Défi n°7 Cycle II Ian, qui est en CE1, lance un défi à ses copains : Je suis un nombre entier compris entre 100 et 999. Le produit de mon chiffre des centaines par mon chiffre des unités est égal au produit de mon chiffre des dizaines par luimême. Trouve tous les nombres qui conviennent ! Il ajoute : « Je vais vous aider un peu : il y a en tout entre 20 et 30 nombres ! » Réponses : De la première condition, il découle en particulier que le chiffre c des centaines est au minimum 1. De la seconde, il découle que les chiffres d des dizaines et u des unités peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9 telles que c x u = d x d. D’où Si d = 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Si d = 1 111 Si d = 2 124 222 421 Si d = 3 139 333 931 Si d = 4 248 444 842 Si d = 5 555 Si d = 6 Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B. 1 469 666 964 Si d = 7 777 Si d = 8 888 Si d = 9 999 Défi n°7 Cycle III Un nombre grimpant est un nombre entier dont les chiffres, tous différents, sont écrits , de la gauche vers la droite, dans l’ordre croissant Ainsi : 358 est un nombre grimpant à trois chiffres mais pas 385, ni 388. 2 479 est un nombre grimpant à quatre chiffres.mais pas 2 749, ni 2 799. Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à deux chiffres. Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à trois chiffres. Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à cinq chiffres. Combien y a-t-il de nombres grimpants à deux chiffres ? et …à trois chiffres ? Au bout d’un moment, Elisabeth dit « Allez, j’ai une idée … je vais vous aider un peu …il y a autant de nombres grimpants entre 300 et 400 qu’entre 40 et 99 ou même qu’entre 2 300 et 2 400 ! » « Bravo ! » ajoute la maîtresse. Explique pourquoi. Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B. 2 Déduis-en, sans établir leur liste, combien il y a de nombre grimpants à trois chiffres. Même question pour les nombres grimpants à quatre chiffres, puis à cinq chiffres. Combien y a-t-il de nombres grimpants à 9 chiffres ? à 8 chiffres ? Réponses : Nombre de chiffres 2 12 89 Plus petit Plus grand 3 123 789 5 12345 56789 Nombres grimpants à 2 chiffres ; 12 13 14 15 16 17 18 19 23 24 25 26 27 28 29 34 35 36 37 38 39 45 46 47 48 49 56 57 58 59 67 68 69 78 79 : : : 89 Le nombre de nombres grimpants à 2 chiffres est donc : S2= 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B. 3 Nombres grimpants à 3 chiffres ; Pour la tranche 100 à 200 : 123 124 125 126 127 128 129 134 135 136 137 138 139 145 146 147 148 149 156 157 158 159 167 168 169 178 179 189 On constate, même si c’est un peu laborieux ; qu’il y a autant de nombres grimpants entre 100 et199 qu’entre 20 et 99, soit 28.. D’où l’observation d’Elisabeth…entre 300 et 400, on démarre à 345 pour arriver à 389, càd comme de 40 à 99 ou de …2300 à 2400.où on démarre à 2345 pour arriver à 2389. Le nombre de nombres grimpants à 3 chiffres est donc : S3 = (7+6+5+4+3+2+1) + (6+5+4+3+2+1) + (5+4+3+2+1) + (4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + 1 = 84 Nombres grimpants à 4 chiffres ; De 1200 à 1300, c’est comme de 30 à 99 De 1300 à 1400, c’est comme de 40 à 99 ……………………………………… De 1700 à 1800, c’est comme de 80 à 99 Donc de 1000 à 2000, il y a 21 + 15 + 10 grimpants. soit 21 soit 15 soit 1 + 6 + 3 + 1 = 56 nombres De 2300 à 2400, c’est comme de 40 à 99 soit 15 …………………………………………… De 2700 à 2800, c’est comme de 80 à 99 soit 1 Donc de 2000 à 3000, il y a 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35 nombres grimpants. De même de 3000 à 4000, il y en a 20 …………………………… De 6000 à 7000, il y en 1 ; Finalement, de 1000 à 9999, il y a S4 = 56 + 35 + + 20 + 10 + 4 + 1 = 126 nombres grimpants à 4 chiffres. Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B. 4 36, 84, 126 : une suite de nombres qui croît… Et pour 5 chiffres, on trouve, de même 126, nombres grimpants, de 12345 à 56789 : la suite fait une pause, pour ensuite, curieusement peut-être, décroître… Pour 8 chiffres, il y en a 9, c’est à vérifier : 23456789 13456789 12456789 12356789 12346789 12345789 12345689 12345679 12345678 Pour 9 chiffres, il n’y en a plus qu’un ! C’est 123456789. ! Résumons… n chiffres Sn 2 3 4 5 6 7 8 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B. 5