La forêt amazonienne constitue une réserve de biodiversité unique

Défi n°7 Cycles II & III – 04/01/10 – B.L. IEN MONTAUBAN, L.D, J.B.
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Défi n°7 Cycle II
Ian, qui est en CE1, lance un défi à ses copains :
 Je suis un nombre entier compris entre 100 et 999.
 Le produit de mon chiffre des centaines par mon chiffre des
unités est égal au produit de mon chiffre des dizaines par lui-
même.
Trouve tous les nombres qui conviennent !
Il ajoute : « Je vais vous aider un peu : il y a en tout entre 20 et 30
nombres ! »
Réponses :
De la première condition, il découle en particulier que le chiffre c des
centaines est au minimum 1.
De la seconde, il découle que les chiffres d des dizaines et u des unités
peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9 telles que c x u = d x d.
D’où
Si d = 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Si d = 1
111
Si d = 2
124 222 421
Si d = 3
139 333 931
Si d = 4
248 444 842
Si d = 5
555
Si d = 6

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469 666 964
Si d = 7
777
Si d = 8
888
Si d = 9
999
Défi n°7 Cycle III
Un nombre grimpant est un nombre entier dont les chiffres, tous
différents, sont écrits , de la gauche vers la droite, dans l’ordre
croissant
Ainsi :
358 est un nombre grimpant à trois chiffres mais pas 385, ni 388.
2 479 est un nombre grimpant à quatre chiffres.mais pas 2 749, ni
2 799.
Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à deux
chiffres.
Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à trois
chiffres.
Trouve le plus petit (puis le plus grand) nombre grimpant à cinq
chiffres.
Combien y a-t-il de nombres grimpants à deux chiffres ? et …à trois
chiffres ?
Au bout d’un moment, Elisabeth dit « Allez, j’ai une idée … je vais
vous aider un peu …il y a autant de nombres grimpants entre 300 et
400 qu’entre 40 et 99 ou même qu’entre 2 300 et 2 400 ! »
« Bravo ! » ajoute la maîtresse.
Explique pourquoi.

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Déduis-en, sans établir leur liste, combien il y a de nombre grimpants
à trois chiffres.
Même question pour les nombres grimpants à quatre chiffres, puis à
cinq chiffres.
Combien y a-t-il de nombres grimpants à 9 chiffres ? à 8 chiffres ?
Réponses :
Nombre de chiffres
2
3
5
Plus petit
12
123
12345
Plus grand
89
789
56789
Nombres grimpants à 2 chiffres ;
12 13 14 15 16 17 18 19
23 24 25 26 27 28 29
:
34 35 36 37 38 39
:
45 46 47 48 49
:
56 57 58 59
67 68 69
78 79
89
Le nombre de nombres grimpants à 2 chiffres est donc :
S2= 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36

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Nombres grimpants à 3 chiffres ;
Pour la tranche 100 à 200 :
123 124 125 126 127 128 129 134 135 136 137 138 139
145 146 147 148 149 156 157 158 159 167 168 169 178
179 189
On constate, même si c’est un peu laborieux ; qu’il y a autant de
nombres grimpants entre 100 et199 qu’entre 20 et 99, soit 28..
D’où l’observation d’Elisabeth…entre 300 et 400, on démarre à 345
pour arriver à 389, càd comme de 40 à 99 ou de …2300 à 2400.où on
démarre à 2345 pour arriver à 2389.
Le nombre de nombres grimpants à 3 chiffres est donc :
S3 = (7+6+5+4+3+2+1) + (6+5+4+3+2+1) + (5+4+3+2+1) +
(4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + 1 = 84
Nombres grimpants à 4 chiffres ;
De 1200 à 1300, c’est comme de 30 à 99 soit 21
De 1300 à 1400, c’est comme de 40 à 99 soit 15
………………………………………
De 1700 à 1800, c’est comme de 80 à 99 soit 1
Donc de 1000 à 2000, il y a 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56 nombres
grimpants.
De 2300 à 2400, c’est comme de 40 à 99 soit 15
……………………………………………
De 2700 à 2800, c’est comme de 80 à 99 soit 1
Donc de 2000 à 3000, il y a 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35 nombres
grimpants.
De même de 3000 à 4000, il y en a 20
……………………………
De 6000 à 7000, il y en 1 ;
Finalement, de 1000 à 9999, il y a S4 = 56 + 35 + + 20 + 10 + 4 + 1 =
126 nombres grimpants à 4 chiffres.

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36, 84, 126 : une suite de nombres qui croît…
Et pour 5 chiffres, on trouve, de même 126, nombres grimpants, de
12345 à 56789 : la suite fait une pause, pour ensuite, curieusement
peut-être, décroître…
Pour 8 chiffres, il y en a 9, c’est à vérifier :
23456789
13456789
12456789
12356789
12346789
12345789
12345689
12345679
12345678
Pour 9 chiffres, il n’y en a plus qu’un ! C’est 123456789. !
Résumons…
n
chiffres
2
3
4
5
6
7
8
9
Sn
36
84
126
126
84
36
9
1