M105

École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Test diagnostique
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Durée: 1 heure
Directives:
9 Donner une réponse complète à chaque question et cette réponse doit être expliquée et
justifiée.
9 Pour chaque page du cahier, utiliser le recto pour rédiger vos réponses, et le verso comme
brouillon.
9 Toute calculatrice interdite.
9 Toute documentation interdite.
9 Remettre le questionnaire à la fin de l’épreuve.
QUESTION #1 (10 points)
Résoudre le système :
x + 2 y − 3z = 4
3x − y + z = 8
−2 x + 4 y + 3 z = 5
QUESTION # 2 (10 points)
⎡ 1 −1 ⎤
⎡ −2 3 1 ⎤
⎢
⎥
Soit : A= ⎢
⎥ , B = ⎢ −3 5 ⎥
5
0
−
1
⎣
⎦
⎢⎣ 2 3⎥⎦
Déterminer :
a) −2 At + 3B
b) AB
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 2
QUESTION # 3 (15 points)
⎡ −3 − 1 0 ⎤
⎡ −5 ⎤
⎢
⎥
On considère la matière A = ⎢ 4 1 − 1 ⎥ et B = ⎢⎢ 3 ⎥⎥
⎢⎣ 1 0
⎢⎣ 4 ⎥⎦
1⎥⎦
a) Calculer le déterminant de A .
b) Trouver l’inverse de la matrice A .
c) Utiliser l’inverse de la matrice A pour résoudre l’équation matricielle AX = B
QUESTION # 4 (10 points)
Soit A et B deux matrices carrées d’ordre 2 telles que A = 2 et B = 3 . Calculer
a)
2 AB t
b)
A−1 B
QUESTION # 5 (10 points)
r
r
Soit 2 vecteurs u et v ayant respectivement pour norme 2 et 3 tels que l’angle entre ces vecteurs
est égal à 30º. Calculer
r
r
r r
a) le produit scalaire entre les vecteurs u et v , c'est-à-dire u v ;
r
r
r r
b) la norme du produit vectoriel des vecteurs u et v , c'est-à-dire u x v .
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 3
QUESTION # 6 (5 points)
r
r
Calculer l’angle entre les vecteurs u ( −1, 2, 3) et v (−3, − 1, 2) .
QUESTION # 7 (5 points)
r
r
Trouver x si le vecteur u ( x − 1, x + 3, x + 1) est perpendiculaire au vecteur v ( x + 2, x − 1, x − 1) .
QUESTION # 8 (15 points)
On considère les points A(−2, 1, 2) , B (1, − 2, 0) et C (2, − 2 − 1)
uuur uuur
a) Calculer les composantes du vecteur 3 AB − 2 AC ;
b) Calculer l’aire du triangle ABC ;
c) Trouver l’équation cartésienne du plan Π passant par les points A, B et C .
QUESTION # 9 (10 points)
Déterminer si les vecteurs donnés forment une base de l’espace vectoriel donné. Jusitifier chaque
réponse.
r
r
a) les vecteurs u (1, 2, 3) et v (−3, 2, 1) pour R 3 ?
r
r
r
b) les vecteurs u (1, 2) , v (3, 4) et w (4, 5) pour R 2 ?
r
r
r
c) les vecteurs u ( −4, 5, 4) , v (1, 3, 2) et w (2, 2, 2) pour R 3 ?
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 4
QUESTION # 10 (10 points)
Soit le plan Π : 7 x − 6 y + 5 z + 16 = 0 , la droite d : ( x, y , z ) = (7, − 3, − 8) + t ( −2, 9, 5) et un point
A( −1, 2, 3) .
a) Trouver le point I d’intersection de la droite d avec le plan Π ;
b) Trouver l’équation vectorielle de la droite D passant par le point A et perpendiculaire
au plan Π .