Groupes finis de matrices Ici K est un corps commutatif, a priori, de

Groupes finis de matrices
Ici Kest un corps commutatif, a priori, de caract´eristique nulle, ce qui signifie que le morphisme d’anneaux
k7→ k·1 de Zdans Kest injectif, ce qui est encore ´equivalent `a dire que l’´egalit´e kλ = 0 dans Kavec k∈Z
et λ∈K∗´equivaut `a k= 0.
Un corps de caract´eristique nulle est infini puisqu’il contient un sous-groupe isomorphe `a Z(et mˆeme un
sous-corps isomorphe `a Q).
Pour toute matrice A∈ Mn(K),on note tr (A) sa trace.
On pr´esente ici, sous forme d’exercices, quelques r´esultats sur les groupes finis de matrices.
Exercice 1 Soit Gun sous-groupe fini de GLn(K)de cardinal p≥2.
1. Montrer que B=1
pP
A∈G
Aest la matrice dans la base canonique de Knd’un projecteur.
2. Montrer que P
A∈G
tr (A)est un entier divisible par p.
3. Montrer que si P
A∈G
tr (A) = 0,alors P
A∈G
A= 0.
Solution 2
1. Il s’agit de montrer que B2=B.
On a :
B2=BB =1
pX
A∈G
BA
avec :
BA =1
pX
A0∈G
A0A=1
pX
A00 ∈G
A00 =B
du fait que l’application A07→ A0Ar´ealise une permutation de G, ce qui donne :
B2=1
pX
A∈G
B=B
2. La matrice B´etant celle d’un projecteur, on a tr (B) = rang (B) = dim (Im (B)) ∈Net en cons´equence
P
A∈G
tr (A) = ptr (B)est un entier divisible par p.
3. Si P
A∈G
tr (A) = 0,on a alors ptr (B) = 0 et rang (B) = tr (B)=0puisque Kest de caract´eristique
nulle, donc Im (B) = {0}et B= 0,soit P
A∈G
A= 0.
Exercice 3 Soit Fun sous-espace vectoriel de Mn(K)contenant Inet stable par le produit matriciel.
Montrer que G=F∩GLn(K)est un sous-groupe infini de GLn(K).
Solution 4 Gest infini puisqu’il contient toutes les homoth´eties λInde rapport λ∈K∗(Fest un espace
vectoriel qui contient Inet Kest infini).
Si A, B sont dans G, alors AB est ´egalement dans Gpuisque Fest stable par le produit matriciel. Il
reste `a montrer que si A∈G, alors A−1est dans F, ce qui r´esulte du fait que A−1est un polynˆome
en Apour A∈GLn(K).En effet, le th´eor`eme de Cayley-Hamilton nous dit que si P(X) =
n
P
k=0
αkXk
est le polynˆome caract´eristique de A, on a alors P(A) = 0 et avec α0= det (A)6= 0,on d´eduit que
A−1=−1
α0
n
P
k=1
αkAk−1∈Fpuisque Fcontient Inest stable par le produit et c’est un espace vectoriel.
Exercice 5 On se place sur Rnmuni du produit scalaire euclidien canonique not´e h· | ·i et on se donne G
un sous-groupe fini Gde GL (Rn).
1

1. Montrer que l’application :
ϕ: (x, y)7→ X
g∈G
hg(x)|g(y)i
d´efinit un produit scalaire sur Rn.
2. Montrer que pour tout g∈Get tous x, y dans Rn,on a :
ϕ(g(x), y) = ϕ¡x, g−1(y)¢
3. Montrer que si Fest un sous-espace vectoriel de Rnstable par tous les ´el´ements de G, il admet alors
un suppl´ementaire stable par tous les ´el´ements de G.
Solution 6
1. Comme une somme de produits scalaires est un produit scalaire, il suffit de montrer que pour tout
g∈G⊂GL (Rn),l’application (x, y)7→ hg(x)|g(y)id´efinit un produit scalaire sur Rn,ce qui r´esulte
du fait que gest un isomorphisme.
2. Pour g∈Get x, y dans Rn,on a :
ϕ(g(x), y) = X
u∈G
hu(g(x)) |u(y)i=X
u∈Gu◦g(x)|u◦g¡g−1(y)¢®
=X
v∈Gv(x)|v¡g−1(y)¢®=ϕ¡x, g−1(y)¢
du fait que l’application u7→ u◦gest une permutation de G.
