06 Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans

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Chapitre 6 : Les polynômes formels
à une indéterminée à coecients
dans un corps K
Dans ce chapitre, (K,+,ˆ)désigne un corps (commutatif) quelconque.
ILa construction
A) Étape 1
‚Soit PKl’ensemble des suites d’éléments de K, indexées pas Net nulles à partir d’un certain rang.
C’est-à-dire que PKest l’ensemble des aPKNtelles que DNPN,@nąN, an= 0K.
‚On peut dénir deux lois +et ˆde la manière suivante : pour tous P= (ai)iPN, Q = (bi)iPNPPK,
on pose :
P+Q= (ai+bi)iPN(6.1)
et
PˆQ= (pk)kPN(6.2)
où
@kPN, pk=ÿ
i+j=k
aibj=
k
ÿ
i=0
aibk´i(6.3)
Alors +et ˆconstituent des lois de composition internes sur PK, et (PK,+,ˆ)est un anneau commutatif.
Démonstration :
‚Déjà, +est bien une loi de composition interne sur PK.
En eet, si P= (ai)iPN,Q= (bi)iPNPPK, alors il existe nPNtel que @iąn, ai= 0Ket mPN
tel que @iąm, bi= 0K. Donc @iąmax(n, m), ai+bi= 0K. Donc P+Qest nulle à partir d’un
certain rang, donc P+QPPK.
‚Montrons que ˆest une loi de composition interne sur PK.
Soient P= (ai)iPN, Q = (bi)iPNPPK,nPNtel que @iąn, ai= 0Ket mPNtel que @iąm, bi= 0K.
Notons enn PˆQ= (pk)kPN. Alors @kąn+m,pk= 0K. En eet, soit kąn+m. Alors pour tout
(i, j)PN2, si i+j=k, alors iąmou jąn(car sinon jďnet iďm, et alors i+jďm+năk).
Donc ai= 0Kou bj= 0K, soit aibj= 0K. Donc pk=ři+j=kaibj= 0K. Donc PˆQPPK.
‚+n’est autre que la restriction à PKde la loi +sur KN. Donc +est associative et commutative. De
plus, la suite (0K)kPNest évidemment neutre pour +et appartient à PK. Et enn, si P= (ai)iPNP
PK, alors Q= (´ai)iPNPPKet P+Q= (0K)kPN.
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1 Ismaël Bouya

I. LA CONSTRUCTION CHAPITRE 6. POLYNÔMES FORMELS…
‚Pour ˆ:ˆest évidemment commutative (car ˆest commutative sur le corps K). Il existe un
neutre pour ˆ, c’est U= (1K,0K,0K. . .).
En eet, notons U= (ui)iPNavec u0= 1Ket @iě1, ui= 0K. Soit alors P= (ai)iPNPPK. Alors
P U = (pk)kPN, où pk=ři+j=kaiuj=aku0=akˆ1K=ak. Donc P U =P, et par commutativité
UP =P, donc Uest bien neutre pour ˆ.
Distributivité de ˆsur +: soient P= (ai)iPN, Q = (bi)iPN, R = (ci)iPNPPK. Alors Pˆ(Q+R) =
(pk)kPN, où, pour tout kPN(par distributivité dans le corps K, et associativité et commutatitivé
de +dans K) :
pk=ÿ
i+j=k
ai(bj+cj) = ÿ
i+j=k
aibj+aicj) = ÿ
i+j=k
aibj+ÿ
i+j=k
aicj,(6.4)
et PˆQ+PˆR= (qk)kPN, où, pour tout kPN:
qk=ÿ
i+j=k
aibj+ÿ
i+j=k
aicj.(6.5)
Donc Pˆ(Q+R) = PˆQ+PˆR, et (Q+R)ˆP=Pˆ(Q+R) = PˆQ+PˆR=QˆP+RˆP.
Associativité de ˆ: soient P= (ai)iPN, Q = (bi)iPN, R = (ci)iPNPPK. Alors PˆQ= (pk)kPN, où,
pour tout kPN,pk=ři+j=kaibj, et (PˆQ)ˆR= (ql)lPN, où, pour tout lPN,ql=řk+s=lpkcs.
