Modèle mathématique.

I] Loi uniforme sur [0 ; 1] :
Probabilité Intervalle :
1,055,0;45,0p
4
1
4
1
;0p
2
1
2
1
;0p
1;0a
et
1;0b
abb,ap 
.
Notion de Densité :
Lois Continues

On cherche
IR
.
abdxdx)x(f b
a
b
a 
. On
doit donc avoir
1abab 
.
1;0a
et
1;0b
avec
ba 
.
abdx1b;ap b
a 
.
II] Loi de probabilité continue :
Les issues d’une expérience, où les valeurs prises par une variable aléatoire peuvent être
n’importe quel réel d’un intervalle donné comme :
- durée d’une communication
- temps d’attente
- durée de vie d’un composant électronique
Les événements intéressants sont ici des intervalles. On cherche à définir la probabilité d’un
intervalle.
Soit I un intervalle de
IR
.
On appelle densité de probabilité sur I toutes les fonctions f définies sur I et vérifiant :
- f est continue sur I
- f est positive sur I
- l’aire du domaine associée à f sur I vaut 1.
On définit alors la loi de probabilité associée à f sur I par :
Ia 
,
Ib
avec
ba 
.
b
adx)x(fb;ap
.
Cette loi de probabilité est continue.
Exemple 1 : avec I borné.
1;1I 
, f est définie sur I par
x1)x(f 
.
0
a
b
1
0
1
1
a
b

f est continue et positive sur I. Et l’aire du domaine associé à f sur I vaut 1.
Donc f est une densité de probabilité sur
1;1
.
Calculons
32
0
0
31
32
31 dxx1dxx1dx)x(f
3
2
;
3
1
p
18
13
9
2
3
2
18
1
3
1
2
9
4
3
2
2
9
1
3
1
2
x
x
2
x
x
dxx1dxx1
3
2
0
2
0
3
1
2
32
0
0
31
Exemple 2 : avec I non borné.
,1I
X est la variable aléatoire prenant ses valeurs dans I. Dont la loi de probabilité admet sur cet
intervalle la densité g définie par
2
x
1
)x(g 
.
1) Justifier que cette loi existe (que g est bien une densité de probabilité).
2) Calculer
2Xp 
(deux méthodes).
1)
- g est continue sur I
- g est positive sur I
- démontrons que
1dx)x(glim 1
1
1
1
x
1
dx
x
1
dx)x(g 1
2
12 1

1
1
1limdx)x(glim 1
car
0
1
lim 
Donc l’aire du domaine associé à g sur
;1
vaut 1.
g est donc bien une densité de probabilité.
2)
 ;2p2Xp
1ère méthode :
2
 2dx)x(glim2Xp
2
11
x
1
dx)x(g 2
2
2
1
dx)x(glim2Xp 2 
2ème méthode :
2Xp12Xp 
2Xp1 
car
02Xp 
car X suit une loi de probabilité continue.
2
1
1
2
1
1
x
1
1
dx)x(g1
2
1
2
1
III] Deux exemples de lois continues :
1) La loi uniforme :
On choisit au hasard un nombre x d’un intervalle
IRb;a 
avec
ba 
.
On modélise ce choix par la loi de probabilité dont la densité de probabilité f est définie sur
b;a
par
ab 1
)x(f 
.
Cette loi s’appelle la loi uniforme sur
b;a
. X suit la loi uniforme sur
b;a
.
b;a
,
b;a
avec .
ab
dx
ab 1
;pXp 
Exemple :
X suit la loi uniforme sur
4;1
. Déterminer
2Xp 
.
5
2
524
dx
14 1
2Xp 4
2
.

2) La loi exponentielle :
On appelle loi exponentielle de paramètre
*
IR
la loi de probabilité continue dont la
densité est la fonction f définie sur
IR
par
x
e)x(f 
.
Démontrons que f est une densité de probabilité sur
;0
.
- f est continue sur
IR
.
- f est positive sur
IR
.
0
 0dx)x(flim
1eeedx)x(f 0
x
0x 0 
1e1limdx)x(flim 0 
car
0elim x
x
.
Donc l’aire du domaine associé à f sur
IR
vaut 1.
f est donc une densité de probabilité sur
IR
.
X est une variable aléatoire continue qui suit la loi exponentielle de paramètre
*
IR
.
IRk
k
k
0xe1dxekXp   
kXp1kXp 
kXp1 
car
0kXp 
car X est une variable aléatoire continue.
k
ekXp 
*
IRk
et
*
IR'k 
'kk 
.
'k
k
x
'k
kxedxe'kXkp   
'kk ee'kXkp  
kXp 
kXp 
0
k