Aide-mémoire. Un sous-ensemble H d`un groupe G est dit être un

Aide-mémoire.
Un sous-ensemble H d’un groupe G est dit être un sous-groupe de G si et seulement si les trois propriétés
suivantes sont vérifiées:
(a) e ∈ H;
(b) xy ∈ H pour tout x, y ∈ H;
(c) x−1 ∈ H pour tout x ∈ H.
Soit σ ∈ Sn , une permutation de n. Notons cette permutation de la façon suivante:
σ=
1
2
3
· · · (n − 1)
n
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n − 1) σ(n)
.
La longueur de σ est définie et notée par
`(σ) = #{(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)},
i.e. `(σ) est le nombre d’inversions de σ.
Soit σ, σ 0 ∈ Sn , deux permutations de n. Alors nous avons
(a) `(σ −1 ) = `(σ), où σ −1 est l’inverse de σ, i.e. σ et σ −1 ont le même nombre d’inversions.
(b) `(σσ 0 ) ≡ `(σ) + `(σ 0 )
(mod 2), i.e. `(σσ 0 ) et `(σ) + `(σ 0 ) ont la même parité.
An = {σ ∈ Sn | `(σ) est paire} est le groupe alterné.
Théorème de Lagrange Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors #(H) divise #(G).
Plus généralement, si H et K sont deux sous-groupes de G tels que K ⊆ H ⊆ G et K est d’indice fini, alors
H est d’indice fini et [G : K] = [G : H][H : K].
Un groupe G est dit simple si et seulement si G 6= {e} et les seuls sous-groupes normaux de G sont ses
sous-groupes triviaux, i.e. {e} et G.
Théorème. Soient n ≥ 3 et G = An , le groupe alterné. Alors
(a) An est simple si et seulement si n 6= 4.
(b) A4 a un et un seul sous-groupe de Sylow ayant 4 éléments et ce sous-groupe est normal dans A4 .
Étant donné deux éléments x, y d’un groupe G, alors l’élément x−1 y −1 xy est le commutateur de x et y et
sera noté (x, y).
Soit G, un groupe. Alors le sous-groupe dérivé de G, noté D(G) ou encore (G, G), est le sous-groupe de
G engendré par l’ensemble {(x, y) | x, y ∈ G} de tous les commutateurs de G.
Proposition. Soient un groupe G, son sous-groupe dérivé D(G) et un sous-groupe H de G. Nous avons:
(a) D(G) est un sous-groupe normal de G.
(b) Le groupe quotient G/D(G) est abélien.
(c) D(G) ⊆ H si et seulement si H est un sous-groupe normal tel que le quotient G/H est abélien.
n
Définition. Soit un groupe G. La suite dérivée de
G est la suite des sous-groupes {D (G)}n≥0 définie
0
n+1
n
par récurrence: D (G) = G et D
(G) = D D (G) pour n ≥ 0.
Définition. Un groupe G est résoluble s’il existe un entier n tel que Dn (G) = {e}.
Définition. Étant donné deux groupes G et H, une fonction φ : G → H est un homomorphisme (de
groupes) si et seulement si φ(g1 g2 ) = φ(g1 )φ(g2 ) pour tout g1 , g2 ∈ G.
Définition. Étant donné un homomorphisme φ : G → H du groupe G vers le groupe H, alors φ est dit être
un isomorphisme si et seulement si φ est bijectif. En particulier, si G = H et que φ est un isomorphisme,
alors φ est dit être un automorphisme.
Soit un groupe F . Alors Aut(F ) = {φ : F → F | φ est un automorphisme de F } avec la composition de
fonction (φ1 , φ2 ) 7−→ φ1 ◦ φ2 , où φ1 , φ2 ∈ Aut(F ), est un groupe.
Notation. Soient deux groupes F et G et un homomorphisme τ : G → Aut(F ) de groupes. Pour tout
g ∈ G, alors τ (g) est un automorphisme de F , c’est-à-dire que τ (g) ∈ Aut(F ). Nous noterons τ (g)(f ) par
g
f.
Proposition. Soient F , G et τ : G → Aut(F ) comme ci-dessus. Considérons le produit cartésien F × G =
{(f, g) | f ∈ F, g ∈ G}. La fonction
(F × G) × (F × G) → (F × G),
(f, g), (f 0 , g 0 ) 7→ (f, g) · (f 0 , g 0 ) = (f g f 0 , gg 0 )
est une loi de composition de groupes. Le groupe ainsi obtenu sera noté F ×τ G et est appelé le produit
semi-direct externe de F et G relativement à τ .
Théorème de Sylow. Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Si pe divise #G et que pe+1 ne
divise pas #G, alors
(a) il existe au moins un sous-groupe H de G ayant pe éléments et pour tout e0 < e, il existe au moins un
0
sous-groupe H 0 de G ayant pe ;
(b) tout sous-groupe K ayant pe éléments est conjugué à H, i.e. il existe un élément g ∈ G tel que
K = gHg −1 ;
(c) le nombre nG (pe ) de sous-groupes de G ayant pe éléments est égal à #G/#(NG (H)) = [G : NG (H)] et
nG (pe ) ≡ 1 (mod p). Ici NG (H) désigne le normalisateur de H dans G, i.e. NG (H) = {g ∈ G | gHg −1 =
H}.
Soit la matrice A de déterminant det(A) 6= 0, alors son inverse
 a
22 a23 − a12
a32
a32 a33



  a21 a23 a11
1
−1

−
A =

a31
a
a
det(A) 
31
33

  a21 a22 − a11
a31 a32 a31
où
a11
a12
a13


A =  a21

a22


a23  .

a31
a32
a33


a13 a33 a12
a22
a13 a33 a
− 11
a21
a12 a32 a11
a21
a13 
a23 



a13 

a23 




a12 a22