1. Montrer que l’application :
ϕ: (x, y)7→ X
g∈G
hg(x)|g(y)i
d´efinit un produit scalaire sur Rn.
2. Montrer que pour tout g∈Get tous x, y dans Rn,on a :
ϕ(g(x), y) = ϕ¡x, g−1(y)¢
3. Montrer que si Fest un sous-espace vectoriel de Rnstable par tous les ´el´ements de G, il admet alors
un suppl´ementaire stable par tous les ´el´ements de G.
Solution 6
1. Comme une somme de produits scalaires est un produit scalaire, il suffit de montrer que pour tout
g∈G⊂GL (Rn),l’application (x, y)7→ hg(x)|g(y)id´efinit un produit scalaire sur Rn,ce qui r´esulte
du fait que gest un isomorphisme.
2. Pour g∈Get x, y dans Rn,on a :
ϕ(g(x), y) = X
u∈G
hu(g(x)) |u(y)i=X
u∈Gu◦g(x)|u◦g¡g−1(y)¢®
=X
v∈Gv(x)|v¡g−1(y)¢®=ϕ¡x, g−1(y)¢
du fait que l’application u7→ u◦gest une permutation de G.
3. Soient H=Fϕ,⊥le suppl´ementaire orthogonal de Fpour le produit scalaire ϕet g∈G.
Comme Fest stable par g, on a g(F) = F(g(F)⊂Fet l’´egalit´e par les dimensions car gest
un automorphisme) et g−1(F) = F. Il en r´esulte que pour tout x∈Het y∈F, on a ϕ(g(x), y) =
ϕ¡x, g−1(y)¢= 0 et g(x)∈H. On a donc g(H)⊂Het l’´egalit´e par les dimensions. L’espace vectoriel
Hest donc un suppl´ementaire de Fstable par G.
Exercice 7 Avec cet exercice, on propose une d´emonstration du th´eor`eme de r´eduction des matrices ortho-
gonales r´eelles. Ce r´esultat sera utile pour l’exercice qui suit.
On se place dans un espace euclidien Ede dimension n≥1.
Un endomorphisme u∈ L (E)est dit orthogonal si :
∀(x, y)∈E2,hu(x)|u(y)i=hx|yi.
On note O(E)l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que u∈ O (E)si, et seulement si, pour toute base orthonorm´ee Bde Ela matrice Ade udans
Best telle que AtA=tAA =In.Une telle matrice Aest dite orthogonale et on note On(R)le groupe
multiplicatif de toutes ces matrices orthogonales.
1. Montrer que pour tout endomorphisme ude Eil existe un sous espace vectoriel Pde Ede dimension
1ou 2stable par u.
2. Soit u∈ O (E).Montrer qu’il existe des sous espaces vectoriels de E, P1,· · · , Pr,de dimension ´egale
`a 1ou 2,deux `a deux orthogonaux, stables par uet tels que E=r
⊕
j=1Pj.
3. V´erifier que si A∈ On(R),on a alors det (A) = ±1et les seules valeurs propres r´eelles possibles de
Asont −1et 1.
4. Soit A=µa b
c d ¶∈ O2(R).Montrer que l’on a :
A=µcos (θ)−sin (θ)
sin (θ) cos (θ)¶ou A=µcos (θ) sin (θ)
sin (θ)−cos (θ)¶
avec θ∈[0,2π[et que dans le deuxi`eme cas, Aest orthogonalement semblable `a µ1 0
0−1¶.
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