Donc (toujours par distributivité dans le corps K, et associativité et commutatitivé de +dans K)
ql=ÿ
k+s=l ÿ i+j=k
aibjcs=ÿ
k+s=lÿ
i+j=k
aibjcs=ÿ
i+j+s=l
aibjcs.(6.6)
Par ailleurs, on a de même Pˆ(QˆR) = (rl)lPN, où, pour tout lPN:
rl=ÿ
i+j+s=l
aibjcs.(6.7)
D’où Pˆ(QˆR) = (PˆQ)ˆR, et le résultat par commutativité de ˆ.
Donc (PK,+,ˆ)est bien un anneau commutatif.
B) Étape 2 : plongement de Kdans PK
Soit
φ:KÝÑ PK
λÞÝÑ φ(λ) = (λ, 0K,0K, . . .)noté ˆ λ
.(6.8)
Alors φest un morphisme injectif d’anneaux :
‚φ(λ+µ) = (λ+µ, 0K,0K. . .) = (λ, 0K,0K. . .)+(µ, 0K,0K. . .) = φ(λ) + φ(µ)
‚φ(λµ) = (λµ, 0K,0K. . .) = (λ, 0K,0K. . .)(µ, 0K,0K. . .) = φ(λ)φ(µ)
Justication de la deuxième égalité :
(λ, 0K,0K. . .)
looooooomooooooon
(ai)iPN
(µ, 0K,0K. . .)
looooooomooooooon
(bi)iPN
= (ck)kPN,(6.9)
avec ck=ři+j=kaibj. Donc ck=a0b0=λµ si k= 0 et ck= 0Ksinon.
‚φ(1K) = (1K,0K,0K, . . .) = 1PK
‚Enn, si (λ, 0K,0K. . .) = (µ, 0K,0K. . .), alors évidemment λ=µ.
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CHAPITRE 6. POLYNÔMES FORMELS… I. LA CONSTRUCTION
Par conséquent, φ(K)est un sous anneau de PK, isomorphe à l’anneau (K,+,ˆ). (On dit qu’« il y a une
copie de Kdans PK») On va identier cette copie à K, c’est-à-dire identier, pour chaque λPK,λet ˆ λ.
Ainsi, pour λ, µ PKet P, Q PPK(avec ˆ λ= (ui)iPN,P= (ai)iPN) :
‚λP =ˆ λP = (λ, 0K,0K, . . .)P= (ck)kPNoù ck=ři+j=kuiaj=λak. Donc λP = (λa0, λa1, λa2, . . .) =
(λai)iPN.
‚(λ+µ)P=λP +µP .
‚λ(P+Q) = λP +λQ.
‚(λµ)P=λ(µP ).
‚1KˆP=ˆ 1KˆP= 1PKˆP=P
Les éléments de Kseront appelés des scalaires.
C) Étape 3 : introduction de l’indéterminée
Soit Xl’élément de PKdéni par :
X= (0K,1K,0K,0K, . . .),(6.10)
c’est-à-dire X= (δi)iPNoù δ1= 1Ket @kPNzt1u, δk= 0K. Alors @kPN, Xk= (u(k)
i)iPNoù u(k)
k= 1Ket
@iPNztku, u(k)
i= 0K.
Démonstration :
Par récurrence sur k:
‚Pour k= 0 :X0= 1PK= (1K,0K,0K. . .).
‚Soit kPN, supposons que Xk= (u(k)
i)iPNoù u(k)
k= 1Ket @iPNztku, u(k)
i= 0K. Alors Xk+1 =
XkX= (ci)iPN, où
@iPN, ci=ÿ
α+β=i
u(k)
αδβ=$
&
%
u(k)
i´1δ1si i‰0
u(k)
0δ0= 0 si i= 0 .(6.11)
Soit, pour i‰0,
ci=u(k)
i´1=$
&
%
0si i‰k+ 1
1si i=k+ 1 .(6.12)
Donc Xk+1 = (u(k+1)
i)iPN.
Théorème (fondamental) :
Soit PPPK. Alors Ps’écrit de manière unique sous la forme :
P=ÿ
kPN
akXk(6.13)
où les aksont des scalaires, nuls à partir d’un certain rang.
Démonstration :
Soit PPPK.
