M105

École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Test diagnostique
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Durée: 1 heure
Directives:
9 Donner une réponse complète à chaque question et cette réponse doit être expliquée et
justifiée.
9 Pour chaque page du cahier, utiliser le recto pour rédiger vos réponses, et le verso comme
brouillon.
9 Toute calculatrice interdite.
9 Toute documentation interdite.
9 Remettre le questionnaire à la fin de l’épreuve.
QUESTION #1 (10 points)
Résoudre le système :
234
38
243
xyz
xyz
xyz
5
+
−=
−+=
−
++=
QUESTION # 2 (10 points)
Soit : ,
23 1
=50 1 A−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎣⎦
11
=3 5
23
B
−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Déterminer :
a) 23
t
A
B−+
b)
A
B

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Test diagnostique page 2
QUESTION # 3 (15 points)
On considère la matière et
310
411
10 1
A
−−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
5
3
4
B
−
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
a) Calculer le déterminant de
A
.
b) Trouver l’inverse de la matrice
A
.
c) Utiliser l’inverse de la matrice
A
pour résoudre l’équation matricielle
A
XB=
QUESTION # 4 (10 points)
Soit
A
et
B
deux matrices carrées d’ordre 2 telles que 2A
=
et 3B
=
. Calculer
a) 2t
A
B
b) 1
A
B
−
QUESTION # 5 (10 points)
Soit 2 vecteurs et v ayant respectivement pour norme 2 et 3 tels que l’angle entre ces vecteurs
est égal à 30º. Calculer
u
r r
a) le produit scalaire entre les vecteurs u
r
et v
r
, c'est-à-dire uv
r
r
;
b) la norme du produit vectoriel des vecteurs u
r
et v
r
, c'est-à-dire xuv
rr
.

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Test diagnostique page 3
QUESTION # 6 (5 points)
Calculer l’angle entre les vecteurs (1,2,3)u
−
r et (3, 1,2)v
−
−
r
.
QUESTION # 7 (5 points)
Trouver si le vecteur est perpendiculaire au vecteur .
x(1, 3, 1ux x x−+ +
r))(2,1,1vx x x+−− r
QUESTION # 8 (15 points)
On considère les points ,
(2,1,2)A−(1, 2, 0)B
−
et (2, 2 1)C
−
−
a) Calculer les composantes du vecteur 32
A
BAC−
u
uur uuur ;
b) Calculer l’aire du triangle ;
ABC
c) Trouver l’équation cartésienne du plan
Π
passant par les points ,
A
B et .
C
QUESTION # 9 (10 points)
Déterminer si les vecteurs donnés forment une base de l’espace vectoriel donné. Jusitifier chaque
réponse.
a) les vecteurs et
(1, 2, 3)u
r(3,2,1)v
−
r
pour 3
R
?
b) les vecteurs , et
(1, 2)u
r(3, 4)v r(4, 5)w
r
pour 2
R
?
c) les vecteurs ,
(4,5,4)u−
r(1, 3, 2)v
r
et (2,2,2)w
r
pour 3
R
?

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Test diagnostique page 4
QUESTION # 10 (10 points)
Soit le plan Π : 76 , la droite d :
516xyz−++=0( , , ) (7, 3, 8) ( 2, 9, 5)xyz t
=
−−+− et un point
.
A( 1, 2,3)−
a) Trouver le point I d’intersection de la droite d avec le plan
Π
;
b) Trouver l’équation vectorielle de la droite D passant par le point A et perpendiculaire
au plan Π.