Modèle mathématique.

MATHEMATIQUES - D.S. N° 2
Vendredi 5 novembre 2004. Durée : 1 heure
(Configuration du plan). Seconde 1
Exercice 2. Un peu de cours (3 points)
Soit ABC un triangle équilatéral de coté a et h une hauteur. On a démontré que
1°) h =
Error!
2°) Et que sin (60°) =
Error!
Exercice 3. (1+0,5+1,5+0.5+1.5+1.5=6,5 pts)
Soit C un demi-cercle de diamètre [AB], centre O, et M un point du demi-cercle tel que AM=5cm et ;ABM = 30°.
a) Calculer AB. ABM rectangle en M car M appartient au cervle de diamètre [AB]
donc AB =
Error!
10 cm
b) Sur ce dessin, tracer le centre de gravité G du triangle AMB.
c)
 mes( ;GMB ) = mes ( ;OMB ) car G appartient à la médiane issue de M
 De plus OMB est isocèle en O car OM et OB sont des rayons
 donc mes( ;GMB) =mes ( ;OMB) =mes ( ;OBM) =30°
d) Sur le dessin, tracer l’image M’de M par la symétrie de centre O
e)
 AMBM’ est un parallèlogramme car par construction O=mil[MM’] et O=mil [AB] d’après les données donc les
diagonalesde AMBM’ se coupent en leur milieu.
 En outre, ce parallèlogramme a un angle droit ( ;AMB), AMBM’ est donc un rectangle.
f) Calculer l’aire de AMBM’. (Valeur exacte)
 Il faut calculer MB. Or en se plaçant dans le triangle rectangle AMB, d’après le théorème de Pythagore MB²=10²-5²=75
Donc MB = 75 = 5 3.
 donc Aire (AMBM’) = AMMB = 5  5 3 = 25 3 cm²
Exercice 4. (1,5+1,5+1+0.5+2+2= 8.5 pts)
Soit ABC un triangle équilatéral et son cercle circonscrit C.
M un point du petit arc ;AB et I un point de [MC] tel que MA=MI.
1°) Montrons que MA+MB=MC
a) Montrer que AMI est équilatéral.
AM=MI et mes( ;AMI) = mes ( ;ABC)= 60° car ce sont 2 angles inscrits intercetant
le même arc ;AC.
Donc AMI est isocèle avec un angle de 60°, il est équilatéral.
b) A l’aide d’une rotation montrer que MB=IC
Soit r la rotation de centre A et d’angle 60° dans le sens direct.
r transforme [MB] en [IC] puisque AMI et ABC équilatéraux.
La rotation étant une isométrie on a IM=MB
c) En déduire que MA+MB=MC.
MA+MB=MA+IC=MI+IC (car MA=MI et MB=IC)
or I [MC] donc MI+IC=MC donc MA+MB=MC
2°) a) Soit A’ le symétrique de A par rapport à O.
b) Que dire du triangle AA’C ? Que dire de la mesure de l’angle ;AA’C ?
 A’ sym. de A par rapport à O donc [AA’] est un diamètre du cercle. Donc AA’C est rectangle en C car C appartient
au cercle de diamètre [AA’].
 En outre mes ( ;AA'C) = mes ( ;ABC)= 60° car ce sont 2 angles inscrits interceptant le même arc.
c) Si AC=6cm, montrer que AA’ = 4 3 sachant que d’après l’exercice 2, sin (60°) =
Error!
 AA’C rectangle en C donc sin ( ;AA'C) = sin(60°)=
Error!
, soit AA’ =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
= 4
Error!
Un triangle PQR tel que QR²=PR² - PQ² est rectangle en
Q
0.5pt
Si C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle 45°, ABC est
isocèle en A
0.5pt
Un parallèlogramme ayant ses diagonales de même longueur est un
rectangle
0.5pt
Un quadrilatère ayant 2 côtés opposés parallèles ET de même longueur est un
parallèlogramme
0.5pt