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I. LA CONSTRUCTION CHAPITRE 6. POLYNÔMES FORMELS…
‚Ps’écrit P= (ak)kPN, suite d’éléments de Knulle à partir d’un certain rang, disons à partir du
rang n+ 1. On a aussi :
P= (a0, a1, . . . an,0K,0K. . .)
= (a0,0K,0K. . .) + (0K, a1,0K,0K. . .)
+. . . + (0K,0K, . . . 0K, an,0K,0K. . .)
=a0(1K,0K,0K. . .) + a1(0K,1K,0K,0K. . .)
+. . . +an(0K,0K, . . . 0K,1K,0K,0K. . .)
=a0X0+a1X1+. . . +anXn
(6.14)
D’où l’existence de Psous la forme řkPNakXkoù les aksont nuls à partir d’un certain rang.
‚Unicité de l’écriture : si řkPNakXk=řkPNbkXk, où les aket les bksont nuls à partir d’un certain
rang, alors (ak)kPN=řkPNakXk=řkPNbkXk= (bk)kPN.
Vocabulaire :
‚Les éléments de PKseront toujours notés sous la forme řkPNakXk, où les aksont des éléments de
Knuls à partir d’un certain rang (on oublie la forme (ak)kPN). Ils sont appelés polynômes formels
à une indéterminée à coecients dans K.
‚Le polynôme Xest appelé l’indéterminée.
‚L’ensemble PKdes polynômes à une indéterminée à coecients dans Kest noté K[X].
D) Étape 4 : conclusion, récapitulation
‚Tout PPK[X]s’écrit de manière unique sous la forme P=řkPNakXkoù les aksont des éléments
de Knuls à partir d’un certain rang. Ainsi, řkPNakXk=řkPNbkXkùñ @kPN, ak=bk.
‚(K[X],+,ˆ)est un anneau, dont Kest un sous anneau.
‚Si P=řiPNaiXi, et Q=řiPNbiXioù les aisont nuls à partir du rang n+ 1 et les bià partir du
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CHAPITRE 6. POLYNÔMES FORMELS… II. DEGRÉ
rang m+ 1, alors :
P=
n
ÿ
i=0
aiXi,(6.15)
Q=
m
ÿ
i=0
biXi,(6.16)
P+Q=
n
ÿ
i=0
aiXi+
m
ÿ
i=0
biXi
=
N
ÿ
i=0
aiXi+biXi=
N
ÿ
i=0
(ai+bi)Xi,où N=max(n, m),(6.17)
PˆQ=n
ÿ
i=0
aiXi n
ÿ
i=0
biXi=ÿ
iPJ0,nK,
jPJ0,mK
(aiXi)(bjXj)
=ÿ
iPJ0,nK,
jPJ0,mK
aibjXi+j=
n+m
ÿ
k=0 ÿ
iPJ0,nK,jPJ0,mK,
i+j=k
aibjXi+j
=
n+m
ÿ
k=0 ÿ
iPJ0,nK,jPJ0,mK,
i+j=k
aibjXk
=
n+m
ÿ
k=0
ckXk,où ck=ÿ
i+j=k
aibj.(6.18)
II Degré
A) Dénition
Soit PPK[X],P=řiPNaiXioù les aisont des éléments de Knuls à partir d’un certain rang.
‚Si P= 0K[X], c’est-à-dire P= 0Kou P= 0. Alors @iPN, ai= 0K. On dit alors que Pest de degré
´8.
‚Sinon, P‰0K[X]et donc il existe iPNtel que ai‰0K. On peut alors introduire n=maxtiP
N, ai‰0Ku(puisque l’ensemble est non vide, et majoré car les aisont nuls à partir d’un certain
rang). nest appelé le degré de P, noté deg P.
Ainsi, pour tout PPK[X], deg PPNY t´8u, et on a l’équivalence :
P‰0K[X]ðñ deg PPN.(6.19)
Les polynômes de degré 0sont exactement les λPKzt0Ku
Les polynômes de degré 1sont exactement les aX +bavec a‰0
Les polynômes de degré nsont exactement les řn
i=0 aiXiavec an‰0.
Les polynômes de degré ďnsont exactement les řn
i=0 aiXi.
L’ensemble de ces derniers est noté Kn[X]; en particulier, K0[X]n’est autre que K, ensemble des
polynômes constants.
B) Propriétés
Soient P, Q PK[X]et λPK. Alors :
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