MATHEMATIQUES - D.S. N° 2 Vendredi 5 novembre 2004. Durée : 1 heure (Configuration du plan). Seconde 1 Un triangle PQR tel que QR²=PR² - PQ² est rectangle en Si C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle 45°, ABC est Un parallèlogramme ayant ses diagonales de même longueur est un Un quadrilatère ayant 2 côtés opposés parallèles ET de même longueur est un Q isocèle en A rectangle parallèlogramme 0.5pt 0.5pt 0.5pt 0.5pt Exercice 2. Un peu de cours (3 points) Soit ABC un triangle équilatéral de coté a et h une hauteur. On a démontré que 1°) h = Error! 2°) Et que sin (60°) = Error! Exercice 3. (1+0,5+1,5+0.5+1.5+1.5=6,5 pts) Soit C un demi-cercle de diamètre [AB], centre O, et M un point du demi-cercle tel que AM=5cm et a) Calculer AB. ABM rectangle en M car M appartient au cervle de diamètre [AB] donc AB = Error! 10 cm b) Sur ce dessin, tracer le centre de gravité G du triangle AMB. c) ;ABM = 30°. mes( ;GMB ) = mes ( ;OMB ) car G appartient à la médiane issue de M De plus OMB est isocèle en O car OM et OB sont des rayons donc mes( ;GMB) =mes ( ;OMB) =mes ( ;OBM) =30° d) Sur le dessin, tracer l’image M’de M par la symétrie de centre O e) AMBM’ est un parallèlogramme car par construction O=mil[MM’] et O=mil [AB] d’après les données donc les diagonalesde AMBM’ se coupent en leur milieu. En outre, ce parallèlogramme a un angle droit ( ;AMB), AMBM’ est donc un rectangle. f) Calculer l’aire de AMBM’. (Valeur exacte) Il faut calculer MB. Or en se plaçant dans le triangle rectangle AMB, d’après le théorème de Pythagore MB²=10²-5²=75 Donc MB = 75 = 5 3. donc Aire (AMBM’) = AMMB = 5 5 3 = 25 3 cm² Exercice 4. (1,5+1,5+1+0.5+2+2= 8.5 pts) Soit ABC un triangle équilatéral et son cercle circonscrit C. M un point du petit arc ;AB et I un point de [MC] tel que MA=MI. 1°) Montrons que MA+MB=MC a) Montrer que AMI est équilatéral. AM=MI et mes( ;AMI) = mes ( ;ABC)= 60° car ce sont 2 angles inscrits intercetant le même arc ;AC. Donc AMI est isocèle avec un angle de 60°, il est équilatéral. b) A l’aide d’une rotation montrer que MB=IC Soit r la rotation de centre A et d’angle 60° dans le sens direct. r transforme [MB] en [IC] puisque AMI et ABC équilatéraux. La rotation étant une isométrie on a IM=MB c) En déduire que MA+MB=MC. MA+MB=MA+IC=MI+IC (car MA=MI et MB=IC) or I [MC] donc MI+IC=MC donc MA+MB=MC 2°) a) Soit A’ le symétrique de A par rapport à O. b) Que dire du triangle AA’C ? Que dire de la mesure de l’angle ;AA’C ? A’ sym. de A par rapport à O donc [AA’] est un diamètre du cercle. Donc AA’C est rectangle en C car C appartient au cercle de diamètre [AA’]. En outre mes ( ;AA'C) = mes ( ;ABC)= 60° car ce sont 2 angles inscrits interceptant le même arc. c) Si AC=6cm, montrer que AA’ = 4 3 sachant que d’après l’exercice 2, sin (60°) = Error! AA’C rectangle en C donc sin ( Error! = 4 Error! ;AA'C) = sin(60°)= Error! , soit AA’ = Error! = Error! = Error! =