3. Soient H=Fϕ,⊥le suppl´ementaire orthogonal de Fpour le produit scalaire ϕet g∈G.
Comme Fest stable par g, on a g(F) = F(g(F)⊂Fet l’´egalit´e par les dimensions car gest
un automorphisme) et g−1(F) = F. Il en r´esulte que pour tout x∈Het y∈F, on a ϕ(g(x), y) =
ϕ¡x, g−1(y)¢= 0 et g(x)∈H. On a donc g(H)⊂Het l’´egalit´e par les dimensions. L’espace vectoriel
Hest donc un suppl´ementaire de Fstable par G.
Exercice 7 Avec cet exercice, on propose une d´emonstration du th´eor`eme de r´eduction des matrices ortho-
gonales r´eelles. Ce r´esultat sera utile pour l’exercice qui suit.
On se place dans un espace euclidien Ede dimension n≥1.
Un endomorphisme u∈ L (E)est dit orthogonal si :
∀(x, y)∈E2,hu(x)|u(y)i=hx|yi.
On note O(E)l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que u∈ O (E)si, et seulement si, pour toute base orthonorm´ee Bde Ela matrice Ade udans
Best telle que AtA=tAA =In.Une telle matrice Aest dite orthogonale et on note On(R)le groupe
multiplicatif de toutes ces matrices orthogonales.
1. Montrer que pour tout endomorphisme ude Eil existe un sous espace vectoriel Pde Ede dimension
1ou 2stable par u.
2. Soit u∈ O (E).Montrer qu’il existe des sous espaces vectoriels de E, P1,· · · , Pr,de dimension ´egale
`a 1ou 2,deux `a deux orthogonaux, stables par uet tels que E=r ⊕
j=1Pj.
3. V´erifier que si A∈ On(R),on a alors det (A) = ±1et les seules valeurs propres r´eelles possibles de
Asont −1et 1.
4. Soit A=µa b
c d ¶∈ O2(R).Montrer que l’on a :
A=µcos (θ)−sin (θ)
sin (θ) cos (θ)¶ou A=µcos (θ) sin (θ) sin (θ)−cos (θ)¶
avec θ∈[0,2π[et que dans le deuxi`eme cas, Aest orthogonalement semblable `a µ1 0
0−1¶.
2

5. Soit A∈ On(R)avec n≥2.Montrer qu’il existe une matrice P∈ On(R)telle que :
P−1AP =
Ip0 0 0 ··· 0
0−Iq0.......
.
.
0 0 R10...0
0...0R2...0
.
.
.............0
0· · · 0 0 0 Rr
,
o`u, pour tout k∈ {1,· · · , r},on a not´e :
Rk=µcos (θk)−sin (θk)
sin (θk) cos (θk)¶
avec θk∈]0,2π[− {π}et p, q, r sont des entiers naturels tels p+q+ 2r=n(si l’un de ces entiers est
nul, les blocs de matrices correspondants n’existent pas).
Solution 8
1. Si ua une valeur propre r´eelle λ, alors pour tout vecteur propre associ´e x∈E\ {0},la droite D=Rx
est stable par u.
Sinon n≥2et le polynˆome minimal πuse d´ecompose dans l’anneau factoriel R[X]en produit de
facteurs irr´eductibles de degr´e 2(les valeurs propres de usont les racines de πu). Ce polynˆome πu
s’´ecrit donc πu(X) = ¡X2+bX +c¢Q(X)avec b2−4c < 0et Q(u)6= 0 (πuest le polynˆome non nul
de plus petit degr´e annulant u). De l’´egalit´e :
0 = πu(u) = ¡u2+bu +cId¢◦Q(u)
on d´eduit alors que l’endomorphisme u2+bu +cId n’est pas injectif, c’est-`a-dire que son noyau n’est
pas r´eduit `a {0}.Pour tout vecteur xnon nul dans ce noyau on v´erifie alors que P= Vect {x, u (x)}
est un sous espace vectoriel de dimension 2stable par u. En effet, Pest de dimension 2puisque x
n’est pas vecteur propre de uet avec u2(x) + bu (x) + cx = 0 on d´eduit que u2(x)est dans P, ce qui
entraˆıne que Pest stable par u.
