecurrence: D0(G) = Get Dn+1(G) = DDn(G)pour n≥0.
D´efinition. Un groupe Gest r´esoluble s’il existe un entier ntel que Dn(G) = {e}.

D´efinition. ´ Etant donn´e deux groupes Get H, une fonction φ:G→Hest un homomorphisme (de
groupes) si et seulement si φ(g1g2) = φ(g1)φ(g2) pour tout g1, g2∈G.
D´efinition. ´ Etant donn´e un homomorphisme φ:G→Hdu groupe Gvers le groupe H, alors φest dit ˆetre
un isomorphisme si et seulement si φest bijectif. En particulier, si G=Het que φest un isomorphisme,
alors φest dit ˆetre un automorphisme.
Soit un groupe F. Alors Aut(F) = {φ:F→F|φest un automorphisme de F}avec la composition de
fonction (φ1, φ2)7−→ φ1◦φ2, o`u φ1, φ2∈Aut(F), est un groupe.
Notation. Soient deux groupes Fet Get un homomorphisme τ:G→Aut(F) de groupes. Pour tout
g∈G, alors τ(g) est un automorphisme de F, c’est-`a-dire que τ(g)∈Aut(F). Nous noterons τ(g)(f) par
gf.
Proposition. Soient F,Get τ:G→Aut(F) comme ci-dessus. Consid´erons le produit cart´esien F×G=
{(f, g)|f∈F, g ∈G}. La fonction
(F×G)×(F×G)→(F×G),(f, g),(f0, g0)7→ (f, g)·(f0, g0)= (fgf0, gg0)
est une loi de composition de groupes. Le groupe ainsi obtenu sera not´e F×τGet est appel´e le produit
semi-direct externe de Fet Grelativement `a τ.
Th´eor`eme de Sylow. Soient Gun groupe fini et pun nombre premier. Si pedivise #Get que pe+1 ne
divise pas #G, alors
(a) il existe au moins un sous-groupe Hde Gayant pe´el´ements et pour tout e0< e, il existe au moins un
sous-groupe H0de Gayant pe0;
(b) tout sous-groupe Kayant pe´el´ements est conjugu´e `a H, i.e. il existe un ´el´ement g∈Gtel que
K=gHg−1;
(c) le nombre nG(pe) de sous-groupes de Gayant pe´el´ements est ´egal `a #G/#(NG(H)) = [G:NG(H)] et
nG(pe)≡1 (mod p). Ici NG(H) d´esigne le normalisateur de Hdans G, i.e. NG(H) = {g∈G|gHg−1=
H}.
Soit la matrice Ade d´eterminant det(A)6= 0, alors son inverse
A−1=1
det(A)
a22 a23
a32 a33 
−
a12 a13
a32 a33 
a12 a13
a22 a23 
−
a21 a23
a31 a33 
a11 a13
a31 a33 
−
a11 a13
a21 a23 
a21 a22
a31 a32 
−
a11 a12
a31 a32 
a11 a12
a21 a22 
o`u
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.