Comment calculer un PGCD (plus grand commun diviseur)

Rappel 2nde D4
O9/2007
Développer
Définitions et propriétés :
Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme algébrique.
Pour n’importe quels nombres relatifs k, a, b, c et d :
_ distributivité simple :
()k a b ka kb  
_ distributivité double :
()a b c d ac ad bc bd     
Factoriser
Définition : Factoriser une somme algébrique, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Identités remarquables :
222
2a b a ab b   
222
2a b a ab b   
22
()a b a b a b   
Equation produit :
Théorème : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est
nul. Autrement dit :
0 0 ou 0A B A B    
Les solutions de l’équation produit
0ax b cx d  
sont les solutions de chacune
des équations
0ax b
et
0cx d
Comment calculer un PGCD (plus grand commun diviseur) ?
1ère Méthode
Pour trouver le PGCD de deux nombres a et b (
ab
) par la méthode des divisions
successives, on utilise le programme ci-dessous.
Le PGCD de a et b est ainsi égal au dernier reste non nul.
Algorithme d’Euclide :
1) Diviser a par b. On obtient le reste r.
2) Si
0r
, le PGCD est trouvé : PGCD(a ; b)=b.
3) Si
0r
, remplacer a par b, b par r et recommencer à partir de 1).
2ème Méthode
Lorsque a et b sont décomposés en produit de facteurs premiers :
_ Pour trouver le PGCD, il faut prendre tous les facteurs communs rencontrés dans les
différentes décompositions affectés de leur plus petit exposant.
_ Pour trouver le PPCM, il faut prendre tous les facteurs présents dans les différentes
décompositions affectés de leur plus grand exposant.

Rappel 2nde D4
O9/2007
Fractions :
1) Règles des signes :
et
a a a a a
b b b b b
2) Pour simplifier ou réduire au même dénominateur :
et
ka a a k a
kb b b k b
3) Addition de fractions ayant même dénominateur (sinon on réduit au même
dénominateur !! Le dénominateur commun est le PPCM des 2 dénominateurs.) :
a c a c
b b b
4) Multiplication :
et
a ka a a c a c
kk
b b b b d b d
5) Division :
a c a d ad
b d b c bc
Racine carrée :
Définition : a étant un nombre positif (ou nul),
a
est le nombre positif (ou nul), qui élevé au
carré donne a :
2 , avec 0a a a a a   
Propriétés : a et b étant des nombres positifs et
0b
:
2
; ; aa a b ab a b a b b
b
Pour simplifier des racines carrées, il faut faire apparaître des carrés parfaits
sous le radical.
Méthode pour rendre rationnel le dénominateur
d’une fraction du type :
On multiplie son numérateur et son
dénominateur par :
a
b
b
a
bc
bc
(quantité conjuguée)
a
bc
bc
(quantité conjuguée)
Propriétés : Soient a et b deux nombres réels non nuls. Soient n et p deux entiers naturels,
1)
n p n p
a a a 
2)
1p
pa
a
3)
nnp
p
aa
a
4)
nnn
ab a b
5)
p
n np
aa
6)
nn
n
aa
bb

Rappel 2nde D4
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