2. On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension n≥1de E.
Pour n= 1 ou 2,le r´esultat est ´evident.
Supposons le acquis pour tout endomorphisme orthogonal sur un espace vectoriel euclidien de dimension
pcomprise entre 1et n−1,avec n≥3.
Si P1est un sous espace vectoriel de Enon r´eduit `a {0}de dimension au plus ´egale `a 2stable par
u∈ O (E),alors P⊥
1est stable par u. En effet u(P1)⊂P1et u∈GL (E)entraˆınent u(P1) = P1(un
isomorphisme conserve la dimension), donc tout y∈P1s’´ecrit y=u(x)avec x∈P1et pour tout
z∈P⊥
1,on a :
hu(z)|yi=hu(z)|u(x)i=hz|xi= 0
c’est-`a-dire que u(z)∈P⊥
1.
Comme 1≤n−2≤dim ¡P⊥
1¢≤n−1,on peut trouver des sous espaces vectoriels de E, P2,· · · , Pr,
de dimension au plus 2,deux `a deux orthogonaux et stables par la restriction de u`a P⊥
1,donc par u,
tels que P⊥
1=r
⊕
j=2Pj.On a alors E=P1⊕P⊥
1=r
⊕
j=1Pj.
3. Pour tout A∈ On(R),on a AtA=Inet det ¡AtA¢= (det (A))2= 1,donc det (A) = ±1.
Si λest une valeur propre r´eelle de Aet xun vecteur propre associ´e unitaire de kAxk=kxk,on
d´eduit que λ=±1.
4. Pour A=µa b
c d ¶∈ O2(R),les ´egalit´es AtA=Inet det (A) = ±1se traduisent par :
a2+b2=c2+d2= 1,
ac +bd = 0
ad −bc =±1
3

Des deux premi`eres ´egalit´es, on d´eduit qu’il existe deux r´eels αet βtels que (a, b) = (cos (α),sin (α))
et (c, d) = (cos (β),sin (β)) et avec les deux derni`eres, qu’on a cos (α−β)=0et sin (α−β) = ±1.
On a donc β=α±π
2.
Pour β=α+π
2,on a :
A=µcos (α) sin (α)
−sin (α) cos (α)¶=µcos (θ)−sin (θ) sin (θ) cos (θ)¶
avec θ=−α+ 2kπ ∈[0,2π[.
Pour β=α−π
2,on a :
A=µcos (α) sin (α)
sin (α)−cos (α)¶=µcos (θ) sin (θ) sin (θ)−cos (θ)¶
avec θ=−α+ 2kπ ∈[0,2π[.Cette matrice est sym´etrique, donc A2=AtA=Inet elle est diagona-
lisable puisque annul´ee par X2−1qui est scind´e `a racines simples dans R.Comme A6=±In,elle est
orthogonalement semblable `a µ1 0
0−1¶.Ce que l’on peut v´erifier avec :
µcos ¡θ
2¢−sin ¡θ 2¢
sin ¡θ
2¢cos ¡θ 2¢¶µ 1 0
0−1¶µ cos ¡θ
2¢sin ¡θ 2¢
−sin ¡θ
2¢cos ¡θ 2¢¶=µcos (θ) sin (θ)
sin (θ)−cos (θ)¶
5. On proc`ede par r´ecurrence sur n≥2.
Pour n= 2,c’est fait.
Supposons le r´esultat acquis pour toute matrice orthogonale d’ordre pcompris entre 2et n−1et soit
Aune matrice orthogonale d’ordre n≥3.
On d´esigne par ul’endomorphisme orthogonal ayant Apour matrice dans la base canonique de E=Rn
muni de sa structure euclidienne canonique.
Si uadmet 1ou −1comme valeur propre, pour tout vecteur propre unitaire xassoci´e `a cette va-
leur propre, le sous espace vectoriel (Rx)⊥est stable par u(pour y∈(Rx)⊥,on a hu(y)|xi=
± hu(y)|u(x)i=± hy|xi= 0) et il existe alors une base orthonorm´ee Bde (Rx)⊥dans laquelle la
matrice de la restriction de u`a (Rx)⊥est de la forme :
A0=
Ip0 0 0 · · · 0
0−Iq0.......
