Teddy Mignot

UTILISATION DES REVˆ ETEMENTS
POUR LA R ´ ESOLUTION DU PROBL ` EME
INVERSE DE GALOIS
Sous la direction de Monsieur
Kenji Iohara
Teddy Mignot
Ann´ee universitaire 2010-2011

Table des mati`eres
I GROUPES FONDAMENTAUX ET REVˆ ETEMENTS
3
1 Groupe fondamental 5
1.1 D´efinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Le groupe fondamental d’un espace num´erique . . . . . 11
1.2.2 Le groupe fondamental du cercle S1.......... 11
1.2.3 Le th´eor`eme de Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Le groupe fondamental des espaces projectifs . . . . . . 16
1.2.5 Le groupe fondamental des groupes classiques . . . . . 18
1.3 Quelques exemples illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Letore........................... 21
1.3.2 Une surface de genre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 La bouteille de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Revˆetements 34
2.1 D´efinitions et constructions des revˆetements . . . . . . . . . . 34
2.2 Revˆetements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Revˆetements et groupes fondamentaux 45
3.1 Groupes fondamentaux des revˆetements . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Quelques rappels de th´eorie de Galois . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Revˆetements/extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II SURFACES DE RIEMANN 56
4 Revˆetements des surfaces de Riemann 60
4.1 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Revˆetements des surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 67
1

4.3 Revˆetements du disque unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Prolongements des revˆetements non ramifi´es 73
6 Correspondance revˆetements/extensions 77
6.1 Fonctions alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Correspondance.......................... 80
6.3 Application `a la sph`ere de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 81
A Liste des groupes fondamentaux 84
A.1 Groupe fondamental des espaces topologiques familiers : . . . 84
A.2 Groupe fondamental des groupes classiques : . . . . . . . . . . 85
2

PARTIE I
GROUPES
FONDAMENTAUX ET
REVˆ ETEMENTS
3

Dans ce premier chapitre certains r´esutats, seront admis. Les d´emontrer
demanderait trop de temps et nous ´eloignerait du sujet qui nous int´eresse. Le
lecteur pourra trouver des d´emonstrations compl´ementaires dans l’ouvrage
de Claude Godbillon, [G], dont ce chapitre est inspir´e.
4