.
.
0 0 R10...0
0...0R2...0
.
.
.............0
0· · · 0 0 0 Rr
.
Dans la base orthonorm´ee {x} ∪ B la matrice de uest A00 =µ±1 0
0A0¶,qui se ram`ene bien `a la
forme souhait´ee en permuttant au besoin xavec l’un des vecteurs de B.
Si toutes les valeurs propres de usont complexes non r´eelles, on a alors une d´ecomposition E=r ⊕
k=1Pk
o`u les Pksont de dimension 2,deux `a deux orthogonaux et stables par u. L’´etude du cas n= 2 nous
dit alors qu’il existe, pour tout kcompris entre 1et r, une base orthonorm´ee Bkde Pkdans laquelle
la matrice de uest de la forme :
Rk=µcos (θk)−sin (θk)
sin (θk) cos (θk)¶,
avec θk∈]0,2π[− {π}.En r´eunissant toutes ces bases, on obtient une base orthonorm´ee de Edans
4

laquelle la matrice de uest :
A0=
R10· · · 0
0R2....
.
.
.
.
.......0
0· · · 0Rr
.
Exercice 9 Soit Gun sous-ensemble de On(R).Montrer que s’il existe m∈N∗tel que Am=Inpour tout
A∈G(dans le cas o`u Gest un groupe, on dit qu’il est d’exposant fini), alors l’ensemble :
tr (G) = {tr (A)|A∈G}
est fini.
Solution 10 On sait que toute matrice A∈On(R)est orthogonalement semblable `a une matrice diagonale
par blocs de la forme :
D= diag (Ip,−Iq, R1,··· , Rr)
o`u Rk=µcos (θk)−sin (θk)
sin (θk) cos (θk)¶avec θk∈]0,2π[− {π}.
Dans le cas o`u toute matrice de Gest orthogonalement semblable `a une matrice de la forme diag (Ip,−Iq),
on a :
tr (G)⊂©p−q|(p, q)∈N2et p+q=nª
et cet ensemble est fini.
S’il existe dans Gune matrice Aorthogonalement semblable `a une matrice de la forme D= diag (Ip,−Iq, R1,· · · , Rr),
alors la matrice Amest semblable `a :
Dm= diag (Ip,(−1)mIq, R (mθ1),· · · , R (mθr))
et la condition Am=Inimpose mθk∈]0,2mπ[∩2πZ,ce qui entraˆıne que les θkne prennent qu’un nombre
fini de valeurs et :
tr (G)⊂(p−q+ 2
r
X
k=1
cos (θk)|(p, q, r)∈N3, p +q+ 2r=n, mθk∈]0,2mπ[∩2πZ)
est fini.
Exercice 11 On se propose de montrer que si Gest un sous-groupe de On(R)tel que tr (G)soit fini, alors
Gest fini.
Soient Gun sous-groupe de On(R), F le sous-espace vectoriel de Mn(R)engendr´e par Get B= (Ai)1≤i≤p
une base de Fextraite de G.
1. Montrer que l’application (A, B)7→ hA|Bi= tr ¡AtB¢d´efinit un produit scalaire sur Mn(R).
2. Montrer que la matrice B=¡¡tr ¡AitAj¢¢¢1≤i,j≤pest inversible dans Mp(R).
3. Montrer que si tr (G)est fini, alors Gest fini.
4. Le r´esultat de la question pr´ec´edente est-il encore vrai pour un sous-groupe de GLn(R)?
Solution 12
1. On v´erifie facilement que l’application h· | ·i est bilin´eaire (lin´earit´e de la trace et de la transposition et
bilin´earit´e du produit) et sym´etrique (tr ¡BtA¢= tr ¡t¡BtA¢¢= tr ¡AtB¢). Pour A= ((aii))1≤i,j≤n
dans Mn(R),on a :
hA|Ai= tr ¡AtA¢=
n
X
i=1 ¡¡AtA¢¢ii
=
n
X
i=1
(ai1,· · · , ain)t(ai1,· · · , ain)
=
n
X
i=1
n
X
j=1
a2
ij
5